贵州省贵州某中学2023-2024学年高二年级下册7月期末考试数学试题（解析版）

贵州大学附属中学2025届高二(下)期末考试试卷

数学试卷

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座位

号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一项是

符合要求)

1.设集合4={(33k2},5={(2)|尸月，则人人()

A.{1,-2}B.{1,4}C.{(1,1),(-2,4)}D.{(1,1))

【答案】C

【解析】

x+y=2

【分析】求出方程组\的解，即可得解.

【详解】因为集合人={(%丁)|%+丁=2}表示函数丁=—%+2上的点的集合，

集合5={(x,y)|y=d}表示函数y=Y上的点的集合，

x+y-2fx=l[x=-2

由42，解得4।或4,，

=x[y=i[y=4

所以AC3={(L1),(—2,4)}.

故选：C

2.在复平面，复数z对应的点坐标为(1,—1),则备=()

A.iB.-iC.1-iD.1+i

【答案】B

【解析】

A.函数y=/(%)•e”的最大值为1

B.函数y=/(%)•e”的最小值为1

C.函数y的最大值为i

ex

D.函数y=/3的最小值为1

)e*

【答案】C

【解析】

【分析】AB选项，先判断出虚线部分为y=/'(x),实线部分为y=/(x),求导得到y=/(x)-e*在R

上单调递增，AB错误；再求导得到xe(-8,0)时，丁=/学单调递增，当xe(0,+8)时，、学单

ee

调递减，故C正确，D错误.

【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在无轴上方，任何一个为导函数，

则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y=/'(%),

实线部分为y=/(x),

故V=7'(尤).e"+/(无>e*=(7'(尤)+f⑴)•e*>0恒成立，

故y=/(力在R上单调递增，则A,B显然错误，

，f'(x)ex-f(x)exf'(x)-f(x)

对于C,D,V-7-T2一，

(e)e

由图像可知xe(—s,0),y，=r(x)；7(x)>0恒成立,故丁=驾单调递增，

ee

当xe(0,+s),yJ'(x)T(x)<0,丁=粤单调递减，

ee

所以函数y=」学在x=0处取得极大值，也为最大值，4”=1，C正确，D错误.

exe°

故选：C

8.设0为坐标原点，圆M：（x-l）2+（y-2）2=4与X轴切于点A,直线J5y+26=0交圆M于

民C两点，其中与在第二象限，则。（）

A.叵B.巫C.姮D.

4422

【答案】D

【解析】

【分析】先根据圆的弦长公式求出线段的长度，再求出直线X-0y+2百=0的倾斜角，即可求得

Q4与8c的的夹角，进而可得出答案.

【详解】由题意1（1,0）,圆心M（L2）,

M（l,2）到直线x—gy+2出=0距离为

所以BC=214—；=后,

直线x-0y+2百=0的斜率为正，则其倾斜角为四，

36

兀

则Q4与BC的的夹角为：，

6

所以O43C=1OA忸qcosOA,5C=lxAx曰=乎.

故选：D.

二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.）

9.下列说法正确的是（）

A.对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数

B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好

C.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为

z=03x+4,则c,左的值分另1J是4和0.3

D.某人在10次答题中，答对题数为X,X5（10,0.7）,则答对7题的概率最大.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图的特征判断样本的分布特征，即可判断A,根据残差的意义，即可判断B,

根据转化关系，即可判断C,比较概率，列出不等式，即可判断D.

【详解】A.对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数，故A错

误；

B,在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确；，

C.由>=06",设z=lny,贝ijlny=Ax+lnc,即2=6+111。=0.3%+4,

所以k=0.3,lnc=4,即c=e。故C错误;

D.由题意可知，P（X=A）=C：oX（O.7yx（Q3）g,

设答对左道题的概率最大，所以

F°X（"3）：：C；X（O.3）；解得：6.7Q7.7（i）,

C%x（0.7）x（0.3）>Cfoix（0.7）x（0.3）

得左=7,所以答对7题的概率最大，故D正确.

故选：BD

10.在ABC中，A,5c所对的边为"c,设边上的中点为.ABC的面积为S,其中。=2

/+°2=24,下列选项正确的是（）

A.若A=],则5=3岔B.S的最大值为36

TT

C.AM=3D.角A的最小值为一

3

【答案】ABC

【解析】

【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判

断C选项.

7T

【详解】选项A,若A=]，由余弦定理4=尸+°2一2ACOSA，得12=24—be,所以历=12,

则三角形面积S=LbcsinA=Lxl2xX3=3G，A正确；

222

选项B,由基本不等式可得24=〃+o222》°，即beW12,

当且仅当6=c=26时，等号成立，

22

.A—p/曰./?+c—ci^24—126

由余弦7ETf理fl可得cosA=---------=-------=一，

2bc2bcbe

则S=-bcsinA=Lcjl-cos2A=-J(bcV-36<-V122-36=36,B正确;

222丫'72

uuuriuunuum

选项C,因为5C边上的中点为M,所以AM=](zA5+AC)x,

而/=/+C2_2〃ccosA，即12=24-2Z?ccosA,贝!JbccosA=6,

所以[AM]=g+|AC'+2|钙"40105A=gJ"+02+2bccosA

=-724+2x6=3,故C正确；

2

选项D,因为24=/?2+02N2)C，即与CD12,

1261

所以由余弦定理得cosA=——--——2—

2bc2bcbe2

又0＜4＜兀，且函数y=cosx在（o,兀）上单调递减，所以0＜A＜m，D错误.

故选：ABC.

ii.将椭圆G：三+匕=1（。〉6〉0）上所有的点绕原点旋转。［o＜。＜角，得到椭圆。2的方程:

/+/—孙=6,则下列说法中正确的是（）

A.a2y/3B.椭圆C,的离心率为走

一3

7T

C.（2,2）是椭圆。2的一个焦点D.0=-

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得。，仇c,再由椭圆的性质对选项逐一判断,

即可得到结果.

【详解】椭圆a：1+/=i（a〉6〉0）上所有的点绕原点旋转e［o＜。＜/］角，

得到椭圆G的方程：f+y2—孙=6,

设点p(x,y)在该椭圆上，则其关于y=X的对称点P'(y,x)代入椭圆方程有

丁2+/一/=6,即f+y2—9=6,则该对称点位于椭圆方程上，

同理其关于丁=一次的对称点？'(—%—%)代入椭圆方程有

(-y)2+(_%)-=6,即犬+丁2一孙=6,则该对称点位于椭圆方程上，

贝i|Y+/一孙=6关于y=±x对称，

7T

所以6=一,故D正确；

4

将y=x代入f+J—孙=6可得f=6，

可得椭圆长轴的顶点为(J&、后),(-C,-C),所以。=屈%=2有，故A正确;

将丁=一%代入/+y—孙=6可得炉=2，

可得椭圆长轴的顶点为(0,、历),卜形,-0)，所以b=V2+2=2，

则°=&^。=2近，则e=£=萃=迈，故B错误；

a2G3

所以焦点坐标为(2,2)或(—2,—2),所以C正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到。的值，再按照普通椭圆

“，仇c的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转.

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设a,匕为单位向量，。在匕方向上的投影向量为一；。，则卜—2司=.

【答案】币

【解析】

【分析】首先根据投影向量公式求a-b，再代入向量模的公式，即可求解.

a-b1rri

【详解】由题意可知，汴=一不，即入。=——,

H22

所以,一2川=yla2+4b2-4a-b=Jl+4+2=J7.

故答案为：用

13.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2,其内切球的半径为1,则该正四棱台的体积为

9Q1

【答案】—##9-

33

【解析】

【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式

计算即得.

【详解】

如图，作出正四棱台的轴截面，设上底面边长为2x,则下底面边长为4x,

则CM=B=无,5知=BE=2无，ZCIM=-ZMIF,ZBIM=-ZMIE,

22

故NCIB=ZCIM+ZBIM=1(/MIE+ZMIF)=90,

历

在RtCffi中，则由射影定理，皿2=。^.8河得2d=i，解得％=注,

2

于是棱台的上底面面积为(2x)2=2,下底面面积为(4x)2=8,高为2,

故该正四棱台的体积为：V=1x2x(2+V2^8+8)=y.

故答案为：—.

3

14.记7；为正项数列｛4｝的前几项积，已知则％=_______；4024=_____________.

a”一I

【答案】①.2②.2025

【解析】

【分析】由数列｛4｝的前几项积4=一三，利用赋值法令”=1可求得q=2,将表达式化简可得数列

｛4｝是等差数列，即可求得《024=2025.

【详解】根据题意令〃=1,可知(=囚=广］，又数列｛4｝的各项均为正，即4/0；

解得4=2；

a1

由《二7二%。2a3.•.册可得7=…1，

an-l

a

即0102A"■n-i(a”—1)=L可得T”-T”_i=1；

所以数列｛4｝是以刀=%=2为首项,公差为d=1的等差数列；

因此＜=公+(〃—l)xl=〃+l,

所以4024=2024+1=2025.

故答案为：2；2025.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数/(%)=・石sin?ix+cos7cr(xeR)的所有正零点构成递增数列｛。“｝("eN*).

(1)求函数/(%)的周期和最大值；

(2)求数列｛4｝的通项公式a“及前〃项和S-

【答案】(1)周期2,最大值2

1121

⑵a”=n-《Sn=-n+-n

【解析】

【分析】(1)先应用辅助角公式化简再得出最大值即可；

⑵令〃x)=0可得出x="((左eN*),根据题意确定数列｛%｝的首项和公差，即可求得数列

{a,J的通项公式.

【小问1详解】

由题可得/（x）=6sin7tx+cosjrx=2sin^7tx+^,

27r

因此函数/（力的周期T='=2,

71

当皿+£='1+2版,AeZ,即x=；+2左，左eZ时，取最大值，最大值为/（x）1mx=2-

【小问2详解】

由/（X）=。得口+巳=E（左eN*）,

因此函数〃％）的所有正零点为x=左—：（左eN*）,

：.ax=y,q―%_i=l（〃N2）,因此{qJ是首项为公差为1的等差数列；

66

16.如图，在直三棱柱ABC-A31cl中，AB±BC,AB=BC=BB〔=6,。、E分别为AC、BBt

中点，设平面ADE交棱于点尸.

（D求BF；

（2）求二面角。］一。尸—C平面角的正弦值.

【答案】（1）BF=2

⑵

7

【解析】

【分析】（1）首先作出得到点尸的过程，得到截面的曾，再根据几何关系，即可求解；

（2）首先建立空间直角坐标系，根据（1）的结果，利用坐标法求二面角的余弦值，再转化为正弦值.

【小问1详解】

如图，延长4E交AB于点M,连结DM■交3c于点厂，

因为点E是3片的中点，所以5E//A4,且3石=；44,

所以AB=BM=6,

如下图，分离出底面ABC,取的中点N,连结DN,且点。是AC的中点,

所以DN//AB,且。N=^AB=3

2

所以DN//BM,且。N=

2

所以BF=2FN,即3P=，3C=2,

3

所以班'=2；

【小问2详解】

如图，以点3为原点，以5ABe的正方向，建立空间直角坐标系,

4(0,6,6),D(3,3,o),歹(0,2,0),

QD=(3,-3,-6),DF=(-3,-1,0),

/、[c.D'm=3x-3y-6z=0

设平面G。尸的法向量为比=(%,y,2),贝乂,，

DF-m=—3x-y=0

令x=l,则y=-3,z=2,则沅=(1,-3,2),

平面CDF的法向量为历=(0,0,1),

设二面角G—DP—C的平面角为。，0＜夕＜9。，

八।।\m-n\2J14、丽

所以cos8=|cos私----,贝Usine=^—.

1HITV1477

所以二面角G-DE-。的平面角的正弦值为叵.

7

17.已知函数〃力=等匚W，〃eR),在x=l处取得极大值2.

X+AZ

(1)求函数/(力的解析式；

(2)设函数g(x)=/-2奴+a,若对于任意％eR,总存在％e,使得8(9)4/(%)，求实

数。的取值范围

4x

【答案】(1)/(x)=^—

x~+1

(2)(-co,-1].[3,+co)

【解析】

【分析】(1)根据题意列出方程组，再验证即可确定函数的解析式;

(2)分类讨论函数g(x)的最小值，以及〃力的最小值，转化为［ga)Ln＜"a)Ln

【小问1详解】

1

mix+n]—mx-2xmn—mx2

nvc(m,neR),/'(x)=----―~~-----

2

x+n(%+〃)(冗2

由题意可知，/(1)=2,尸(1)=0,

mn—m

即----二2,得根=4,〃=1,

1+n(l+")2

4r(\4—4X

所以《)=7TT“*E'得

如下表，羽/'(%),/(x)的变化情况如表所示,

XS，T)-1(-M)1(1,+8)

—0+0—

减极小值-2增极大值2减

所以〃2=4,77=1符合题意，所以/(x)=F—

X+1

【小问2详解】

4v

因为函数/(X)=F——，在x>0时，/(%)>0,

在x<0时，/(x)<0,且/(0)=0,

所以由(1)知，当x=—1时，函数外力有最小值—2,

又因为对任意％icR,总存在/<—I1］,使得g(w)w/(%)，

则当工«—1,1］时，g(x)的最小值不大于一2,

对于g(x)=尤?-2ax+a=(x-a)"+4-4?的开口向上，对称轴为x=a,

当aW-1时，则g(x)在［-1』上单调递增，

故g(x)的最小值为g(-l)=l+3a<-2,得aW—1,

当时，则g(x)在［—1,1］上单调递减，

故g(x)的最小值为g⑴=1—aW—2,得a»3,

当时，则g(x)在［―1,。)上单调递减，在上单调递增，

g(x)的最小值为g(a)=a—q2W—2,得aW—1或a»2,不合题意，舍去；

综上所述：。的取值范围是(—，―1］.」3,+8).

18.2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“H^一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项

目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的

2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据：

年份代码七12345678910

年份%2014201520162017201820192020202120222023

保有量、0.120.501.091.602.613.814.927.8413.1020.41

101010

并计算得:WX=385，Zv；~699,^xzx土466,元=5.5,歹=5.6.

i=li=li=\

(I)根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01);

(2)现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，

那么第2辆仍选择购买新能源汽车概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源

汽车的概率为0.8,计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率；

(3)某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已

知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车

主的分布列及数学期望.

-万)(％一刃_______

附:相关系数：「=IJ“，J31795.57178.

JE(^-^)2E(x-y)2

V1=1；=i

【答案】(1)0.89

(2)0.7(3)分布列见详解，1

【解析】

【分析】(1)直接根据公式计算即可；

(2)利用全概率公式即可求解；

(3)设被选到新能源汽车车主人数X,则X可能取值为0』,2,3,分别计算出其概率，然后列出分布

列，由公式算出数学期望.

【小问1详解】

101010

由£k=385,》仁699,2xiyi«466,x=5.5,y=5.60,

z=li=\z=l

贝1步R1466川5内6.

卧f2一寸后2T序TJ(385-10x5灯(699-10x56)

【小问2详解】

设4="第1辆购买新能源汽车"，4="第1辆购买非新能源汽车”,

A="第2辆购买新能源汽车”，

p（4）=P（B1）=0.5,P（A|4）=0.6,p（4）=0.8,

由全概率公式得，P（A）=P（A）P（阕A）+P（4）P（阕旦）=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7,

所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为0.7.

【小问3详解】

设被选到新能源汽车车主人数为X,则X可能取值为0』,2,3,

T,P(X=1)=等28

p(x=o)=3-

c°。j255

C2cl1703ro1

)T"=3)=罟

p(X=2=3-

Jc255

则被选到新能源汽车车主的分布列为,

X0123

1428121

p

55555555

]4191

所以E(X)=0x——+lx—+2x—+3x——=l.

v755555555

3

19.在平面直角坐标系xQy中，动点P（羽y）（x>0）与定点/（2,0）的距离和尸到直线/：x的距离

之比是常数名g.

3

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）记动点p的轨迹为曲线C,过点。1|刀］的直线/与曲线。交于A3两点，直线正与曲线。的

另一个交点为E.

(i)求^AB+无QE的值;

（ii）记Q4B面积为Sr.QBB面积为Sz，△QM面积为S3,试问萨不是否为定值，若是，求出

该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）C:--y2=l（x>0）

(2)(i)kAB+k0E=°；(ii)是，3

【分析】（1）根据题意列出方程，化简，即可求得答案；

⑵⑴设网％,%），后（七，％），设直线A3方程为无=冲+白，联立曲线C的方程，可得

根与系数关系式，同理设直线砥方程为1=切+j化简可得％=-%，即可求得答案；5）分别求出

航，应―S3I的表达式，即可得到的表达式,化简即可得结论.

s「S3

【小问1详解】

7（%-2）2+/_243

由题意可知，3-W

2