2024年中考数学重难点复习：与四边形有关的证明与计算（含答案）

2024年中考数学重难创新题6与四边形有关的证明与计算

注意事项：

创新角度：探索图形中的数量关系、结合数学文化、补全图形、尺规作图、方案选取、回归教材、纠错反

思、真实问题情境

一、新考法-探索图形中的数量关系

1.如图，正方形2BC。，点尸在边4B上，且4F:FB=1:2,CE1DF,垂足为M,且交2。于点凡AC

与DF交于点N,延长CB至G,使BG=9BC,连接GM,有如下结论：①DE=4F；②AN=^AB；

③乙4。尸=zGMF；④SAANF：S四边熟NFB=I*-上述结论中，正确的个数是（）

DR-----------------^C

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，矩形ABCD中，AELBD于点E,CF平分NBCD,交EA的延长线于点F,且BC=4,CD=2,

给出下列结论：①NBAE=NCAD；②NDBC=30。；③AE=1V5；@AF=2V5,其中正确结论的

个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分NABO交AO于E点，CFJ_BE于F点，交

BO于G点，连接EG、OF,下列四个结论：①CE=CB；②AE=&OE；@OF=|cG,其中正确的结

论只有（)

DC

AB

A.①②③B.②③C.①③D.①②

二'新考法-结合数学文化

4.文艺复兴时期，意大利艺术大师达•芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题.如图称为达•芬

奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A,B,C,D,劣弧BD所在圆的圆心为

点A或点C.若正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

A.V2B.2C.K-1D.4一5

5.图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合

而成.作菱形CDEF,使点D,E,F分别在边OC,OB,BC上，过点E作EHJ.于点4.当=

BC,ZBOC=30°,DE=2时，EH的长为（）

C.V2D.4

3

6.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,

在由四个全等的直角三角形（△D4E,AABF,ABCG,△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的

大正方形4BCD中，N4BF>ABAF,连接BE.设=a,乙BEF=/?,若正方形EFGH与正方形ABC。

的面积之比为1：n,tana=ta/f,则几=（）

C.3D.2

7.公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”.1876年类国总统Garfeild用图1（点C、

点B、点C三点共线）进行了勾股定理的证明.AACB与ABCB是一样的直角三角板，两直角边长为a,

b,斜边是c.

图1图2图3

ci）请用此图1证明勾股定理.

（2）扩展应用1：

如图2,以AABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形CED,过点F、E

分别作BC的垂线段FM、EN,那么FM、EN、BC的数量关系是怎样?：说明理由.

（3）扩展应用2：

如图3,在两平行线m、n之间有一正方形ABCD,已知点A和点C分别在直m、n上，过点D

作直线已知1、n之间距离为1,1、m之间距离为2.直接出正方形的面积是.

三、新考法-补全图形，注重过程性学习

8.如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,AD=CD,过点A作AE〃DC交BC于点E.

（1）求证：四边形AECD是菱形.

（2）在（1）的条件下，若NB=30。，AE±AB,以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F,

连接AF,在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点.

9.四边形ABCD是正方形，AC与BD,相交于点0,点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF,CF

所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.

(1)如图1,当点E、F在线段AD上时，①求证：ZDAG=ZDCG；②猜想AG与BE的位置

关系，并加以证明；

(2)如图2,在(1)条件下，连接H0,试说明H0平分NBHG；

(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出NBHO

10.如图，在△力BC中，Z.BAC=45°,/DJ.BC于点D,BD=6,DC=4,求AD的长.小明同学利用

翻折，巧妙地解答了此题，

小明的思路：①以AB为对称轴，画出AaBD的对称图形，点D的对称点为点E；

②以AC为对称轴，画出小人。。的对称图形，点。的对称点为点F；

③延长EB和FC相交于点G；

④设=龙，建立关于久的方程模型，从而求出AD的长.

按小明的思路探究并解答下列问题：

(1)补全图形，判断四边形AEGF的形状，并证明；

(2)求AD的长.

11.如图，已知，点E在正方形48co的8c边上(不与点B,C重合)，/C是对角线，过点E作/C

的垂线，垂足为G,连接3G,DG.把线段。G绕着G点顺时针旋转，使。点的对应点厂点刚好落

在8c延长线上，根据题意补全图形.

B£C

(1)证明：GC=GE；

(2)连接DR用等式表示线段3G与DF的数量关系，并证明.

四'新考法-结合无刻度直尺作图

12.图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线

段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：

图1图2

(1)在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC,且点C在格点上；

(2)在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE,且D,E在格点上.

13.图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点.

用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.

L_5Z__J_._1

图①图②

(.1)在图①中,以线段ZB为一边画一个菱形;

(2)在图②中,以点4为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形.

14.如图，在方格纸中，点A,B,P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点图形(图形的每个

端点都在格点上).

(1)在图甲中画出一个三角形ABC,使直线BP平分该三角形的面积.

(2)在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形ABMN,使直线AP平分该四边形的面积.

五'新考法-结合尺规作图

15.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,

大于|BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四

边形ABEF是菱形.

(I)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；

(II)若菱形ABEF的周长为16,AE=4V3,求NC的大小.

数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等.

【动手操作］如图，已知菱形2BCD,求作点E,使得点E到三个顶点4D,C的距离相等.小红

同学设计如下作图步骤：

①连接BD；

②分别以点4D为圆心，大于品。的长为半径分别在2。的上方与下方作弧：4)上方两弧交于点

M,下方两弧交于点N,作直线MN交BD于点E.

③连接4E,EC,贝同=ED=EC.

(1)根据小红同学设计的尺规作图步骤，在题图中完成作图过程(要求：用尺规作图并保留作图痕

迹)

(2)证明：EA=ED=EC.

(3)当乙4BC=72。时，求AEBC与△E4D的面积比.

17.如图，已知△ABC.

A

⑴请用尺规作图作出NBAC的平分线交BC于点D；

⑵请用尺规作图作出线段4。的垂直平分线交AB于点E,交/C于点尸；

⑶连接DE和。F,直接写出四边形AEDF的形状.

六'新考法-方案选取

18.一块直角三角形木板的条直角边AB长为1.5m,面积为1.5m2.工人师傅要把它加工成一个面积

最大的正方形桌面，请甲、乙两名同学设计加工方案.甲设计方案如图①，乙设计方案如图②.你

认为哪名同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数).

C.

①②

19.如图所示，在半径为5、圆心角为60°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF.有以下两种方案：方

案一为点D,E在OB上，点C在OA上，点尸在扇形的弧上；方案二为点。在OB上，点C在OA上，

点E,F在扇形的弧上.问：哪种方案的正方形CDEF的面积更大?请说明理由.

A

20.用一张长12cm宽5cm的矩形纸片折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形

EFGH(方案一)，小丰同学沿矩形的对角线AC折出NCAE=NCAD,NACF=NACB的方法得到菱

形AECF(方案二).谁折出的菱形面积更大？请你通过计算说明.

21.为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表:

方案设计方案1方案2

LC

D

F

G/

裁剪方案示意图M

ANB

AA

说明图中的正方形AEFG和正方形MNPO四个顶点都在原四边形的边上

测量数据AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,NA=ND=90。；

(1)任务1：探寻边角填空：BC=dm；sinB=；

(2)任务2：比较面积计算或推理：正方形AEFG和正方形MNP边长之比；

(3)任务3：应用实践若在ABEF余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为dm.

22.为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表:

方案设计方案1方案2

)CL

G

裁剪方案示意图人W

AEBANB

说明图中的正方形ZEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上

测量数据AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,Z.X=乙D=90°；

任务1:探寻边角填空：BC=______▲______dm,sinB=______▲______；

任务2：比较面积计算或推理：正方形AEFG和正方形MNPQ边长之比；

任务3：应用实践若在△BEF余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为▲

dm.

23.【问题背景】

如图1,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形2BC。进行如下操作：①分

别以点B,C为圆心，以大于*BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E,F,作直线EF交BC于点。，连

接40;②将AZB。沿40翻折，点B的对应点落在点P处，作射线4P交CD于点Q.

【问题提出】

在矩形4BCC中，4）=5,AB=3,求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接0Q,如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长；

方案二：将A/B。绕点。旋转180。至△RC。处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

七'新考法-回归教材，注重定理的证明

24.【温故知新】在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图1给

出如下证明思路：作CFII力。交DE的延长线于点F,再证A4DEmACFE,再证四边形。BCF是平行四

边形，即可证明定理。

图1图2图3图4

（1）【新知体验】小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题

的目的.如图2,在四边形/BCD中，AD||BC,AC1BD,若2C=3,BD=4,AD=1,则BC的值为一

(2)【灵活运用】如图3,在矩形ZBCD和nZBEF中，连接DF、AE交于点G,连接DB。若AE=DF=DB,

求ZFGE的度数；

(3)【拓展延伸】如图4在第(2)题的条件下，连接BF,若AB=AD=4加,求△BEF的面积

【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

(1)如图②，四边形ABCD中，AD=BC,E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，若

ZACB=80°,ZDAC=20°,直接写出LEFG的度数.

(2)如图③，在矩形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，连接EC,FD,点G,H分

别是EC,FD的中点，连接GH,若AB=6,BC=10,直接写出GH的长度.

26.【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想

如图23.4.2,在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想：

DE||BC,且DE=±BC.

对此，我们可以用演绎推理给出证明.

图23.4.2

E

【定理证明】

(1)请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=CD,ABLAC,点P、M、N分别是AC、AD、BC的

中点，连结PM、PN、MN.若N4CD=40。，则ZPMN的大小为；

(3)如图③，在△ABC中，点D在AB上，且BD=AC,点M、N分别是AD、BC的中点，连

结NM并延长，交CA延长线于点E,则NB2C与NE的数量关系为.

27.课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

图①图②

(1)【定理证明】为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请

你完成证明过程.

已知：在U4BCD中，对角线BDL2C,垂足为0.

求证：EL4BCD是菱形.

(2)【知识应用】如图②，在□力BCD中，对角线AC和BD相交于点。，AD=5,4C=8,BD=6.

①求证：MBCQ是菱形；

②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若NE=彳乙4CD,求雾的值.

28.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容.

平行四边形的判定定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

我们可以用演绎推理证明这一结论.

已知：如图，在四边形ZBCD中，ABIICD且ZB=CD.

求证：四边形2BC。是平行四边形.

证明：连接力C.

（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程.

（2）【知识应用】如图①，在口ABCC中，延长BC到点凡使BC=CF,连接47、DF.求证：四

边形4CFD是平行四边形.

图①

（3）【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形4CF。的面积为7,直接写出四边形2BCD

的面积.

八'新考法-纠错反思

29.【题目】如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB,F是AB延长线上一点，且BF=AB,连结DF,

交BC于点E,连结AE.试判断线段AE与DF的位置关系.

【探究展示】小明发现，AE1DF,并展示了如下的证明方法:

证明：'：BF=AB,

：.AF=2AB.

'：AD=2AB,

：.AD=AF.

•.•四边形ABCD是矩形，

：.AD||BC.

.BF_EF

"AB~DE-

'：BF=AB,

-DE=1-

：.DE=EF.

'：AD=AF,

：.AE1DF.（依据）

（1）【反思交流】上述证明过程中的“依据”是.

（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连结图①中的CF,将CF绕着点C顺时针旋

转90。得到CG,连结EG.求证：点G在线段BC的垂直平分线上.

（3）【拓展应用】如图③，将图①中的CF绕着点F顺时针旋转90。得到FH.分别以点B、C为圆心,

以血长为半径作弧，两弧交于点M,连结MH.若MH=AB=1,直接写出小的值.

九'新考法-真实问题情景

30.综合与实践：

问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题.

（1）操作探究1：小广将两块全等的含45。角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两

锐角顶点重合于点4AB1AD,已知长8cm,则点B、E之间的距离为.

（2）操作探究2：小都将两块全等的含30。角的直角三角板按如图②方式在平面内放置.

其中两个60。角顶点重合于点4AD与4C重合，已知AB长8cm,请你帮小都同学求出此时点B、E

之间的距离；

（3）操作探究3：随后，小E将图②中的AADE换成了含45。角的三角板，同相是顶点重合于点4

与4c重合，已知直角边AB与4。长均为8cm,他还想求点B,E之间距离，小广提出，如果把三角

板ABC也换成了含45。角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点B,E

之间的距离吗？

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】(1)解：..•点C、点B、点B'三点共线，ZC=NC'=90。.•.四边形/CC'B'是直角梯形,

VAACB与小BC'B'，是一样的直角三角板，

*'•Rt△ACB=Rt△BCB,

•••乙CAB=Z-CBB,AB=BB,

••・UBA+乙C'BB'=90°

.•.△ABB’是等腰直角三角形,

所以S梯形ZCC'B'=(AC+B'Cj•CC'+2=书登,

11

ab,S=2

SACB--QAC-BC=~^ab,SBC'B'=2ABB2c

所以(ay)2=+^-c2,

a2+2ab+b2=ab+ab+c2.

・・・a2+b』c2；

(2)

拓展1.过A作AP±BC于点P,

H

•.*NABF=90°,

・•・ZBFM+ZMBF=ZMBF+ZABP,

・・・NBFM=NABP,

在△BMF和aABP中，

'Z-BFM=乙ABP

-^BMF=Z.APB=90°f

、BF=AB

：.ABMF△ABP(AAS),

AFM=BP,

同理，EN=CP,

・・・FM+EN=BP+CP,

即FM+EN=BC,

故答案为：FM+EN=BC；

(3)5

8.【答案】证明：(1)VAD/7BC,AE〃DC,

・・・四边形AECD是平行四边形，

・;AD=CD,

・・・四边形AECD是菱形.

(2)补齐图形：

证明：VZB=30°,AE±AB,

・•・ZAEB=60°,

・.・AE=AF,

•••△AEF是等边三角形，

・・・AF=EF,ZEAF=60°,

・•・NBAF=90。-ZEAF=30°,

・・・NBAF=NB,

・・・AF=BF,

・・・BF=EF,

即点F是BE的中点.

D

B

9.【答案】(1)①证明：•.•四边形ABCD为正方形,

，DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,

在4ADG和4CDG中

'ADXD

-ZADG=ZCDG>

.DG=DG

/.AADG^ACDG(SAS),

二ZDAG=ZDCG；

②解：AG±BE.理由如下：

•.•四边形ABCD为正方形，

.,.AB=DC,ZBAD=ZCDA=90°,

在4ABE和4DCF中

'AB=DC

<NBAE=NCDF，

,AE=DF

.二△ABE丝ADCF(SAS),

/.ZABE=ZDCF,

ZDAG=ZDCG,

；.NDAG=NABE,

ZDAG+ZBAG=90°,

ZABE+ZBAG=90°,

/.ZAHB=90°,

.\AG±BE；

(2)解：由(1)可知AGLBE.

如答图1所示，过点0作OM_LBE于点M,ONLAG于点N,则四边形OMHN为矩形.

_4E_Q

ZMON=90°,

XVOAXOB,

?.ZAON=ZBOM.

,?ZAON+ZOAN=90°,ZBOM+ZOBM=90°,

ZOAN=ZOBM.

在△AON与△BOM中，

2OAN=NOBM

<OA=OB

AON=/BOM

/.△AON^ABOM(AAS).

.,.OM=ON,

矩形OMHN为正方形，

，HO平分NBHG.

(3)将图形补充完整，如答图2示，ZBHO=45°.

与（1）同理，可以证明AGLBE.

过点O作OMJ_BE于点M,ONLAG于点N,

与（2）同理，可以证明△AON04BOM,

可得OMHN为正方形，所以HO平分NBHG,

.•.ZBHO=45°.

10.【答案】（1）解：补全图形如解图，四边形AEGF是正方形;

证明：由题意可得△ABE=△ABD,△ACF=△ACD,

:♦乙EAB=LDAB,AE=AD,/.FAC

=^DAC,AF=AD.

•・•2LBAC=45°,

:.Z-EAF=90°.

又•・•AD1BC,

・••乙E=Z.ADB=90°,ZF=Z.ADC=90°,

••・四边形AEGF是矩形.

AE—AD,AF-AD^

：.AE=AF,

••・四边形AEGF是正方形.

(2)AD=12

11.【答案】(1)证明：补全图形如图所示,

•.•四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

.,.ZACB=45°,

VEGXAC,ZEGC=90°

ZGEC=ZACB=45°

；.GC=GE；

(2)解：DF=V2BG,理由如下：

证明：,••△EGC是等腰直角三角形，

，EG=GC,ZGEC=ZACB=45°,

/.ZBEG=ZGCF=135°,

由旋转得：DG=GF,

正方形ABCD中，AB=AD,ZBCA=ZDCA=45°,CG=CG

/.△CBG^ACDG(SAS),

/.ZCGB=ZCGD,BG=DG,

.\BG=GFAZGBC=ZGFB

又/BEG=NGCF

.".△BEG^AFCG(AAS),

.\ZBGE=ZCGF,

Z.ZCGB-ZBGE=ZCGD-ZCGF,

即NEGC=NDGF=90。，

...△DGF是等腰直角三角形，

DF=y/DG2+GF2

=VBG2+BG2

=J2BG2

=&BG

即DF=V2BG.

12.【答案】(1)解：点C、C'即为所求

（2）解：菱形ADBE即为所求.

13.【答案】（1）解：如图①，菱形4BEF即为所求.

图①

（2）解：如图②，正方形4GHK即为所求.

G

（2）解：如图,

AB=AF

BE=FE,

AE=AE

AAAEB^AAEF,

・•・NEAB=NEAF,

・.・AD〃BC,

・・・NEAF=NAEB=NEAB,

・・・BE=AB=AF.

VAF/7BE,

・・・四边形ABEF是平行四边形，

VAB=BE,

・・・四边形ABEF是菱形；

(II)如图，连结BF,交AE于G.

・・•菱形ABEF的周长为16,AE=4V3,

/.AB=BE=EF=AF=4,AG=1AE=2V3,ZBAF=2ZBAE,AE±BF.

在直角AABG中，---ZAGB=90°,

.\cosZBAG=弟=学=’,

Ab42

・•・ZBAG=30°,

・•・NBAF=2NBAE=60。.

・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・NC=NBAF=600.

16.【答案】（1）解：根据小红同学设计，作图如下:

(2)证明：在菱形ZBCD中，乙ADE=LCDE,AD=DC,

,:DE=DE,

：.AADE=ACDE(SAS),

：.AE=EC,

•・・”可垂直平分4。，

：.AE=DE,

：.AE=DE=EC；

(3)解：,在菱形ABCD中,(ABC=72。,

：.Z.ABD=^DBC=36°9

AD||BC,

"ADB=乙DBC=36°,4DAB=180一乙ABC=108°,

9：AE=DE,

J.^EAD=^ADB=36°,

：./.EAD=^ABD=36°,

VzXZ)£=4BDA,

△ADEBDA,

•嚼=器即4。2=孙。工

\UZ.BAE=A.BAD-^LEAD=72°,4BEA=LEAD+£.ADE=72°,

：.^BAE=^BEA,

：.BE=AB,

T^AB=X=BE,DE=a(其中尤,a>0),则20=%，BD=BE+DE=x+a,

x2—(x+a)-a,

x2—ax—a2=0,解得久=居怖1a或尢='2若a(舍去)，

•AB1+V5

"'DE=^2~，

•SAEBC=SAABE=BE=AB=西+1

S

,'S^EDC^ADEDEDE2

17.【答案】解:(1)如图,

平分ZBAC；

(2)如上图，EF垂直平分4。；

(3)四边形4EDF是菱形.

2

18.【答案】由AB=1.5m,SAABc=1.5m,可得BC=2m.

由图①，设甲设计的正方形桌面边长为x(m),由DE〃AB,得Rt^CDEsRtZ\CBA,

・xBC-x日门Ux2—x府4日6

••加=k'即5父=丁'解得x=7

由图②，过点B作RtaABC斜边AC上的高线BH,交DE于点P,交AC于点H.

由AB=1。5m,BC=2m,得ACfAB2+BC2=Jl.52+22=2.5(m).

由ACBH=AB-BC,得BH=^^=与咨=1.2(m).设乙设计的桌面的边长为y(m),

/ICZ.D

：DE〃AC,ARtABDE^RtABAC,:.盥=照,即^=具，解得y埸

Dti/1Cl.ZZ.33/

•.}＞翁..♦.甲同学设计的方案较好.

19.【答案】解：如图甲所示，连结OF.

甲

设方案一中正方形边长为a,

则0Z）=字＜1,二（字a+a）2+a2=25＞

721—o

：.遮）a2=25.

如图乙所示，作。HIEF交CD于点M,连结0E.

设方案二中正方形边长为m,EH=OM=^m,

V31

・•・(-2-m+m)7+『?=25,

(2+V3)m2=25,

72

可+WV3<2+V3,a?〉.

即方案一的正方形的面积大

20.【答案】解：方案一：

11

S菱形=*EGF//=于<12*5=30(cm?),

方案二：设AE=EC=「则BE=12-X

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2，

52+(12—%)2=解得jv,

S5-35.21(cm2)

答：小丰折出的菱形面积更大.

21.【答案】(1)15；|

⑵解:设GF与CH相交于点I,正方形AEFG的边长为adm,则F)=(a-2)dm,CI=(9-a)dm,

DC

：GF〃AB,

.*.ZB=ZCFL

在RtAFIC中，tanNCFI=tanB与==j,

Fla—24

解得a=6；

设正方形MNPQ边长为bdm,

JNB=NMNA,

在RtAPBN中，sinB嘿=境产|,

则BN=|b,

在RtAMAN中，

AN_AN_4

cosZ-MNA—MN='V=5'

则AN=1b

4q

・审+部=14,

解得b=娉，

637

正方形AEFG和正方形MNPQ边长之比为布=35：

(3)与

22.【答案】解：任务1：15；|；比较面积，

设GF与相交于点I,正方形4EFG的边长为a,

2

VsinB—引

.34

tanB=丁cosB=耳,

在Rt△F/C中，tanz_CF/=tanB=彳，FI=a-2,CI=9—a,

・CI_9—CL_3

,,可=口=不

解得a=6；

在RtAF/C中,sinB=^=磊=|,则BN=|b,

.AMA]\fA4

在收△MAN中t，cos乙MNA=毁=写=三,则⑷V=,b,

4q

・审+部=14,

解得b=锣,

637

正方形4EFG和正方形MNPQ边长之比为前=35；

任务3：竽

连接0Q,如图2.

：.AB=CD=3,AD=BC=5,

1

由作图知B。=0C=*BC=2.5,

由翻折的不变性，知4P==3,OP=0B=2.5,乙APO=zB=90°,

：.0P=0C=2.5,AQPO=ZC=90°,又OQ=OQ,

：.△QPO=△QCO(HL),

：.PQ=CQ,

设PQ=CQ—x,则/IQ=3+K，DQ—3—x,

在RtAZDQ中，AD2+QD2=AQ2,即52+(3—%>=(3+支?，

解得x=患，

线段”的长为裳

方案二：将AABO绕点。旋转180。至ARC。处，如图3.

•..四边形ABCD是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=5,

由作图知3。=0C=^BC=2.5,

由旋转的不变性，知CR==3,Z.BAO=乙R,乙B=乙OCR90°,

则NOCR+ZOCD=90°+90°=180°,

•MC、R共线，

由翻折的不变性，知NB4。=AOAQ,

J.Z-OAQ=Z-R,

：.QA=QR,

设CQ=x,贝!JQ4=QR=3+%,DQ=3—%,

在中，AD2+QD2=AQ2,BP52+(3-X)2=(3+%)2,

角牟得％=患，

线段CQ的长为裳

24.【答案】(1)4

(2)解:连结AC、CE,如图3,

图3

•.•矩形4BCD,4BEF为平行四边形，

ADC||AB||EFSLDC=AB=EF,

.•.DFEC为平行四边形，：.DF=CE,

•XBCD为矩形，：.AC=DB,

'：AE=DF=DB,：.AE=CE=AC

即AACE是一个等边三角形，：.^AEC=60°,

VDF||CE,J.^FGE=^AEC=60°

(3)解：设4C与BD相交于点Q,如图4,

图4

•.•四边形4BCD是矩形，且23=4。，

二四边形4BCD是正方形，.•./<?与BO互相垂直平分，

•：AB=4V2,.XQ=BQ喉=4

.'.AE=BD—AC—2AQ=8

•：EA=EC,BA=BC,是线段ZC的中垂线，

又•••BD也是线段4C的中垂线，...E、B、。三点共线，

在RM4EQ中，/.AQE=90°,QE=A/82-42=4V3

:.BE=4b—4,'：AF||BE,AQ1BE,；.△BEF的BE边上的高等于AQ=4

,，S&BEF=2x4x（4A/3^—4）=8A/3^—8.

25.【答案】（1）【定理证明】证明：\•点D、E分别是AB、AC的中点，

.AD_AE_1

•W蔗一2'

又：NA=NA,

.,.△ADE^AABC,

.,.ZADE=ZABC,器=喋=/

；.DE〃BC,且DE=；BC.

解：（1）•.•点E、G分别是AB、AC的中点，

；.EG〃BC,且EG=|BC,

.,.ZEGC+ZACB=180°,

VZACB=80°,

/.ZEGC=100°；

•.•点G、F分别是AC、DC的中点，

同理可得：FG=1z。，FG〃AD,

.,.ZFGC=ZDAC=20°,

.•.ZEGF=120°,EG=FG,

/.ZEFG=(180°-120°)+2=300□

(2)解：GH=」|三

连接AC,取AC的中点O,连接OG,取CD的中点M,连接OM,

•.•点E是AB的中点，

AE=-AB=X6=3,

••,点O是AC的中点，点G是CE的中点，

.•.OG〃AE,且OG4AE=4X3=/

.•.ZGOC=ZEAC,

又YM是CD的中点，

...OM〃AD,且OM=|an=*BC=**10=5,

...ZCOM=ZDAC,

AZGOH=ZGOC+ZCOM=ZEAC+ZDAC=90°,

：AD〃BC,

；.OM〃BC,

AOM经过DF的中点，

••,点H是DF的中点，

.•.点H在OM上，

.\MH=lcF=JxifiC=1x10=|,

.\OH=OOH=M-MH=|,

在Rt^GOH中：GH=JOG2+OH2=J(犷+多)2=孚。

26.【答案】（1）解：•.•点D、E分别是AB与AC的中点,

.AD_AE_1

UUAB~AC~T

VZX=ZX,

・•・AADE^AABC.

.••乙4ADE乜一—乙Z-AABBCC,__—_DE___1

，DE〃BC,且DE