2025年高考数学大题复习训练：随机变量与分布列（原卷）

专题20随机变量与分布列

i.温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季

或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具

有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫

生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所

zK.

环境质量等土壤各单项或综合质量灌溉水各单项或综合质量环境空气各单项或综合质等级名

级指数指数量指数称

1<0.7<0.5<0.6清洁

20.7〜1.00.5〜1.00.6〜1.0尚清洁

3>1.0>1.0>1.0超标

各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影

响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、地表水、大气等)有危

害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜

种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下：

1.2

1.031.05I。1:05

10

1.00.9

0.80.88

0.6-0：70-7470.69

0.40.510.5灌溉水

环境空气

0.2

(1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；

(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记f为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁

的个数，求f的分布列和数学期望.

2.2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行.为做好本次考试的评价

工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于

40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成了如

图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中山的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人，再从这

11人中随机抽取3人，记f为3人中成绩在[80,90)的人数，求和勺分布列和数学期望；

3.2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚

运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

班号1234

人数30402010

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题

目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为

X,求X的分布列及数学期望.

4.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具

有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、

物理、化学、信息技术学科夏令营活动.

⑴若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，f表示选取的人中来自该中

学的人数，求f的分布列和数学期望；

(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下：两人一组，每一轮竞答中，

每人分别答两题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两

位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为Pi，p2,且Pi+P2=会如果甲、乙两位同学想在此次答

题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？

5.在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑

色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中.

(1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率；

(2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X,求X的分布列和数学

期望.

6.某地乒乓球协会在年55岁〜65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3人一组先进行预

赛，选出1名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：甲对乙、甲

对丙、乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，则根据抽签

确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为各场比赛互

不影响且无平局.

⑴求甲进入正式比赛的概率;

(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

7.为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少

年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛/PP’,参加各种学习活动，同时热衷于参与四人

赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第

1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名

次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1

分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不

能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为:，p在第2局

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四人赛中获得2分、1分的概率分别为;，J

(1)设小明每天获得的得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为每局是否赢得

比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

8.食品安全问题越来越受到人们的重视.某超市在购进某种水果之前，要求食品安检部门对每箱水果进行

三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，这种水果才能在该超市销售.已知每箱这种水果第一轮

检测不合格的概率为:，第二轮检测不合格的概率为占第三轮检测不合格的概率为；，每轮检测只有合格与

456

不合格两种情况，且各轮检测互不影响.

(1)求每箱这种水果能在该超市销售的概率；

(2)若这种水果能在该超市销售，则每箱可获利300元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有4

箱这种水果，求这4箱水果总收益X的分布列和数学期望E(X).

9.飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣,

往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利

通关.已知甲、乙两名®玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

后退终点

©3步

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；

(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家再

投掷骰子的次数为X,匕分别求出X,丫的分布列和数学期望.

10.如图，经典的推箱子是一个古老的游戏，在一个狭小的仓库中，该游戏要求把木箱放到指定的位置，

稍不小心就会出现箱子无法移动或者通道被堵住的情况，所以需要巧妙地利用有限的空间和通道，合理安

排移动的次序和位置，才能顺利地完成任务，某学习小组在课外活动中为了培养组员的逻辑思维能力，开

展了推箱子的小游戏，已知组员小明在前四关中，每关通过的概率都是1失败的概率都是:，且每关通过与

否互不影响.假定小明只有在失败或四关全部通过时游戏才结束，X表示小明游戏结束时通过的关数.

(1)求小明游戏结束时至少通过三关的概率;

(2)求X的分布列和数学期望E(X).

11.部分高校开展基础学科招生改革试点工作(强基计划)的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到

笔试优秀才能进入面试环节.已知4B两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相

互独立.若某考生报考a大学，每门科目达到优秀的概率均为|,若该考生报考B大学，每门科目达到优秀的

概率依次为；，1n,其中0<n<1.

45

(1)若n分别求出该考生报考A,B两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决

策，该考生更有希望进入力大学的面试环节，求打的范围.

12.在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球.四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两

组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在

下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现.已

知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为右甲胜丙、乙胜丁的概率均为|,甲胜丁的概率为|.

⑴设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X,求X的数学期望；

(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率.

13.电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心和信心，自播出便引起巨

大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了1。位观众对其打分(满分为10分)，得到如下表格:

观众序号12345678910

评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

(1)求这组数据的第75百分位数；

(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对《狂飙》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数

为X,求X的分布列、数学期望与方差.

14.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a,b,c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序

加工合格率分别为i三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰

4ZZ

有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品.

(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；

(2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂

亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望.

15.大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚.在2022年第22届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中

的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析.已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队

之间进行单循环(每只球队均与另外三只球队进行一场比赛)；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平

局，则比赛双方各积1分.现假设组内四支球队战胜或者负于对手的概率均为0.25,出现平局的概率为0.5.

(1)求某一只球队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望；

(2)小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率.

16.在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大

学的初试，即将参加该重点大学组织的复试.已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为g,I，p,复

试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为卷.

⑴求『的值；

(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X,求随机变量X的分布列.

17.根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为:

X1230

aa(la(l

Pa

V

-p)-P)2

(其中Q>0,0VpV1)

每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为,，且相互独立，事件4表示一个家庭有i个孩子。=0,1,2,3),事

件2表示一个家庭的男孩比女孩多(若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多).

(1)若p=T，求a,并根据全概率公式(P(B)=P(BI4)P(4))求P⑻；

(2)是否存在p值，使得E(X)=£请说明理由.

18.在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育

强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟

举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上

场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根

据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为,，甲队其余4名队员对乙队每名队员

的胜率均为a(注：比赛结果没有平局)

(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；

(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.

19.某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的

价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位：十盒)，获

得如下数据:

日销售量/十盒78910

天数812164

假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

(1)记每两天中销售草莓的总盒数为x(单位：十盒)，求X的分布列和数学期望；

(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？

20.袋中放有形状、大小完全相同的4个黑球和4个白球.

(1)从中依次摸3个球，摸后不放回，求在前两次摸球有黑球的条件下，第三次摸到白球的概率;

(2)若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中.

①求某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中的概率；

②若摸到黑球加1分，摸到白球减1分，求摸球多少次时，得分为4分的概率最大.

21.设(x,y)是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为@也)，其中ijeN*,令pg=P(x=

即丫=%),称PKL/CN*)是二维离散型随机变量(x,y)的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于

把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；

(x,y瓦

P11P12P13

a2P21P22P23

P31P32P33

现有以九eN*)个球等可能的放入编号为L2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X,落入第

2号盒子中的球的个数为Y.

(1)当九=2时，求(X,Y)的联合分布列，并写成分布表的形式；

(2)设以=£：=0P(X=k,Y=m),k€N且k<n,求£忆.切左的值.

(参考公式：若X〜B(n,p),贝!]2；=0k此「a1一P)n-k=np)

22.随着人们收入水平的提高，特色化、差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的

认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现

从同批采摘、分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重(为方便称重，按5克为一级进行分级),

统计对应的水果重量，得柱状图如下.

“频数

8-------------------------

6-----------------------——

4-----------------口

3------r-i--------------------ri-

O〜606570758C；859C；重勒克

(1)估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量(精确到整数位)；

(2)在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为

X,求X的分布列和数学期望；

(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取〃个水果，若要求其

中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于90%,求n的最小值.

23.某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是［30,50),

⑴求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的

中点值代表)；

⑶从一模数学成绩位于［90,110),［110,130)的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人,

该2人中一模数学成绩在区间［90,110)的人数记为X,求X的分布列及数学期望.

24.某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有4B,C,。这4个选项，4个选项中仅有两个

或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过

程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为%

并且规定若第屹=1,2,-,n-1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为点第阻=

1,2,…,几-1)题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为去

(1)若第二题只选了“C’一个选项，求第二题得分的分布列及期望；

(2)求第n题正确选项为两个的概率；

⑶若第"题只选择、两个选项，设表示第"题得分，求证：(

3cyFn<Io

25.某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n(neN*)份血液样本(数量足够大),

有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，需要检验〃次；

方式二：混合检验，将其中左(k€N*且kN2)份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这4份血液

样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液

样本再分别化验一次，检验总次数为(k+1)次.

假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p(0<p<l).

(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就

能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；

(2)现取其中左(k€N*且A22)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为倒；采用混

合检验方式，样本需要检验的总次数为七.

①若E(fi)=E&2)，求P关于k的函数关系式P=/(fc)；

1

②已知p=l-e。，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？

参考数据：ln2=0.693,ln25=3,219,ln26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332.

26.某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并

取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布

如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20

岁〜39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的

称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用

直播销售用户"中有,是“年轻人”.

4

直播销售主要年龄等级分布直播销售使用频率分布

50.0%-------------------才皿-----------------------------------------------

19岁以下20〜29岁30〜39岁40〜49岁50〜59岁

图1

(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容

量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2x2列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能

否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？

使用直播销售情况与年龄列联表

年轻人非年轻人合计

经常使用直播销售用户

不常使用直播销售用户

合计

(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供

选择：

方案一；线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%,可能亏损15%,也可能

不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为|,p

方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可

能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为?，宗!

针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.

参考数据：独立性检验临界值表

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc')2

其中/=7i=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)?

27.小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0〜9中不重复地随机选

择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止.

(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X,求X的分布列、数学期望及方差.

28.为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4

道题目进行作