高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第9练指数与指数函数(原卷版+解析)

第9练指数与指数函数一、课本变式练1.（人A必修一P109习题4.1T7变式）设，则（

）A．4 B．3 C．2 D．12.（人A必修一P118习题4.2T6变式）设，，，则（

）A． B．C． D．3.（人A必修一P109习题4.1T6变式）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是小时4.（人A必修一P118习题4.2T1变式）函数的定义域为；值域为.二、考点分类练(一)指数幂的运算5．（2022届河南省许平汝联盟高三下学期3月质量检测）已知，，则ab=（

）A．2 B． C． D．16.（2022届“皖豫名校联盟体”高三第三次考试）某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系，其中，是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为，，且，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（

）（参考数据：）A．4900m B．5500m C．6200m D．7400m7.（多选）下列运算法则正确的是（

）A．B．C．（且）D．(二)指数函数的图象及应用8．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学高三下学期联考）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（

）A． B．C． D．9.若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（

）．A． B． C． D．10.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．(三)指数函数的性质及应用11．（2022届广东省广州市高三上学期第三次月考）已知，则（

）A． B．C． D．12.（2022届山东省潍坊市高三上学期期末）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．的定义域为RB．是奇函数C．在定义域上是减函数D．无最小值，无最大值13.（2021届江西省南昌县高三上学期期末）已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.三、最新模拟练14．（2022届北京市西城区高三二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（

）A． B．C． D．15．（2022届河南省豫西名校高三4月质检）若，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．16．（2022届安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测）函数（是自然对数的底数）的图象关于（

）17．（2022届山西省晋中市高三二模）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．18．（多选）（2022届广东省汕头市高三二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．19．（2022届河北省邯郸市大名县高三上学期强化训练）函数的图像恒过一定点，这个定点是___________.20．（2022届江苏省南通市高三下学期联考）若，则的最小值为_________．21．（2022届山西省吕梁市名校金科大联考高三上学期12月月考）已知函数（其中e是自然对数的底数）.过点的直线与函数的图象交于，两点.(1)若存在直线，使得，求的取值范围；(2)证明：.四、高考真题练22．(2020全国卷Ⅰ)若，则 ()A． B． C． D．23.(2020全国卷Ⅱ)若，则 ()A． B． C． D．24.(2019全国卷Ⅲ)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 ()A． B．C． D．25．(2017全国卷Ⅰ)设为正数,且,则 ()A． B． C． D．26.(2016全国卷Ⅲ)已知,,,则 ()A． B． C． D．五、综合提升练27.（2022届上海市向明中学高三上学期月考）已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（

）A．①与②均正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确28.（多选）（2022届江苏省盐城、淮安、宿迁、如东等地高三上学期联考）已知函数，，若，则（

）A．B．C．D．29.（2022届陕西省西安市高三上学期练习）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________30．定义在Ｄ上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数，.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.第9练指数与指数函数一、课本变式练1.（人A必修一P109习题4.1T7变式）设，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，所以，故.故选C2.（人A必修一P118习题4.2T6变式）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，根据在上是增函数，所以，即.故选D.3.（人A必修一P109习题4.1T6变式）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是小时【答案】18【解析】，食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，，解得，即，，即该食品在的保鲜时间是18小时．4.（人A必修一P118习题4.2T1变式）函数的定义域为；值域为.【答案】【解析】由得的定义域为；由，得.二、考点分类练(一)指数幂的运算5．（2022届河南省许平汝联盟高三下学期3月质量检测）已知，，则ab=（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】因，，因此有，即，而函数在R上单调递增，则，所以.故选B6.（2022届“皖豫名校联盟体”高三第三次考试）某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系，其中，是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为，，且，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（

）（参考数据：）A．4900m B．5500m C．6200m D．7400m【答案】B【解析】记甲、乙两处的海拔高度分别为，则由题可知：，则m，故选B7.（多选）下列运算法则正确的是（

）A．B．C．（且）D．【答案】CD【解析】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选CD.(二)指数函数的图象及应用8．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学高三下学期联考）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数，单调性相同，同增或者同减，故A错.①若,，在定义域内单调递减，，令时，如图C，若，则，此时的渐近线为，由图，解得，但此时这与与轴交点矛盾，故C错.如图D，解得，无意义，故D错.②若时，，在定义域内单调递增，当时，，且时，，此时B符合.选项B符合故选B9.若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（

）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选BC10.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选AC(三)指数函数的性质及应用11．（2022届广东省广州市高三上学期第三次月考）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，即，令，则在上单调递增，所以.故选C．12.（2022届山东省潍坊市高三上学期期末）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．的定义域为RB．是奇函数C．在定义域上是减函数D．无最小值，无最大值【答案】BD【解析】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确，故选BD13.（2021届江西省南昌县高三上学期期末）已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.【答案】【解析】，因为，所以，.，又因为，所以，，所以，，所以.令，，则，所以.设，，则，在上单调递增，所以，，故.三、最新模拟练14．（2022届北京市西城区高三二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以的定义域为，，当时，则在上单调递增，所以；要使定义域和值域的交集为空集，显然，当时，若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若时在上单调递减，此时，则，所以，解得，即，故选B15．（2022届河南省豫西名校高三4月质检）若，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以．故选D．16．（2022届安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测）函数（是自然对数的底数）的图象关于（

）A．直线对称 B．点对称C．直线对称 D．点对称【答案】D【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称．故选D．17．（2022届山西省晋中市高三二模）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，对任意的，，所以，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，排除CD选项，又恒成立，可排除A选项.故选B.18．（多选）（2022届广东省汕头市高三二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】设，则，，，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，，又，所以，即，故C正确；故选ACD19．（2022届河北省邯郸市大名县高三上学期强化训练）函数的图像恒过一定点，这个定点是___________.【答案】【解析】当即时，，故函数过定点.20．（2022届江苏省南通市高三下学期联考）若，则的最小值为_________．【答案】【解析】依题意，，，则，当且仅当，即时取“=”，此时，，所以，当时，取最小值.21．（2022届山西省吕梁市名校金科大联考高三上学期12月月考）已知函数（其中e是自然对数的底数）.过点的直线与函数的图象交于，两点.(1)若存在直线，使得，求的取值范围；(2)证明：.【解析】(1)解：由题意可知，直线的斜率存在，设的方程为，由直线过点，可得，即.因为直线与函数的图象交于，两点，且，所以，故.故若存在直线，使得，的取值范围为.(2)证明：由题意可知，，整理得，不妨设，要证，只需证明，即，即.整理得，设，即证，设，则，所以在上单调递增，所以，即，即，故.四、高考真题练22．(2020全国卷Ⅰ)若，则 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以．，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误．故选B．23.(2020全国卷Ⅱ)若，则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．故选A．24.(2019全国卷Ⅲ)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 ()A． B．C． D．【答案】C【解析】是上的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．25．(2017全国卷Ⅰ)设为正数,且,则 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】令,则,,∴,则,则,故选D．26.(2016全国卷Ⅲ)已知,,,则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,,故选A.五、综合提升练27.（2022届上海市向明中学高三上学期月考）已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（

）A．①与②均正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确【答案】A【解析】令函数，可得函数为单调递增函数，又由，即，所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，①中，因为，且，则，不妨设，则点，此时直线的方程为，可得，则，可得，又由，所以，即，即，所以①正确；②中，若，不妨设，则，不妨设，则点，此时直线的方程为，可得，则，可得，又由，所以，即，即，所以②正确.故选A.28.（多选）（2022届江苏省盐城、淮安、宿迁、如东等地高三上学期联考）已知函数，，若，则（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对选项A：因为，所以，故选项A正确；对选项B：因为，所以，故选项B错误；对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，不妨设，则，所以，即，故选项C正确；对选项D：因为，且，所以由凹凸性有，又，所以由凹凸性有，所以有，即，即，故选项D错误；