高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第03讲导数与函数的极值、最值(高频精讲)(原卷版+解析)

第03讲导数与函数的极值、最值(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 3高频考点二：求已知函数的极值（点） 5高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 6高频考点四：求函数的最值（不含参） 7高频考点五：求函数的最值（含参） 9高频考点六：已知函数的最值求含参 10高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用 12第四部分：数学文化（高观点）题 14第五部分：数学思想方法 15①数形结合的思想 15②分类与整合的思想 16温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．13．（多选）（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线4．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数图象与极值（点）的关系典型例题例题1．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间上有且仅有2个极值点C．在区间上有且仅有3个零点D．在区间上存在极大值点例题2．（2023·高二校考课时练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极大值例题3．（多选）（2023·高二单元测试）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（

）A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值练透核心考点1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．为的极小值点D．为的极大值点2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．函数在上单调递减C．为函数的极大值点D．是函数的最小值3．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（

）①在区间上是增函数；②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；④是的极大值点.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个高频考点二：求已知函数的极值（点）典型例题例题1．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则的极小值为（

）A．2 B． C． D．例题2．（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（

）A．有两个极值点 B．的极大值点为C．的极小值为 D．的最大值为例题3．（2023·高二校考课时练习）已知函数，则的极大值为________________练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（

）A．1为的极大值点 B．1为的极小值点C．－1为的极大值点 D．－1为的极小值点2．（2023·高二校考课时练习）函数（

）A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值3．（多选）（2023·高二校考课时练习）若函数，则（

）A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值高频考点三：根据函数的极值（点）求参数典型例题例题1．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．4例题2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（

）A． B．C．一定有两个极值点 D．的单调递增区间是例题4．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知在处取得极值，则的最小值为__________.练透核心考点1．（2023·高二校考课时练习）当时，函数取得极小值4，则（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（多选）（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（

）A． B． C．2 D．3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）若函数在处取得极大值10，则的值为___________.4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是________．高频考点四：求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（2023·高二校考课时练习）函数在区间上的最大值是（

）A．0 B． C． D．例题2．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数在的最大值和最小值．例题3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求的极值；(2)求在区间上的最大值与最小值.例题4．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数在处有极值6.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值与最小值.练透核心考点1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）在上的最大值是________.2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知的一个极值点为2.(1)求函数的单调区间.(2)求函数在区间上的最值.3．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求在上的最值.4．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的最值．高频考点五：求函数的最值（含参）典型例题例题1．（2023·高二课时练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，求在区间上的最小值．例题2．（2023·高二课时练习）已知函数．(1)若函数在处取得极值，求实数的值；(2)当时．求函数的最大值．例题3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数的最小值为，求的最大值．练透核心考点1．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知.(1)若在处有极大值，求的值；(2)若，求在区间上的最小值.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．高频考点六：已知函数的最值求含参典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·模拟预测）已知，函数在上的最小值为2，则实数__________.例题3．（2023·高二课时练习）设是函数的一个驻点，曲线在处的切线斜率为9．(1)求的单调区间；(2)若在闭区间上的最大值为20，求的值．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若，试判断在定义域内的单调性；（2）若在上的最小值为，求实数的值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（

）A．7 B． C．3 D．42．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．3．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设，，若时，的最小值是3，求实数的值.（是自然对数的底数）高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用典型例题例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.例题3．（2023·北京丰台·统考一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为_______；的最大值为________．例题4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数的最小值为，求的最大值．练透核心考点1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________．2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的值.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若且存在零点，求实数a的取值范围；(2)若，求的最大值.4．（2023·高三课时练习）已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值．第四部分：数学文化（高观点）题1．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____.2．（2023全国·高二专题练习）声音的波长变化曲线一般都可用多个形如的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如图所示）可用若干个声音函数来描述．已知某声音函数，则在区间上的最小值与最大值之积为______．3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料：（1）直接写出初等函数极值点（2）求初等函数极值.4．（2023·高二单元测试）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．（1）若曲线与在处的曲率分别为，比较大小；（2）求正弦曲线曲率的最大值．第五部分：数学思想方法①数形结合的思想1．（2023·高二校考课时练习）已知函数有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（且）有唯一极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（2023·河南·高三校联考阶段练习）若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围为_____________．②分类与整合的思想1．（2023·山东威海·高三校考阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）．(1)若是的极值点，求的取值范围；2．（2023·山东临沂·高二统考）已知实数，且函数的定义域为．(1)求的导数；(2)当时，求的最大值．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最小值．第03讲导数与函数的极值、最值(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 5高频考点二：求已知函数的极值（点） 10高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 12高频考点四：求函数的最值（不含参） 16高频考点五：求函数的最值（含参） 21高频考点六：已知函数的最值求含参 27高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用 32第四部分：数学文化（高观点）题 39第五部分：数学思想方法 42①数形结合的思想 42②分类与整合的思想 45温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D2．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.3．（多选）（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.4．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数图象与极值（点）的关系典型例题例题1．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间上有且仅有2个极值点C．在区间上有且仅有3个零点D．在区间上存在极大值点【答案】D【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，在区间为正，单调递增，故A错误；在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，故有3个极值点，故B错误；由选项B可知，只能判断在区间上有3个极值点，当的3个极值都小于0时，至多只有1个零点，当的3个极值有正有负时，至少有1个零点，所以无法判断零点个数，故C错误；在区间上为正，单调递增，在区间上为负，单调递减，则为极大值点，故D正确；故选：D.例题2．（2023·高二校考课时练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极大值【答案】A【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，故选：A.例题3．（多选）（2023·高二单元测试）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（

）A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】BC【详解】由图可知，当时，，故单调递减；当，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增，且，，，则该函数在和处取得极小值；当处取得极大值.故选：BC.练透核心考点1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．为的极小值点D．为的极大值点【答案】D【详解】对于A，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，A错误；对于B，当时，，在上单调递减，B错误；对于C，在上单调递减，不是的极小值点，C错误；对于D，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，D正确.故选：D.2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．函数在上单调递减C．为函数的极大值点D．是函数的最小值【答案】B【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.由的图象可知，当时，，当时，，故为函数的极大值点，A错误；当时，，故函数在上单调递减，B正确；当时，，当时，，故为函数的极小值点，C错误；当时，，当时，，故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,故选：B3．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（

）①在区间上是增函数；②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；④是的极大值点.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当时，所以在区间上单调递减，故①错误；在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；故选：C．高频考点二：求已知函数的极值（点）典型例题例题1．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则的极小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，因为所以，令，则，解得或（舍），x2－0＋单调递减极小值单调递增由此表可知，当时，的取得极小值为.故选：D.例题2．（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（

）A．有两个极值点 B．的极大值点为C．的极小值为 D．的最大值为【答案】AB【详解】函数的定义域为R，求导得，由得：或，由得：，因此函数在上单调递增，在上单调递减，于是函数在处取极大值，在处取极小值，C错误；函数有两个极值点，且是的极大值点，A正确，B正确；显然，D错误.故选：AB例题3．（2023·高二校考课时练习）已知函数，则的极大值为________________【答案】【详解】由函数得函数，令，则或，当时，，当时，，当时，故为函数的极大值点，极大值为，故答案为：练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（

）A．1为的极大值点 B．1为的极小值点C．－1为的极大值点 D．－1为的极小值点【答案】D【详解】由，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；令f′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选：D2．（2023·高二校考课时练习）函数（

）A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值【答案】C【详解】，当时，，所以在上单调递减，因此函数无最大值和最小值，也无极值，故选：C3．（多选）（2023·高二校考课时练习）若函数，则（

）A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值【答案】CD【详解】，单调递增，由，则.∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.故选：CD.高频考点三：根据函数的极值（点）求参数典型例题例题1．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【详解】由可知，因为函数的两个极值点分别为和2，所以和2是的零点，故和2是的实数根，，，．当，即时，当，当，函数在上单调递减，在上单调递增，此时极大值为，，；当，即时，当，当，函数在上单调递增，在上单调递减，此时极大值为，，，只要，无论a取何值，始终成立，故选：B．例题2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为有两个不同的极值点，所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号，所以在有2个不同的实数根，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，所以，解得.故选：C.例题3．（多选）（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（

）A． B．C．一定有两个极值点 D．的单调递增区间是【答案】BC【详解】，且在处取得极值，，解得：或；当，时，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，满足题意；当，时，，在上单调递增，不合题意；综上所述：，；对于AB，，A错误，B正确；对于C，和分别为的极大值点和极小值点，C正确；对于D，当，时，，，，，即不满足在单调递增，的单调递增区间应为和，D错误.故选：BC.例题4．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知在处取得极值，则的最小值为__________.【答案】8【详解】解：由，因为函数在处取得极值，所以有，则，因为，所以，当且仅当，结合，即时取等号.故答案为：8练透核心考点1．（2023·高二校考课时练习）当时，函数取得极小值4，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【详解】，，根据题意有，且，解得，，.此时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.函数在处取极小值，满足.故选：A2．（多选）（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（

）A． B． C．2 D．【答案】BD【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数有两个极值点，则方程，即在内有两个变号零点，令，，则，令，当时，，的取值集合是，当时，，若，即，函数对单调递增，的取值集合是，若，即，函数对单调递减，的取值集合是，依题意，方程在内有两个不等实根，即直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，观察图象知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，于是当或时，在内有两个变号零点，所以实数a的取值范围是或，即a的值可以是，，选项AC不满足，BD正确.故选：BD3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）若函数在处取得极大值10，则的值为___________.【答案】##【详解】由题意可知：,则有,解得或．检验：当时，，时，，时，或，则为极小值点，不符合题意；当时，在处取得极大值10，所以.故答案为：4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是________．【答案】【详解】由函数，则求导可得，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，由恒成立，则当时，恒成立，因此，当时，，由函数有小于0的极值点，则有小于的零点，且零点的左右符号不同，根据函数的平移变换，可得，故答案为：.高频考点四：求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（2023·高二校考课时练习）函数在区间上的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，令或，又，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以函数有极大值，又，所以函数在上的最大值为：，故选：C.例题2．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数在的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【详解】（1）易知，函数的定义域为；所以，则切点为又，则在点处的切线斜率，所以，切线方程为，整理可得即函数在点处的切线方程为.（2）由（1）可知，当时，，在上单调递减；或时，，在或上单调递增；函数在上的单调性列表如下：13极大值极小值所以，的极大值为，极小值为；又，；综上可得，函数在上的最大值为，最小值为例题3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求的极值；(2)求在区间上的最大值与最小值.【答案】(1)极大值是，极小值是(2)最大值为2，最小值为【详解】（1）∵，∴，x13+0-0+单调递增极大值2单调递减极小值单调递增故的极大值是，极小值是；（2）由（1）知：x12+0-单调递增极大值2单调递减即函数在区间,上的最大值为2，最小值为.例题4．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数在处有极值6.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1)的单调增区间是，单调减区间是(2)最大值为，最小值为【详解】（1）由题意可得，故，即，得，得或1，当和时，，当时，，故的单调增区间是，单调减区间是，满足在处取得极值；（2）由（1）知，，且在单调递减，单调递增，又，时，.练透核心考点1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）在上的最大值是________.【答案】##【详解】因为，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值即最大值，所以.故答案为：2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知的一个极值点为2.(1)求函数的单调区间.(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)的递增区间为，递减区间为(2)函数在区间上的最大值为，最小值为.【详解】（1）由题意可得：，则，解得，当时，，，令，解得或，则的递增区间为，递减区间为，可得为极小值点，即符合题意，故的递增区间为，递减区间为.（2）∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，则函数在区间上的最大值为，又∵，即，则函数在区间上的最小值为，故函数在区间上的最大值为，最小值为.3．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求在上的最值.【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减(2)最大值，最小值，【详解】（1）函数，则，当时，，当，，故函数在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减且，，则在上的最大值，最小值，4．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的最值．【答案】(1)；(2)，．【详解】（1）因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；（2）由（1）知，令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．高频考点五：求函数的最值（含参）典型例题例题1．（2023·高二课时练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，求在区间上的最小值．【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．(2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为．【详解】（1）因为，所以．①当时，，则在R上单调递增；②当时，令，解得或，则在，上单调递增，在上单调递减；③当时，令，解得或，则在，上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知，当时，或．①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时在上的最小值为；②当，即时，在上单调递减，此时在上的最小值为．例题2．（2023·高二课时练习）已知函数．(1)若函数在处取得极值，求实数的值；(2)当时．求函数的最大值．【答案】(1)a=1(2)答案见解析【详解】（1）由题意可知，所以，即3-3a=0解得a=1，经检验a=1，符合题意．所以a=1．（2）由（1）知，令，，当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：x－21＋0－0＋－7+6a单调递增单调递减单调调增2－3a，由上可知，所以的最大值为．当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：x－21＋0－－7+6a单调递增单调递减2－3a，由上可知，所以f（x）的最大值为．当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，综上所述，当时，f（x）的最大值为；当时，f（x）的最大值为－7+6a．例题3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数的最小值为，求的最大值．【答案】(1)0(2)1【详解】（1）当时，令，，则，令，，则，易知在上单调递增，且，∴当时，，在区间上单调递减，且，当时，，在区间上单调递增，且，∴当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，，∴当时，函数的最小值为.（2）由已知，的定义域为，若函数的最小值为，则有，∴，，令，即的最小值为，由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，∴当且仅当时，取得最小值，又∵，∴只需令有解，即有解，令，，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，∴，综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为.练透核心考点1．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知.(1)若在处有极大值，求的值；(2)若，求在区间上的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，，由题意，，得或，当时，在上，在上，此时，在处有极小值，不符题意；当时，在上，在上，此时，在处有极大值，符合题意.综上，.（2）令，得或，由，则在上，在上，即在上单调递增，在上单调递减.由题意，，当时，在区间上单调递减，则，当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则，当时，在区间上单调递增，则，综上，.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．【答案】(1)极大值，极小值0(2)，的最大值为0，【详解】（1）当时，，，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，的极大值为，极小值为，（2），，当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为，当时，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，在区间上的最小值为，当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减，若，在区间上的最小值为，若，在区间上的最小值为综上，令，则，故在上单调递增，可知在上单调递增，故的最大值为0，高频考点六：已知函数的最值求含参典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当x＜0时，，当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，即在x＞0时恒成立即在x＞0时恒成立即设当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故选：C．例题2．（2023·全国·模拟预测）已知，函数在上的最小值为2，则实数__________.【答案】1【详解】，，当时，即时，则在上恒成立，则在上单调递增，在上的最小值为，解得，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，舍去，综上所述：，故答案为：1.例题3．（2023·高二课时练习）设是函数的一个驻点，曲线在处的切线斜率为9．(1)求的单调区间；(2)若在闭区间上的最大值为20，求的值．【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和(2)【详解】（1），由已知得，得，解得，．经验证可知符合题意，于是，由，得，由,得或，所以的单调递增区间是，单调递减区间是和．（2）由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，又所以其最大值为，解得．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若，试判断在定义域内的单调性；（2）若在上的最小值为，求实数的值.【答案】（1）f（x）在（0，＋∞）上单调递增；（2）a＝－.【详解】（1）由题意得f（x）的定义域是（0，＋∞），且f′（x）＝，因为a＞0，所以f′（x）＞0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增.（2）由（1）可得f′（x）＝，因为x∈［1，e］，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′（x）≥0在［1，e］上恒成立，此时f（x）在［1，e］上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝－a＝，所以a＝－（舍去）；②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′（x）≤0在［1，e］上恒成立，此时f（x）在［1，e］上单调递减，所以f（x）min＝f（e）＝1－＝，所以a＝－（舍去）.③若－e＜a＜－1，令f′（x）＝0，得x＝－a，当1＜x＜－a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，－a）上单调递减；当－a＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（－a，e）上单调递增，所以f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝，所以a＝－.综上，a＝－.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（

）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【详解】解：∵，∴∴导数在时，，单调递减；导数在时，，单调递增；∵，，∴在处取得最大值为，即，故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．【答案】(1)极大值，极小值0(2)，的最大值为0，【详解】（1）当时，，，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，的极大值为，极小值为，（2），，当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为，当时，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，在区间上的最小值为，当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减，若，在区间上的最小值为，若，在区间上的最小值为综上，令，则，故在上单调递增，可知在上单调递增，故的最大值为0，3．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设，，若时，的最小值是3，求实数的值.（是自然对数的底数）【答案】（1）；（2）的增区间是，减区间是；（3）.【详解】（1）因为函数，所以，，所以在点处的切线方程，即.（2）定义域是，由（1）知，当时，，当时，，所以的增区间是，减区间是.（3）因为，所以，当，即时，，所以在上递减，所以，解得（舍去），当即时，当时，，当时，，所以，解得.满足条件，综上：实数的值是.高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用典型例题例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】易知最小值只能在极小值处取得，，解得导数零点为，根据题意可得．当时，在上，在上单调递增，无最值；当时，在上，上，上，所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以在取得极小值，又极小值必须为最小值，所以，即，所以；当时，在上，上，所以在上单调递减，上单调递增，此时函数有最小值满足条件，综上所述，的取值范围为．故选：A．例题2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】，若函数有两个极值点，则和在上有2个交点，，时，即，递增，时，，递减，故（1），而时，恒成立，时，恒成立，所以，故答案为：．例题3．（2023·北京丰台·统考一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为_______；的最大值为________．【答案】

1（≤1的任一实数，答案不唯一）；

1【详解】记函数，则.令，解得：.列表得：+0-0+单增单减单增对于函数，当时，不能取得最小值，所以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.综上所述：当时函数存在最小值.故答案为：①1（的任一实数，答案不唯一）；②1.例题4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数的最小值为，求的最大值．【答案】(1)0(2)1【详解】（1）当时，令，，则，令，，则，易知在上单调递增，且，∴当时，，在区间上单调递减，且，当时，，在区间上单调递增，且，∴当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，，∴当时，函数的最小值为.（2）由已知，的定义域为，若函数的最小值为，则有，∴，，令，即的最小值为，由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，∴当且仅当时，取得最小值，又∵，∴只需令有解，即有解，令，，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，∴，综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为.练透核心考点1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的值.【答案】(1)函数增区间为，减区间为(2)【详解】（1）函数的定义域为当时，，，令得，；令得，或，结合定义域得，∴函数增区间为，减区间为；（2）①当时，，∴，∴函数在上是增函数，∴，∴，∴符合题意；②当且时，令得，+0-增函数极大值减函数∴，∴，∴不符合题意，舍去；③若，即时，在上，∴在上是增函数，故在上的最大值为，∴不符合题意，舍去，综合以上可得.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若且存在零点，求实数a的取值范围；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）因为，所以，①当时，，此时在单调递增，所以在存在唯一零点，所以在存在唯一零点；②当时，，所以在无零点；③当时，，，此时在单调递减，单调递增，所以，且，若存在零点，则只需要即可，所以，由①②③可得，实数的取值范围；（2）①当时，，此时在单调递增，当时与恒成立矛盾；②当时，，则，所以，③当时，，，此时在单调递减，单调递增，所以，令，所以，，，所以在单调递增，单调递减，，所以由①②③可得，的最大值为.4．（2023·高三课时练习）已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值．【答案】（1）；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．试题解析：（1）．由已知得，．故，．从而，．（2）由（1）知，，．令得，或．从而当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，函数取得极大值，极大值为．第四部分：数学文化（高观点）题1．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____.【答案】【详解】∵，∴，，若在为“凸函数”，则，，即，，设，则，∴在区间单调递增，当时，，∴实数的取值范围是.故答案为：[2,+∞)2．（2023全国·高二专题练习）声音的波长变化曲线一般都可用多个形如的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如图所示）可用若干个声音函数来描述．已知某声音函数，则在区间上的最小值与最大值之积为______．【答案】【详解】当时，由，得，令，得，解得或．当时，，单调递减；当时，，单调递增，则在区间上的最小值是，且，所以在区间上的