高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】(原卷版+解析)

专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点关于点的对称问题】 1【题型2直线关于点的对称问题】 3【题型3点关于直线的对称问题】 5【题型4直线关于直线的对称问题】 7【题型5光线反射问题】 8【题型6将军饮马问题】 12【知识点1点关于点的对称】1．点关于点的对称【题型1点关于点的对称问题】【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2)【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是.【知识点2直线关于点的对称】1．直线关于点的对称【题型2直线关于点的对称问题】【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+2y−1=0关于点(1,−1)对称的直线l′的方程为（

A．2x−y−5=0 B．x+2y−3=0 C．x+2y+3=0 D．2x−y−1=0【变式2-1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（A．(12,32) B．(−1,【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（

）A．3x−2y−10=0 B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0 D．2x+3y−2=0【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9 B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9 D．a=1，b=9【知识点3直线关于点的对称】1．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【题型3点关于直线的对称问题】【例3】（2023·全国·高一专题练习）点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点Q的坐标为（

A．−3,5 B．−1,−4 C．4,1 D．2,3【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(−1,−3) B．(−1,−4) C．(4,1) D．(2,3)【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【知识点4直线关于直线的对称】【题型4直线关于直线的对称问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（

）A．2x+3y−4=0 B．2x−3y+4=0C．2x−3y−4=0 D．3x+2y−4=0【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线y=ax+2与直线y=3x−b关于直线y=x对称，那么（

）A．a=13,b=6 B．a=13,b=−6【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线l：x+y−1=0对称，直线l2与直线l3：A．−13 B．13 C．3【题型5光线反射问题】【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x−y+4−23=0C．3x+y+4−23=0【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点P−4,8和Q−3,6，然后被直线y=x−3反射，则反射光线所在的直线方程为（A．x+2y−3=0 B．2x+y−15=0C．x−2y−5=0 D．x+2y+3=0【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知A4,0，B0,6，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点PA．126513 B．813013 C．【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AEA．−∞,−14 B．−14【题型6将军饮马问题】【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．27 B．5 C．15 D．29【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2+1+A．5 B．10 C．1+5 D．【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．1453 B．37 C．1353 【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B3,4，若将军从点A−2,0处出发，河岸线所在直线方程为y=x，则“将军饮马”的最短总路程为（

A．5 B．35 C．4 D．

专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点关于点的对称问题】 1【题型2直线关于点的对称问题】 3【题型3点关于直线的对称问题】 5【题型4直线关于直线的对称问题】 7【题型5光线反射问题】 8【题型6将军饮马问题】 12【知识点1点关于点的对称】1．点关于点的对称【题型1点关于点的对称问题】【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2)【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.【解答过程】解：设Ba,b，由题知，点A和点B的中点为2,14+a2=20+b2所以B点的坐标为0,2故选：B.【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．【解题思路】由中点坐标公式求解即可【解答过程】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为B(x,y)，则点P为AB的中点．∴3=解得x=5y=6∴点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．故答案为：(5,6)．【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为3,−6．【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，所以x+52=4y+8所以C的坐标为3,−6．故答案为：3,−6.【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是17.【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.【解答过程】根据中点坐标公式，得x−22=1，且解得x=4，y=1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x,y)到原点的距离d=(4−0)故答案为：17.【知识点2直线关于点的对称】1．直线关于点的对称【题型2直线关于点的对称问题】【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+2y−1=0关于点(1,−1)对称的直线l′的方程为（

A．2x−y−5=0 B．x+2y−3=0 C．x+2y+3=0 D．2x−y−1=0【解题思路】根据直线关于直线外一点(1,−1)的对称直线互相平行可知其斜率，再取l上一点求其关于点(1,−1)的对称点，即可求出l′【解答过程】由题意得l′//l，故设在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1,−1)的对称点是A′所以1+2×(−2)+c=0，即c=3，故直线l′的方程为x+2y+3=0故选：C.【变式2-1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（A．(12,32) B．(−1,【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线l上P(1,2)的对称点，且该点在直线l1【解答过程】由题设，P(1,2)关于(0,1)对称的点必在l1上，若该点为(x,y)∴{1+x2=02+y2=1，解得故选：C.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（

）A．3x−2y−10=0 B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0 D．2x+3y−2=0【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点−1,2对称的点的坐标为(−2−x,4−y)，代入已知直线即可求得结果.【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y，则其关于点−1,2对称的点的坐标为(−2−x,4−y)，因为点(−2−x,4−y)在直线2x+3y−6=0上，所以2−2−x+34−y故选：D.【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9 B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9 D．a=1，b=9【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则am+3n−9=0∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点∴a＝﹣1，b＝﹣9故选A．【知识点3直线关于点的对称】1．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【题型3点关于直线的对称问题】【例3】（2023·全国·高一专题练习）点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点Q的坐标为（

A．−3,5 B．−1,−4 C．4,1 D．2,3【解题思路】利用中点和斜率来求得Q点坐标.【解答过程】设点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点的坐标为a,b则b−0a−2×1=−1a+2所以点Q的坐标为−3,5.故选：A.【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(−1,−3) B．(−1,−4) C．(4,1) D．(2,3)【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【解答过程】设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b−0a−2×(−1)=−1所以点Q的坐标为(−1,−3)故选：A.【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【解题思路】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.【解答过程】点A，B关于直线4x+3y=11对称，则kAB即b+2−(−b)a+2−(b−a)且AB中点(b+2代入得2(b+2)+3=11，②联立①②组成的方程组，解得a=4b=2故选：D.【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得m,n，从而求得m+n的值．【解答过程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，∴线段AB的中点C（1+m2，−2+n2）在直线x+2∴1+m2−2+∴m+2n＝7，而n+2m−1×（−12）＝﹣1，得2解方程组m+2n=72m−n=4，可得m＝3，n∴m+n＝5.故选：C.【知识点4直线关于直线的对称】【题型4直线关于直线的对称问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（

）A．2x+3y−4=0 B．2x−3y+4=0C．2x−3y−4=0 D．3x+2y−4=0【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于y轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.【解答过程】设点Px,y是所求直线上任意一点，则P关于y轴的对称点为P−x,y，且在直线2x+3y+4=0上，代入可得−2x+3y+4=0，即故选：C.【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【解答过程】设对称直线方程为x+2y+c=0，1+11+22=c−1所以所求直线方程为x+2y+3=0.故选：B.【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线y=ax+2与直线y=3x−b关于直线y=x对称，那么（

）A．a=13,b=6 B．a=13,b=−6【解题思路】由题意在y=ax+2上任取一点(0,2)，其关于直线y=x的对称点在y=3x−b上，代入可求出b，然后在y=3x−b上任取一点，其关于直线y=x的对称点在y=ax+2上，代入可求出a.【解答过程】在y=ax+2上取一点(0,2)，则由题意可得其关于直线y=x的对称点(2,0)在y=3x−b上，所以0=6−b，得b=6，在y=3x−6上取一点(0,−6)，则其关于直线y=x的对称点(−6,0)在y=ax+2上，所以0=−6a+2，得a=1综上a=1故选：A.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线l：x+y−1=0对称，直线l2与直线l3：A．−13 B．13 C．3【解题思路】利用直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，求得l2的斜率，然后求得l1与l的交点坐标，在直线l1上取点0,3【解答过程】解：直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，则kl∵直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线∵由ax−y+3=0x+y−1=0得x=−2a+1在直线l1上取点0,3，设该点关于l对称的点为Pm,n，则m2+n+32−1=0故选：B.【题型5光线反射问题】【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x−y+4−23=0C．3x+y+4−23=0【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点A′【解答过程】点A2,4关于x轴的对称点为A又反射光线倾斜角为180∘−60∘=∴反射光线所在直线方程为：y+4=−3x−2，即故选：C.【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点P−4,8和Q−3,6，然后被直线y=x−3反射，则反射光线所在的直线方程为（A．x+2y−3=0 B．2x+y−15=0C．x−2y−5=0 D．x+2y+3=0【解题思路】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线y=x−3的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.【解答过程】入射光线所在的直线方程为y−68−6=x−联立方程组x−y−3=0,2x+y=0,解得x=1,y=−2,即入射点的坐标为设P关于直线y=x−3对称的点为P′则a−42−b+82−3=0,因为反射光线所在直线经过入射点和P′所以反射光线所在直线的斜率为−7−−2所以反射光线所在的直线方程为y+2=−1即x+2y+3=0．故选：D.【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知A4,0，B0,6，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点PA．126513 B．813013 C．【解题思路】求出P关于AB的对称点P1和它关于y轴的对称点P2，则【解答过程】解：直线AB的方程为x4+y设点P2,0关于直线AB的对称点为P则ba−2=233⋅又点P2,0关于y轴的对称点为P由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长P1故选：B.【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AEA．−∞,−14 B．−14【解题思路】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.【解答过程】由题意可知：直线BC的方程为y=x−4，直线AC的方程为y=−x+4，如图：设F0,−2关于直线BC的对称点为P(a,b)，则b解得a=2b=−4，故P同理可求P2,−4关于直线AC的对称点为M(8,2)连接MA,ME,ME交AC于N，而MN方程为y=2,联立y=2y=−x+4得N点坐标为N(2,2)连接PA,PN，分别交BC于H,G,PA方程为：y=−4x+4，和直线BC方程y=x−4联立，解得H点坐标为H(8PN的方程为x=2,和直线BC方程y=x−4联立解得G(2,−2)，连接FG,FH,则H,G之间即为动点D点的变动范围，而kFG故FD斜率的取值范围是(−1故选B.【题型6将军饮马问题】【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．27 B．5 C．15 D．29【解题思路】设B(−2,0)关于x+y=3的对称点为(x,y)，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.【解答过程】由B(−2,0)关于x+y=3的对称点为(x,y)，所以{x−22+y2=3所以“将军饮马”的最短总路程为(3−1)2故选：D.【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高