湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（原卷版）

湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024－2025学年九年级上学期数学开学考试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A.1，4，5 B.0，， C.1，，5 D.1，，3.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A. B. C. D.4.对于二次函数，下列说法正确的是（）A.图象开口向下 B.当时，随的增大而减小C.当时，随的增大而减小 D.图象的对称轴是直线5.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A. B.C. D.6.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（）A. B. C. D.7.若是方程的一个根，则的值为（）A.2020 B. C.2019 D.8.在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（）A. B. C. D.9.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.10.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（）A B. C. D.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.将一元二次方程化成的形式为______．12.把二次函数图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是__________．13.当______时，关于方程是一元二次方程．14.已知方程的两根分别为和，则__________．15.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．16.二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是________．（填序号）三．解答题（共6小题，满分72分）17解方程（1）（2）（3）（4）18.已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．19.已知二次函数（1）把函数表达式配方成形式为．（2）函数图象的开口方向向，顶点坐标为，对称轴为直线，函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．（3）函数的图象可由抛物线向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到；（4）根据图象，写出时，x的取值范围是．（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．20.2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？21.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．22.已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；（2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点