发展量感三部曲：建构-体验-想象-以“大面积单位”教学为例

建立并发展量感是学生形成抽象能力的经验基础。在课堂教学中，学生对无法直接体验的大计量单位接受程度不高。那么，如何在“大面积单位”教学中发展学生的量感呢？下面笔者以“公顷和平方千米”教学为例，依据教材编排的一致性和学生学习的发展性，试图在引领学生经历建构、体验、想象中逐步发展量感；在联结体验、推想叠加中探寻大面积单位量感建构的教学策略。【问题背景】“公顷”和“平方千米”作为极大的面积单位，由于学生体验少，日常使用频率低，与学生实际生活关联性低，因而教学效果不佳。根据笔者在教学“公顷和平方千米”后的学情后测情况分析，主要有以下问题：一是单位感知难。对于平方米等较小的面积单位，学生感知较为清晰，但对较大的面积单位概念则比较模糊，特别是“公顷”和“平方千米”这两个单位易混淆，估测能力较弱。二是名数换算难。学生对同属性跨度较大的名数换算较困难，会受单位前数据特点的干扰，相隔较远的单位之间的换算要考虑中间单位，十分易错。三是序列建立难。作为面积单位教学的结束课，近40%的学生没有将公亩纳入其中，不理解公顷和平方米之间的进率为什么是10000，存在遗漏、顺序错误、进率标注错误等情况。【归因分析】计量单位本身很抽象，尤其是大计量单位，学生接触机会少，经验积累缺乏，教材编排分散。在人教版数学教材中，大计量单位的教学主要分布在三年级和四年级上册，涉及“千米、吨、公顷、平方千米”这几个单位。从度量对象和度量单位选择看，千米和吨都是可直接感知的熟悉的素材，公顷和平方千米却没有相应的生活具象作为支撑，需要间接描述，借助度量单位累加来建立大单位的概念。但从度量结果呈现看，千米和吨能够通过组织实地感知来积累相应的经验，但公顷和平方千米组织实地感知难度较大，教学中仅依赖面积单位界定的一致性去机械理解。【策略探寻】一、有效建构，把握大面积单位量的概念度量单位的形成主要有两类途径：一类是通过抽象得到,是人思维的结果；另一类是借助工具得到,是人实践的结果。因而建构量感需要一定的经验积累，汲取原有面积单位学习经验，致力充分体验，清晰建立“量”的表象。1.课始联结，激活大面积单位的方法意识课堂伊始，梳理已学面积单位，将零散的“点”状知识，放入知识“轴”中，开展联结，在知识结构化的过程中让学生感受需要更大面积单位的必要性。【片段一】师：学校占地面积大约是3（），你能填上合适的单位吗？预设：公顷或平方千米。师：为什么不用之前的面积单位呢？以前学过哪些面积单位？学生依次介绍学过的面积单位的大小、进率，教师板贴（图1）：师：大家都认为已经学过的面积单位都太小了，这节课我们就来认识比它们更大的面积单位：公顷和平方千米。学生介绍已学的面积大小的过程，实际上也是一个回顾面积知识框架的过程，由点连轴，发现面积单位界定的一致性，唤起学习经验，激活方法意识。2.课末联结，完善量的结构体系大计量单位的教学都是该属性单位教学的结束，往往与前面其他单位的学习有一个间断过程，需要将大计量单位纳入到原有的知识结构中，强调“计量单位”的产生与关联，形成结构化思维。【片段二】师：现在把这两个新学的面积单位也放入面积单位轴里，你能把它们的进率补充完整吗？你有什么发现？小结：相邻两个面积单位之间的进率都是100，只是生活中不太常用公亩，所以只记忆平方米到公顷的进率。它们的进率是多少？（10000）你记住了吗？在全课总结环节，再次联结，将课堂开头的“面积单位轴”（图2）补充完整。这样既沟通了面积单位之间的关系，也理清了一维的长度和二维的面积之间的关系，形成整体结构。学生通过系统化感悟和体验，为体积单位的学习积累了经验。二、三重体验，建立大面积单位的真实表象量感是由情境决定的。在具体教学中，从学生身边最熟悉、可感知的事物出发，通过三次由浅入深的体验活动，亲历由较小面积到较大面积的累加过程，为“1公顷”和“1平方千米”的自主建构积累丰富的感性经验。第一重体验——课件出示：40名同学围成边长10米的正方形，面积是1平方十米（图略）。引导性问题：用这样的经验估计，微格教室大约有多大？第二重体验——课件出示：沿跑道走400米，需要6分钟，围成的面积就是1公顷（图略）。引导性问题：用刚才的“1平方十米”去铺，需要铺几个？第三重体验——课件出示：学校东门→游泳中心→鄞州公园→明州医院→学校东门，围成的面积是1平方千米，需要走1小时（图略）。引导性问题：现在你知道平方千米有多大了吗？“围出1平方十米、在操场上走100米、从学校出发走1千米”，在这三次课前体验活动中，较短的路程通过视觉感知，较长的路程通过记录时间感知，感受所围成面积的大小。前两次体验通过感知相对较小的面积单位，引发学生思考：“几个这样的面积单位可以铺成一个较大的面积单位？”充分感知公顷这个面积单位之大，借助与平方米之间的关系，建立公顷表象。第三次体验，帮助学生建立1平方千米的表象，再与公顷比较，促进两个单位量感的良好建构。三、想象叠加，深化大面积单位本质1.四次想象，锚定大面积单位量的基本模型公顷和平方千米“有多大、大到怎样的程度”，在学生表象形成后，面对“10000”“1000000”这样的数字，很难感知实际数值的大小。因此，在教学中对公顷和平方千米各进行了两次想象感受活动，通过对比联系，分享感受，感悟大面积单位之“大”。想象→教师提问→学生感想第一次想象——教师提问：这一块围起来的正方形面积就是1公顷，大约有大半个健康园大。闭上眼想象一下，你有什么感受？学生感想：原来大半个健康园的面积将近1公顷，1公顷可真大！第二次想象——教师提问：全鄞州区的小朋友大约是16万人，也只能刚刚站满1公顷，你有什么感受？学生感想：1平方米已经能站下16个人了，1公顷能站这么多的人，1公顷确实很大。第三次想象——教师提问：想象从学校出发走1个边长为1千米的正方形，你有什么感受？学生感想：走1千米已经很累了，沿着1平方千米的边缘走一圈，这个范围太大了！第四次想象——教师提问：1平方千米大约是33个我们学校、25个天一广场、5个院士公园的面积。看了这些数据，你有什么感受？学生感想：在我眼中这三个地方已经很大了，有好多个这样的地方才是1平方千米，真是非常大啊！第一、三次想象，借助每日所处地点想象，描述感受；第二、四次想象，用人数和熟悉场所的面积个数描述公顷和平方千米。通过多维想象，建立基本模型，后续会自主将一个新的面积与已有熟悉的面积联系。在选择合适单位时，也会把所建立的面积单位模型作为参照系筛选正确单位，培养学生对量的估测意识。2.推算叠加，丰富大面积单位量的认知大面积单位之大无法直接感知，其本质是单位面积的累加过程。借助熟悉素材，经历“认识标准、借助原有单位推算、估计叠加”的探究过程，逐步建立公顷和平方千米的概念。公顷探究流程——素材：学校航拍图；认识标准：大半个健康园；借助原有单位推算：①微格教室（100平方米），②尼克图书馆（200平方米），③里奥体育馆（500平方米）；估计叠加（铺一铺）：①以学校（3公顷）为标准，估计南部商务区的面积，②以南部商务区（70公顷）为标准，估计首南街道的面积。平方千米探究流程——素材：鄞州区地图；认识标准：首南街道部分区域；借助原有单位推算：①学校（3公顷），②天一广场（4公顷），③院士公园（20公顷）；估计叠加（铺一铺）：小组合作，自主确定熟悉的参照物，在地图上画一画1平方千米和几平方千米的范围。在公顷学习过程中，先借助三个单位量推算几个这样的面积是1公顷；从1公顷到几公顷，经历逐步叠加的过程，并应用几公顷估计更大的面积。同样地，在平方千米探究中，也借助单位量进行推算叠加。【片断三】教师在鄞州区地图上圈出了3个大约1平方千米的面积，引导学生观察发现无论是什么形状，面积不变。安排操作活动，用彩笔圈一圈。根据老师圈的大小，在地图上用彩笔圈1～2个1平方千米。说一说圈出的范围内有哪些你熟悉的地方。挑战圈一圈几平方千米。学生交流分享。小结：我们不仅可以量一量、画一画，生活中很多时候是以马路为边界来划分区域，像这些不同形状的约1平方千米的图形，还可以是通过几个1平方千米拼组得到。用“学校、天一广场、院士公园”的面积去推