人教版九年级数学中考模拟试题及参考答案

人教版九年级数学中考模拟试题

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了

代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答

案的标号涂黑.

1.-2的相反数是（）

_11

A.2B.-2C.D.-

2.下列图形是中心对称图形的是（）

A.（S）

3.计算旧-班的结果是（）

A.1B.-1C.V3D.-近

4.下列计算结果正确的是（）

A.8xb4-2x3=4x2B.x2+x3=x5

C.（-3x2y）"=-9x6y3D.x,x2=x3

5.下列调查中，最适合采用普查方式的是（）

A.调查一批汽车的使用寿命

B.调查重庆全市市民“五•一”期间计划外出旅游

C.调查某航班的旅客是否携带了违禁物品

D.调查全国初三学生的视力情况

6.函数喀中，自变量x的取值范围是（）

A.x>4B.-2>x#4C.x>-2且xW4D.xW4

A.48°B.42°C.38°D.21°

8.已知x=2是一元二次方程（m-2）x2+4x-mJ。的一个根，则m的值为（）

A.2B.0或2C.0或4D.0

9.如图，AB是。。的直径，CD是。。上的点，ZDCB=30°,过点D作。。的切线交AB的延

长线于E,若AB=4,则DE的长为（）

1

A.2B.4C.MD.2V3

10.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有3个点，第2个图形中共有8

个点，第3个图形中共有15个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是（）

第①个图第②个图第③个图第④个图

A.42B.48C.56D.72

11.甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，

乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/

秒，先到终点者在终点原地等待.设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两

人都到达终点计时结束，整个过程中y与之间的函数图象是（）

12.如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于

k

点E,BC±AC,连接BE,反比例函数产二（x>0）的图象经过点D.已知限曲=2,则k的值

二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答

题卡中对应的横线上

13.3月20日，2016长安汽车重庆国际马拉松鸣枪开跑，本届重马不仅是2016年全国马拉

松锦标赛三站中的一站，同时还是2016年巴西里约奥运会马拉松唯一一站选拔赛，比赛分

2

为全程、半程、迷你三大项目，吸引了31900多名选手参加.把数“31900”用科学记数法

表示为.

14.计算：IV3-2|+(-y)-1=.

15.如图，已知△ABC中，DE〃BC,连接BE,4ADE的面积是ABDE面积的去则小：SA

ABC二__________

16.如图，矩形ABCD中，点。在BC上，0B=20C=2,以0为圆心0B的长半径画弧，这条弧

恰好经过点D,则图中阴影部分的面积为一.

17.从-2,-1,0,1,2,3,4这7个数中任选一个数作为a的值，则使得关于x的分式

方程3誓■+3七二~有整数解,且关于x的一次函数y=(a+1)x+a-4的图象不经过第二

象限的概率是.

18.如图，正方形ABCD中，AB=4,点E是BC上靠近点B的四等分点，点F是CD的中点，

连接AE、BF将4ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的氏处位置处，点A经过

旋转落在点A1位置处，连接AAi交BF于点N,则AN的长为.

三、解答题：(本大题共2个小题，每小题7分，共14分)请把答案写在答题卡上对应的

空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

19.如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE//DF,ZA=ZF,AB=FD.求证：AE=FC.

3

E

20.2016年春节联欢晚会分为A（语言类）、B（歌舞类）、C（魔术类）、D（杂技类）四类节

目.为了了解某养老院老人对这几类节目的喜好程度，民政部门在该养老院随机抽取部分老

人进行了问卷调查，规定每位老人只能选一类自己最喜欢的节目，并制成了以下两幅不完整

的统计图.由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）已知该养老院共有230位老人，请你估计该养老院喜欢语言类节目的老人大约有多少

各类型节目喜爱人数的条形统计图

各类型节目喜要人数的扇

形统计图

(1)(a+b)(a-2b)-(a-b)2

⑵金]）+（二x-3)

3-xx-3

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）请把答案写在答题卡上对应的

空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

22.如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走104米到点D

处，测得大楼顶部点A的仰角为37。，大楼底部点B的俯角为45。，已知斜坡CD的坡度为

i=l：2.4.（参考书据：sin37°00.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75）

（1）求点D距水平面BC的高度为多少米；

（2）求大楼AB的高度约为多少米.

4

23.某中学在开学前去商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球共花费3000元，购

买B品牌足球共花费1600元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球的3倍，已知购买

一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.(1)求购买一个A品牌、一个B品牌足

球各需多少元？

(2)为了进一步发展“校园足球”，学校在开学后再次购进了A、B两种品牌的足球，每种

品牌的足球不少于15个，总花费恰好为2268元，且在购买时，商场对两种品牌的足球的销

售单价进行了调整，A品牌足球销售单价比第一次购买时提高了8%,B品牌足球按第一次购

买时销售单价的9折出售.那么此次有哪些购买方案？

24.如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1,

那么我们把这样的自然数叫做“妙数”.例如：321,6543,98,…都是“妙数”.

(1)若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为—.

(2)证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一

定能被11整除.

(3)在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新

的四位自然数A,且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n,使得自然数

(9A+n)各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由.

五、解答题：(本大题共2个小题，每小题12分，共24分)请把答案写在答题卡上对应的

空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25.在AABC中，ZABC=2ZACB,延长AB至点D,使BD=BC,点E是直线BC上一点，点F

是直线AC上一点，连接DE.连接EF,且NDEF=NDBC.

(1)如图1,若ND=NEFC=15°,AB=«,求AC的长.

(2)如图2,当NBAC=45°,点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，

求证：CF=V2BE.

(3)如图3,当NBAC=90°,点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，

猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论.

26.如图1,抛物线行费"X2+^x-3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧)，已知

3

C(0,y).连接AC.

(1)求直线AC的解析式.

(2)点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PELx轴交直线AC于点E,交x轴于点

2

F,过点P作PGLAE于点G,线段PG交x轴于点H.设1=EP-^FH,求1的最大值.

5

(3)如图2,在(2)的条件下，点M是x轴上一动点，连接EM、PM,将AEPM沿直线EM

6

参考答案

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了

代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答

案的标号涂黑.

1.-2的相反数是（）

_11

A.2B.-2C.--D.77

【考点】相反数.

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可.

【解答】解：-2的相反数是：-（-2）=2,

故选A

2.下列图形是中心对称图形的是（

A,B.C.

【考点】中心对称图形.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

3.计算小-m的结果是（）

A.1B.-1C.V3D.-V3

【考点】二次根式的加减法.

【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式求解.

【解答】解：原式=2«-3T

=-V3.

故选D.

4.下列计算结果正确的是（）

A.8X64-2X3=4X2B.x2+x3=x5

C.（-3x2y）'=-9x6y3D.x,x2=x3

【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幕的乘法；塞的乘方与积的乘方.

【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化

简、同底数塞的乘法运算法则，进而判断得出答案.

【解答】解:A、8X84-2XMX3,故此选项错误；

B、x2+x3,无法计算，故此选项错误；

C、（-3x2y）三-27x6y3,故此选项错误；

D、x*x2=x3,故此选项正确；

故选：D.

7

5.下列调查中，最适合采用普查方式的是（）

A.调查一批汽车的使用寿命

B.调查重庆全市市民“五•一”期间计划外出旅游

C.调查某航班的旅客是否携带了违禁物品

D.调查全国初三学生的视力情况

【考点】全面调查与抽样调查.

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到

的调查结果比较近似.

【解答】解：A、调查一批汽车的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A错误；

B、调查重庆全市市民“五•一”期间计划外出旅游，调查范围广适合抽样调查，故B错误;

C、调查某航班的旅客是否携带了违禁物品是事关重大的调查，适合普查，故C正确；

D、调查全国初三学生的视力情况，调查范围广适合抽样调查，故D错误；

故选：C.

6.函数方--了中，自变量x的取值范围是（）

x~4

A.x>4B.-2Rx^4C.x>-2>x#4D.x#4

【考点】函数自变量的取值范围.

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，x+2'O且X-4W0,

解得X》-2且XTM.

故选B.

A.48°B.42°C.38°D.21°

【考点】直角三角形的性质；平行线的性质.

【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出/3,再根据直角三角形两锐角互余即可求出

Z2.

【解答】解：如图，Zl=42°,

.•.Z3=Z1=42°,

Vl3±14,

；.N2=90°-Z3=48°.

故选A.

8

1

'1

8.己知x=2是一元二次方程(m-2)x2+4x-mJ。的一个根，则m的值为()

A.2B.0或2C.0或4D.0

【考点】一元二次方程的解.

22

【分析】把x=2代入一元二次方程(m-2)X+4X-m=0中即可得到关于m的方程，解此方

程即可求出m的值.

【解答】解：；x=2是一元二次方程(m-2)X2+4X-m2=0的一个根，

.".4(m-2)+8-m2=0,即m2-4m=0,

解得：m=0或m=4.

故选：C.

9.如图，AB是。。的直径，CD是。。上的点，ZDCB=30°,过点D作。。的切线交AB的延

长线于E,若AB=4,则DE的长为()

A.2B.4C.炳D.2M

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【分析】连接0D.由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求得NB0D=60°,然后由切线的

性质可证明N0DE=90°,根据三角形的内角和是180°可求得NE=30°,依据含30°直角三

角形的性质可知0E=20D=4,再利用勾股定理，即可解答.

【解答】解：如图，连接0D.

VZDCB=30°,

ZB0D=60°.

；DE是。0的切线,

/.Z0DE=90°.

.\ZDE0=30°.

9

A0E=20D=AB=4,

在RtZXODE中,DE=VOE2-OD2=742-22=2V3.

10.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有3个点，第2个图形中共有8

个点，第3个图形中共有15个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是（）

第①个图第②个图第③个图第④个图

A.42B.48C.56D.72

【考点】规律型：图形的变化类.

【分析】由已知四个图形中点的个数可知，第n个图形中点的数量为n（n+2）个，据此解

答可得.

【解答】解：..•第1个图形中点的个数为：3X1=3个，

第2个图形中点的个数为：4X2=8个，

第3个图形中点的个数为：5X3=15个，

第4个图形中点的个数为：6X4=24个，

.•.第6个图形中点的个数为：8X6=48个,

故选：B.

11.甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点,

乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/

秒，先到终点者在终点原地等待.设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两

人都到达终点计时结束，整个过程中y与之间的函数图象是（）

【考点】函数的图象.

【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时

间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分

析四个选项即可得出结论.

10

【解答】解：当甲跑到终点时所用的时间为：2000+8=250（秒）,

此时甲乙间的距离为：2000-200-6X250=300（米）,

乙到达终点时所用的时间为：4-6=300（秒）,

...最高点坐标为.

设y关于x的函数解析式为y=kx+b,

产200%=-2

当OWxWlOO时，有1100k+b=0,解得：，

上二200

此时y=-2x+200；

100k+b=0'k=2

当100<xW250时，有解得:

250k+b=300b=-200

此时y=2x-200；

f250k+b=300"k=-6

当250<xW300时，有,解得：

1300k+b=0b=1800

此时y=-6x+1800.

，-2x+200(0<x<100)

••.y关于X的函数解析式为y=|2x-200(100<x<250)

-6x+1800(250<x<300)

整个过程中y与之间的函数图象是B.

故选B.

12.如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于

k

点E,BC±AC,连接BE,反比例函数产］（x>0）的图象经过点D.已知S.CE=2,则k的值

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质.

【分析】设点D的坐标为（m,n）（m>0,n>0）,则CD=m,OC=n.由平行线的性质结合平

行四边形的性质即可得出NACD=NOEC,ZDAC=90°=ZCOE,由此即可得出△COEsZM）AC,

OCCEnCE

再根据相似三角形的性质即可得出应行，即而T，结合三角形的面积公式即可得出

mn=2SABCE=4.根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论.

【解答】解：设点D的坐标为（m,n）（m>0,n>0）,则CD=m,OC=n,

：CD〃x轴，

ZACD=ZOEC.

:四边形ABCD为平行四边形，BC±AC,

11

ADA±AC,AD=BC,

ZDAC=90°=ZCOE,

.'.△COE^ADAC,

OCCEnnnCE

e*ADCD'即BCm'

mn=BC*CE.

1

=

***SABCE—"^"BC*CE2,

•.mn=2SABCE=4.

•・•点D在反比例函数y二(x>0)的图象上,

k=mn=4.

二、填空题：(本题共6小题，每小题4分，共24分)请把下列各题的正确答案填写在答

题卡中对应的横线上

13.3月20日，2016长安汽车重庆国际马拉松鸣枪开跑，本届重马不仅是2016年全国马拉

松锦标赛三站中的一站，同时还是2016年巴西里约奥运会马拉松唯一一站选拔赛，比赛分

为全程、半程、迷你三大项目，吸引了31900多名选手参加.把数“31900”用科学记数法

表示为3.19X10".

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【解答】解：将31900用科学记数法表示为3.19X104.

故答案为:3.19X104.

14.计算：|石-2|+(-/)-=一如.

【考点】实数的运算；负整数指数累.

【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数哥的性质分别化简求出答案.

M_L_

【解答】解：原式=2-+,1

2

=2-炳-2

=-

12

故答案为：-V3.

15.如图，已知AABC中，DE〃BC,连接BE,4ADE的面积是ABDE面积的看，则小：SA

ABC-1：9

【考点】相似三角形的判定与性质.

_AD1AD1

【分析】根据等高的两三角形的面积之比等于对应边之比得出丽=1,求出而=百，根据相

似三角形的判定得出△ADES/XABC,根据相似三角形的性质得出即可.

【解答】解：的面积是4BDE面积的方，

.他一1

••丽=0

AD1

,,AB=P

VDE//BC,

.'.△ADE^AABC,

SAADE9.L1.

=（AB）J（3）J9,

'△ABC

故答案为：1：9.

16.如图，矩形ABCD中，点。在BC上，0B=20C=2,以0为圆心OB的长半径画弧，这条弧

2冗

恰好经过点D,则图中阴影部分的面积为〒-M.

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质.

【分析】作0PXAD于P,根据矩形的性质得到AODE为等边三角形，根据三角形的面积公式、

扇形的面积公式计算即可.

【解答】解：作OPLAD于P,

由题意得，OB=OE=OD,

.\OD=2OC=2,

13

.•.Z0DC=30",

则/0DE=60°,

.1.△ODE为等边三角形，

.'.△ODE的面积为“，

则阴影部分的面积为：60义兀X2?_加玛L_M

3603

川公夫,2兀V3

故答案为:~~-.

17.从-2,-1,0,1,2,3,4这7个数中任选一个数作为a的值，则使得关于x的分式

方程宜一+3中+-有整数解，且关于x的一次函数y=(a+1)x+a-4的图象不经过第二

象限的概率是—申_.

【考点】概率公式；分式方程的解；一次函数图象与系数的关系.

【分析】首先使得关于X的分式方程上等+3~至-有整数解，且关于X的一次函数y=

(a+1)x+a-4的图象不经过第二象限的数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：••・关于X的分式方程宜爸+3在"有整数解，

x-33-x

.*.3-ax+3(x-3)=-x,

6

解得：X=4T7I,

7x7^3,

・・・xWl,

...当a=-2,2,3时，分式方程3+3不卫-有整数解;

•.•关于x的一次函数y=(a+1)x+a-4的图象不经过第二象限，

a+1>0,a-4W0,

・•・-l<a^4,

・••当a=0,1,2,3,4时，关于x的一次函数y=(a+1)x+a-4的图象不经过第二象限；

综上，当a=2,3时，使得关于x的分式方程宜鲁+3法"有整数解，且关于x的一次

函数尸(a+1)x+a-4的图象不经过第二象限；

...使得关于X的分式方程上寸一有整数解，且关于X的一次函数y=(a+1)x+a

-4的图象不经过第二象限的概率是：Y，

14

…j2

故答案为：y.

18.如图，正方形ABCD中，AB=4,点E是BC上靠近点B的四等分点，点F是CD的中点，

连接AE、BF将4ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的氏处位置处，点A经过

旋转落在点A"立置处，连接AL交BF于点N,则AN的长为当更.

一5一

A

【考点】旋转的性质；正方形的性质.

【分析】先找出辅助线判断出点P是13131的中点，由旋转得到△BCFs/iAPE,再判断出A,

Bi,M三点共线，再由BIQ=@£,AIQ=2《5=ABI最后用勾股定理计算即可.

55

作EPLBF,AiQXBF,取BC的中点M,连接AB1，BM,

...点P是BBi的中点，

是BM中点，

.•.EP/7MB1,

.,.MBiXBBi,

由旋转得，△BCFS^APE,

2炳

/.BP=—,EP=V—5

bb

2^5

VPBi=PB=—

5

.BB.转

••DD1-f—，

5

15

CF娓BB,

,sinZFBC=^r=—=—1

5BA

.ZABiB=90°,

.A,Bi,M三点共线,

85/5

.ABF—

5

*ZBiAiQ=ZBBiE=ZFBC,

.ABiQAi^AFCB,

4疾8A/5

・B]Q=—ArQ=—^=ABi,

55

.△ABiN^AAiQN,

12“

•BiN=/3BQ=—5

根据勾股定理得'AN二率,

故答案为：名暑

5

三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）请把答案写在答题卡上对应的

空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

19.如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE/7DF,ZA=ZF,AB=FD.求证：AE=FC.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】根据BE〃DF,可得NABE=ND,再利用ASA求证AABC和△FDC全等即可.

【解答】证明：：BE〃DF,

ZABE=ZD,

在AABE和4FDC中，

ZABE=ZD,AB=FD,ZA=ZF

.'.△ABE^AFDC（ASA）,

.•.AE=FC,

20.2016年春节联欢晚会分为A（语言类）、B（歌舞类）、C（魔术类）、D（杂技类）四类节

目.为了了解某养老院老人对这几类节目的喜好程度，民政部门在该养老院随机抽取部分老

人进行了问卷调查，规定每位老人只能选一类自己最喜欢的节目，并制成了以下两幅不完整

的统计图.由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

16

(2)已知该养老院共有230位老人，请你估计该养老院喜欢语言类节目的老人大约有多少

各类要节目喜爱人数的条形统计图

【分析】(1)根据B类的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以D类所占的百分比，从而

补全统计图；

(2)用该养老院的总人数乘以该养老院喜欢语言类节目所占的百分比，从而得出答案.

20

【解答】解：(1)D类节目类型的人数是：标X10%=5(人)，

(2)根据题意得：

15,

230X^=69(人)，

答：该养老院喜欢语言类节目的老人大约有69人.

21.化简下列各式：

(1)(a+b)(a-2b)-(a-b)2

(_-__-_1)二(―1—--3)

⑵x2-6x4-93-x),33x"

【考点】分式的混合运算；多项式乘多项式；完全平方公式.

【分析】(1)根据多项式乘以多项式、完全平方公式可以对原式进行化简;

(2)先化简括号内的式子，然后根据分式的除法进行计算即可解答本题.

【解答】解：(1)(a+b)(a-2b)-(a-b)2

17

=a2-ab-2b2-a2+2ab-b2

=ab-3b2；

(—上__--1_\二(__x_3'

⑵’21Q-xJ'x-I_3"

x—6x+93°xx°

(x+3)(x-3)]7-(x+3)(x-3)

=[(x-3)2-3-x-3

x2-9+x-313

=(x-3)2X7-X2+9

(x+4)(x-3)x1

x-3(4+x)(4-x)

1

4-x-

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）请把答案写在答题卡上对应的

空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

22.如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走104米到点D

处，测得大楼顶部点A的仰角为37。，大楼底部点B的俯角为45。，己知斜坡CD的坡度为

i=l：2.4.（参考书据：sin370弋0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75）

（1）求点D距水平面BC的高度为多少米；

（2）求大楼AB的高度约为多少米.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】（1）作DELAB于E,作DFLBC于F,y由CD的坡度为i=l：2.4,CD=104米，得

DF

到诃=1：2.4,根据勾股定理列方程，即可得到结论；

（2）根据矩形的性质得到BE=40m,由等腰直角三角形的性质得到DE=BE=40m,根据三角函

数的定义即可得到结果.

【解答】解：（1）作DE_LAB于E,作DF_LBC于F,

,•,CD的坡度为i=l：2.4,CD=104米，

22

；,VDF+(2.4DF)=104,

18

.\DF=40（米）；

（2）VDF=40m,

:.BE=40m,

VZBDE=45°,

.•.DE=BE=40m,

在RtZXADE中，ZADE=37°

.•.AE=tan37°•40=30（米）

；.AB=AE+BE=70m.

23.某中学在开学前去商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球共花费3000元，购

买B品牌足球共花费1600元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球的3倍，已知购买

一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.（1）求购买一个A品牌、一个B品牌足

球各需多少元？

（2）为了进一步发展“校园足球”，学校在开学后再次购进了A、B两种品牌的足球，每种

品牌的足球不少于15个，总花费恰好为2268元，且在购买时，商场对两种品牌的足球的销

售单价进行了调整，A品牌足球销售单价比第一次购买时提高了8%,B品牌足球按第一次购

买时销售单价的9折出售.那么此次有哪些购买方案？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用.

【分析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，根据购买A品

牌足球数量是购买B品牌足球数量的3倍，列出方程解答即可；

（2）设此次可购买，m个B品牌足球，购进A牌足球n个，根据总花费恰好为2268元，列

出等式，得出m与n的关系式，进而利用每种品牌的足球不少于15个，得出不等关系求出

n的取值范围，即可分析得出答案.

【解答】解：（1）设购买一个A品牌足球需要x元，由题意得：

30001600X3

xx+30'

解得：x=50,

经检验：x=50是原分式方程的解，

x+30=80,

答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元；

（2）调整价格后，购买一个A型足球需：50（1+8%）=54（元），

购买一个B型足球需：80X0.9=72（元），

设此次购买m个A型足球和n个B型足球，则：

54m+72n=2268,

4

贝ljm=42-yn,

19

42-420^~

由彳3,解得15Wn4,

n)15

4

Vm=42-T-n为整数，n为整数，

o

；.n能被3整除，

；.n=15或18,

4

当n=15时，111=42-^X15=22,

当n=18时，m=18,

...方案一：购买22个A型足球和15个B型足球；

方案二：购买18个A型足球和18个B型足球.

24.如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1,

那么我们把这样的自然数叫做“妙数”.例如：321,6543,98,…都是“妙数”.

(1)若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为765.

(2)证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一

定能被11整除.

(3)在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新

的四位自然数A,且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n,使得自然数

(9A+n)各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由.

【考点】因式分解的应用.

【分析】(1)设这个“妙数”个位数字为a,根据题意判断“妙数”的尾位数，从而得知这

个“妙数”为3位数，列出方程100(x+2)+10(x+1)+x=153x,求解可得；

(2)设四位“妙数”的个位为X、两位“妙数”的个位为y,分别表示出四位“妙数”和两

位“妙数”，再将四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1的结果除以11判

断结果是否为整数即可；

(3)设三位“妙数”的个位为z,可知A=1000m+lllz+210,继而可得

9A+n=9000m+999z+1890+n=1000(9m+z+l)+800+90+n-z,由-8Wn-zW9、1000(9m+z+l)

W1000(9X9+9+1)=91000知其百位数一定是8,且该数为5位数，若存在则该数为88888,

,(1000(9irri-z+l)=8800C

从而得出《即9m+z=87、n-z=-2,由m>z+2知z<m-2,而z=87

[90+n-z=88

-9m<m-2,解之可得m>8.9,即可得m值，进一步即可得答案.

【解答】解：(1)设这个“妙数”个位数字为a,

若这个“妙数”为4位数，则其个位数字最大为6,根据题意可知这个“妙数”最大为6X

153=918,不合题意；

,这个“妙数”为3位数，根据题意得：100(x+2)+10(x+1)+x=153x,

解得：x=5,

则这个“妙数”为765,

故答案为：765；

(2)由题意，设四位“妙数”的个位为x,则此数为1000(x+3)+100(x+2)+10(x+1)

+x=llllx+3210,

设两位“妙数"的个位为y,则此数为10(y+1)+y=lly+10,

20

Ullx+3210-(lly+10)+l11(lOlx-y)+3201

-------------------------=-------------------=lOlx-y+291,

1111

：x、y为整数，

,'.lOlx-y+291也为整数,

任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11

整除；

(3)设三位“妙数”的个位为z,由题意，得：

A=1000m+100(z+2)+10(z+1)+z=1000m+lllz+210,

9A+n=9000m+999z+1890+n

=9000m+1000z+1890+n-z

=1000(9m+z+l)+800+90+n-z,

,；m、n是一位自然数，0WzW9,且z为整数，

-8Wn-zW9,

：9A+n的百位为8,且1000(9m+z+l)W1000(9X9+9+1)=91000,

；.9A+n为五位数，且9A+n=88888,

，1000(9irH-z+l)=8800C

"[90+n-z=88'

9m+z=87,n-z=-2,

Vm>z+2,

z<m-2,

z=87-9m<m-2,

9,

是一个自然数，

m=9,

于是z=6,n=4,

答:m=9,n=4.

五、解答题：(本大题共2个小题，每小题12分，共24分)请把答案写在答题卡上对应的

空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25.在AABC中，ZABC=2ZACB,延长AB至点D,使BD=BC,点E是直线BC上一点，点F

是直线AC上一点，连接DE.连接EF,且NDEF=NDBC.

(1)如图1,若ND=NEFC=15°,AB=vf3，求AC的长.

(2)如图2,当NBAC=45°,点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，

求证：CF=V2BE.

(3)如图3,当NBAC=90°,点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，

猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论.

21

【考点】三角形综合题.

【分析】（1）首先证明NFEC=NF=15°,推出/ACB=30°,由此即可解决问题.

（2）如图2中，连接CD,作EM_LEB交AF于M,作FN_LBE于N,AF交DE于点0.由4

EMC^AECD,推出EF=DE,再由△EFN^^DEB,推出DB=EN=BC,推出BE=CN,推出4CFN是

等腰直角三角形，由此即可解决问题.

（3）CF=V3BE.如图3中，连接CD、DF、作NELCE交AD的延长线于N,在线段CE上截取

一点M,使得FM=FE.只要证明AEDN之△CMF,推出NE=CF,即可解决问题.

【解答】（1）解：在4BDE中，ZD+ZDBE+ZBED=180",

VZDEB+ZDEF+ZFEC=180°,ZDEF=ZDBC,

AZD=ZFEC=ZF=15°,

ZACB=ZF+ZCEF=30",

在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=«,ZACB=30°,

.\BC=2AB=2V3>

2-AB27（273）2-（V3）%.

AC=7BC=

（2）证明：如图2中，连接CD,作EMJ_EB交AF于M,作FN_LBE于N,AF交DE于点0.

VZBAC=45°,ZABC=2ZACB,

ZABC=90°,ZACB=ZMCE=ZEMC=45°,

.\EM=EC,

VBD=DC,

ZBDC=ZBCD=45°,

.\ZDCE=ZEMF=135O,

VZDEF=ZDBC=90°,ZFCD=ZDCA=90°,

Z0EF=Z0CD,VZE0F=ZC0D,

Z0FE=Z0DC,

在AEMF和AECD中，

22

'NEFM二NEDC

<ZEMF=ZDCE,

EM二EC

.,.△EMC^AECD,

AEF=DE,

VZDEB+ZFEN=90°,ZEFN+ZFEN=90°,

・・・ZEFN=ZDEB,

在AEFN和ADEB中，

'NN=NDBE=9O°

<ZEFN=ZDEB,

EF二DE

.,.△EFN^ADEB,

/.DB=EN=BC,

.\BE=CN,

VACFN是等腰直角三角形，

・・・CF=&CN%BE.

(3)结论：CF=V3BE.

理由：如图3中，连接CD、DF、作NE_LCE交AD的延长线于N,在线段CE上截取一点M,

使得FM=FE.

VZBAC=90°,ZABC=2ZACB,

ZABC=60°,ZACB=30°,

VDB=BC,

.\ZDBC=120°,ZBDC=ZBCD=30°,

.'.ZDBC=ZDEF=120°,ZDCA=ZDCB+ZACB=60°,

.\ZDEF+ZDCF=180o,

・・・E、F、C、D四点共圆,

ZDCE=ZECF,

・••徐命

.\DE=EF=FM,

VZNEB=90°,ZNBE=ZABC=60°,

ZN=ZACM=30°,

ZDBC=ZBDE+ZDEB=ZDEB+ZFEM=ZDEB+ZFME,

・・・ZBDE=ZFME,

ZNDE=ZFMC,

在AEDN和AFMC中，

23

'NNDE=/FMC

-ZN=ZFCM，

DE=FM

.'.△EDN^ACMF,

.\NE=CF,

在RSNEB中，VZNEB=90°,ZN=30

.,.NE=V3BE,

.•.CF=V3BE,

26.如图1,抛物线产"1^2总x-3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧)，已知

3

C(0,2).连接AC.

(1)求直线AC的解析式.

(2)点P是x轴下方