2024北京广渠门中学初三一模数学试卷和答案

试题PAGE1试题2024北京广渠门中学初三一模数学一、选择题（每题2分，共16分）1.下列立体图形中，主视图是圆的是（）A. B. C. D.2.某种冠状病毒的直径120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（）A.米 B.米 C.米 D.米3.如图，，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（）A.点C到的垂线段是线段 B.与互相垂直C.与互相垂直 D.线段的长度是点D到的距离4.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（）A.十边形 B.十一边形 C.十二边形 D.十三边形5.阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（）A.或 B.或 C. D.6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）A. B. C. D.7.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A.1.6，1.5 B.1.7，1.6 C.1.7，1.7 D.1.7，1.558.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表：时间分钟含药量毫克则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题9.在函数中，自变量的取值范围是___________．10.方程组的解是___．11.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．12.如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m．13.已知点在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是__________．（只需写出符合条件的一个的值）14.如图，在中，点D在上（不与点A，B重合），过点D作交于点E，若，则__________．15.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象与直线的交点的纵坐标为2，则该图象与直线的交点的横坐标为___．16.围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住___个白子．三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－23题，每小题6分，第24题5分，第25－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.解不等式，并写出其正整数解．19.已知，求代数式的值．20.已知：如图，A为上的一点．求作：过点A且与相切的一条直线．作法：①连接OA；②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；④作直线PA．直线PA即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA．由作法可知．∴点A在以OP为直径的圆上．∴（）（填推理的依据）．∵OA是的半径，∴直线PA与相切（）（填推理的依据）．21.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求方程的根．22.已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长．23.如图，中，平分交于，以为直径的交于点，交于点．（1）求证：是切线；（2）连接交与、连接交于，连接，若的半径为，，求和的长．24.有这样一个问题：探究函数的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数为时，随增大而_______填“增大”或“减小”；②当函数为时，它的图象与直线的交点坐标为_______；（2）当函数为时，如表为其与的几组对应值，则_______．①如图，在平面直角坐标系中，描出了该函数部分对应值为坐标的点，请大致画出该函数的图象；②结合函数图象，估计方程的解可能为_______．25.如图，A是上一点，BC是的直径，BA的延长线与的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是的切线；（2）若，，求CD的长．26.在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数．（1）若此二次函数图象的对称轴为．①求此二次函数的解析式；②当时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；（2）若，当时，函数值都大于a，求a的取值范围．27.如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135°，得到线段AN，连接BN．（1）依题意补全图2；（2）求证：∠BAN＝∠AMB；（3）点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O的伴随点是；②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M(m，0)，半径为2，直线y＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1.【答案】D【详解】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，故B不符合题意；C、圆台的主视图是梯形，故C不符合题意；D、球的主视图是圆，故D符合题意，故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．2.【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】120纳米=120×10-9米=1.2×10-7米，

故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【分析】本题考查的是点到直线的距离，根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵，∴点C到的垂线段是线段，原说法错误，故本选项符合题意；B、∵，∴，即与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；C、∵，垂足为E，∴与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；D、∵，∴，∴线段的长度是点D到的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．故选：A．4.【答案】C【分析】首先设多边形的每一个外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．【详解】解：设外角为x°，

由题意得：x+4x+30=180，

解得：x=30，

360°÷30°=12，∴这个多边形是十二边形．故选：C【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解题的关键是内角与相邻的外角是互补关系，构建方程求解．5.【答案】D【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【详解】可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；当时，=（x+2）+（5-x）=7；当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D.【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.6.【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；∴P（2女生）=．故选：B．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】B【分析】对于中位数由于图中是按从小到大的顺序排列的，找出最中间的两个数求平均数即可；对于众数可由条形统计图中出现天数最多的数据写出．【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，1.7（万步），故众数是1.7（万步）；

因图中是按从小到大的顺序排列的，第15天和第16天的步数都是1.6（万步），故中位数是1.6（万步）．

故选：B．【点睛】本题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．8.【答案】D【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：，则将代入得：，解得：，故函数解析式为：，由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：，则将代入得：，故函数解析式为：．故函数图象D正确．故选：．【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9.【答案】且【分析】根据二次根式有意义的条件、分母不为、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【详解】解：由题意得，，解得，且，故答案为：且【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．10.【答案】【分析】利用加减消元法解答即可．【详解】解：，

①×2+②，得：5x=10，

解得x=2，

把x=2代入①，得：4+y=1,解得y=-3，

所以原方程组的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．11.【答案】0【分析】根据一元二次方程根判别式可得：△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，可进一步求出结果.【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，解得m＜1，故答案是：0．【点睛】考核知识点：从根的情况求参数.12.【答案】20【分析】根据两边对应成比例，夹角相等证明，再由相似三角形对应边成比例求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，故答案为：20【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．13.【答案】－1（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且，－2＜－1＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，故答案为：－1（答案不唯一）【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键．14.【答案】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．【详解】解：∵中，，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．15.【答案】-1【分析】由反比例函数的图象与直线的交点的纵坐标为2，则可得交点的坐标，从而求得反比例函数解析式，根据反比例函数图象与直线相交，即可求得交点的横坐标．【详解】∵反比例函数的图象与直线的交点的纵坐标为2，∴此交点坐标为(1，2)．∴，即反比例函数解析式为．∵的图象与直线相交，∴，即x=-1．∴的图象与直线的交点的横坐标为-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，求得反比例函数的解析式是关键．16.【答案】21【分析】根据题意可得到黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2；黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1；黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1；黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，由此可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3，得到当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1；当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1；当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2；当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3即可求解．【详解】解：根据题意得：黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2，黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1，黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1，黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，∴可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3，当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1；当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1；当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2；当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3；∴当黑子的个数为15=4×4-1时，最多可以围住白子的个数为2×42-3×4+1=21个．故答案为：21【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－23题，每小题6分，第24题5分，第25－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】1【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】解：原式=1+2-3+=1+2-3+1=1【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18.【答案】，正整数解为1，2．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．【详解】解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，∴不等式的正整数解为1，2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．19.【答案】2【分析】由得：，将化简变形可得．【详解】解：∵，∴，∴．【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是将式子进行化简．20.【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；（2）证明：连接BA，由作法可知，∴点A在以OP为直径的圆上，∴（直径所对的圆周角是直角），∵OA是的半径，∴直线PA与相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．21.【答案】（1）a＜；（2）【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；

（2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴＞0，解得a＜，∴的取值范围为a＜．（2）∵a＜，且a为正整数，∴，代入，此时，方程为．∴解得方程的根为【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．22.【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）先证明AE∥BD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得BD的长．【小问1详解】解：∵AC⊥BD，AC⊥AE，∴AE∥BD，又AB∥DC，∴四边形ABDE是平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE，∠E=∠ABD，∵，∴，则CE=10，在Rt△EAC中，，∴BD=6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．23.【答案】（1）见解析（2）4，【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由是直径即可证得结论；（2）连接、、，过作于，则易证≌，则可得，从而有∽，由相似三角形的性质可求得的长，则可得是等腰直角三角形；易得四边形是矩形，则可得，且可得是等腰直角三角形，则可得及的长，在中，由勾股定理即可求得的长．【小问1详解】证明：，平分交于，，是的直径，是切线；【小问2详解】解：连接、、，过作于，如下图，是的直径，，平分，，，，≌，，，的半径为，，，，∴，∽，，即，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，在中，由勾股定理得．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．24.【答案】（1）①增大；②，（2）3；①见解析；②【分析】（1）由的系数的正负求解．令，求出的值，进而求解．（2）将代入解析式求解即可求得．根据图象中所描点及函数解析式求解．结合图象求解．【小问1详解】，随增大而增大，故答案为：增大．令，解得，，交点坐标为，故答案为：，【小问2详解】将代入得，．故答案为：．①如图，②由图象估计，直线与函数图象交点横坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，并能从图象中获取正确的信息．25.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）先由圆周角定理得出，再由斜边上的中线性质得出，由是切线得出，即可得出，周长结论；（2）先证明是等边三角形，得出，再在和中，运用锐角三角函数即可得出结果．【小问1详解】证明：连接，；如图所示：是的直径，，，是的中点，，，，，是的切线，，，，，是上一点，是的切线；【小问2详解】解：由（1）知．在中，，，即，；，，，是等边三角形，，在中，，，，，又在中，，，．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算．26.【答案】（1）①；②>；（2）．【分析】（1）①根据对称轴求出a的值，即可得到二次函数的解析式；②把二次函数的解析式配方即可得到解答；（2）由题意可得原函数图象的对称轴为x=a，开口向上，且x≥-2时函数值随x的增大而增大，求出x=-2时y的值，再由y>a即可得到题目解答．【小问1详解】解：①由题意可得：,解之可得：a=1，∴二次函数的解析式为：；②∵=，∴y≥5，当x=1时，y=5；当x≠1时，y>5，故答案为>；【小问2详解】解：∵=，∴原函数图象的对称轴为x=a，开口向上，∵，∴当时，原函数的函数值随x的增大而增大，∵当x=-2时，y=4+4a+6=10+4a，∴10+4a>a，解之可得：a>，∴a的取值范围为：．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的对称轴、配方法及最值、二次函数的图象及性质是解题关键．27.【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形、线段的画法作图即可；（2）先证明，再由三角形内角和求得∠AMB与∠BAM的数量关系，再利用角的和差也可求得∠BAN与∠BAM的关系，进而得结论；（3）如图2，任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点，连接，先根据对称性和旋转的性质可知，，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，又根据线段的和差、对称性得出，要总有，只需恒成立，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得．【详解】（1）由旋转图形、线段的画法