高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第41练二项式定理(原卷版+解析)

第41练二项式定理一、课本变式练1.（人A选择性必修三P34习题6.3T2变式）展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．352.（人A选择性必修三P34习题6.3T8变式）已知（1+2x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（

）A．211 B．210 C．29 D．283.（多选）（人A选择性必修三P34习题6.3T6变式）在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大4.（人A选择性必修三P34习题6.3T6（2）变式）．的展开式中常数项是______________．（用数字作答）二、考点分类练(一)求指定项系数5.（2023届吉林省长春外国语学校高三上学期期中）的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．456.（2023届四川省成都市金牛区高三上学期阶段性检测）二项式展开式中的系数为（

）A．120 B．135 C．140 D．1007.（多选）（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期8月联合调研）若，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．8.（2023届四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知多项式，则的值为______．(二)求二项式系数之和或系数之和9．（2022届贵州省遵义市高三第三次统一考试）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（

）A．10 B．15 C．18 D．3010.（2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11.（2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为___________．(三)最值问题12.设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．813.（2023届广东省普宁市华美实验学校高三上学期月考）在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为12814．（2023届四川省岳池中学高三上学期12月月考）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．(四)与其他知识的交汇问题15.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（

）A． B． C． D．4516.已知（，且），其中，，则（

）A． B．C． D．17.已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为___________.三、最新模拟练18．（2023届广西贵港市百校高三上学期11月联考）展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．3519.（2023届江西省南昌市第二中学高三上学期第一次考试）在展开式中，下列说法错误的是（

）A．常数项为 B．第项的系数最大C．第项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为20.（2022届重庆市永川北山中学校高三高考冲刺）已知，则（

）A． B．C． D．21.（2023届广东省东莞市第四高级中学高三上学期8月月考）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中第5项为D．展开式中的系数为22.（2022届重庆市西南大学附属中学校高三全真模拟）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．与都是正整数C．是的小数部分D．设，，则23.（2023届广东省高三上学期11月联合质量测评）的展开式中，含项的系数为___________．24.（2023届江西省西路片七校高三上学期第一次联考）已知（为整数）的展开式中项的系数为20，则的展开式中的常数项为_________．25．（2023届福建省厦门外国语学校高三上学期第月考）设，1，2，…，2022）是常数，对于，都有，则=________.四、高考真题练26．(2022新高考全国I卷)展开式中的系数为________________(用数字作答)．五、综合提升练27.（2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考）下列各式中，不是的展开式中的项是（

）A． B． C． D．28.（2022届江苏省南通市基地学校高三下学期3月大联考）若，则（

）A． B．C． D．29.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是__________．①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；②；③；④．第0行

第1行

第2行

第3行

……

……第n行

……

30.（2023届湖北省九校教研协作体高三上学期起点考试）已知为正整数，.其中的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.第41练二项式定理一、课本变式练1.（人A选择性必修三P34习题6.3T2变式）展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．35【答案】A【解析】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．故选A2.（人A选择性必修三P34习题6.3T8变式）已知（1+2x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（

）A．211 B．210 C．29 D．28【答案】C【解析】由题意可得，，所以n=10，则（1+2x）n的二项式系数之和为210.所以所有偶数项的二项式系数之和29，故选C．3.（多选）（人A选择性必修三P34习题6.3T6变式）在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大【答案】BCD【解析】二项式的展开式通项为，对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；对于B选项，各项的系数和是，B对；对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；故选BCD4.（人A选择性必修三P34习题6.3T6（2）变式）．的展开式中常数项是______________．（用数字作答）【答案】15【解析】的展开式的通项公式，令，解得，所求常数项为．二、考点分类练(一)求指定项系数5.（2023届吉林省长春外国语学校高三上学期期中）的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．45【答案】B【解析】的展开式为，令，解得：，故，所以的系数等于-10.故选B6.（2023届四川省成都市金牛区高三上学期阶段性检测）二项式展开式中的系数为（

）A．120 B．135 C．140 D．100【答案】B【解析】的展开式通项公式为，其中，，，故二项式中的四次方项为，即展开式中的系数为.故选B7.（多选）（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期8月联合调研）若，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，令，则，所以A正确，对于B，因为5个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是5个因式中，一个取，其他4个因式取2，或两个因式取，其他3个因式取2，所以，所以B错误，对于C，令，则，因为，所以，所以C错误，对于D，展开式所有项系数和为，令，则，因为，所以，所以D正确，故选AD8.（2023届四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知多项式，则的值为______．【答案】【解析】依题意，含的项为，所以.(二)求二项式系数之和或系数之和9．（2022届贵州省遵义市高三第三次统一考试）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（

）A．10 B．15 C．18 D．30【答案】B【解析】由于二项式展开式的二项式系数和为，所以.二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选B10.（2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，则，即，A错误；令，则，即①，则，B错误；令，则，即②，由①②可得：，，C、D正确；故选CD.11.（2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为___________．【答案】【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，．，故该展开式中一次项为，(三)最值问题12.设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选C13.（2023届广东省普宁市华美实验学校高三上学期月考）在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为128【答案】ABC【解析】因为展开式的通项公式为，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，由，可知第项的系数最大，故C正确；令，得所有项的系数和为，故D错误；故选ABC.14．（2023届四川省岳池中学高三上学期12月月考）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．【答案】2【解析】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以当时,,当时,,符合题意所以展开式中有理项的个数为2(四)与其他知识的交汇问题15.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（

）A． B． C． D．45【答案】D【解析】由二项式展开项通项公式可得第项为，故第三项与第五项的系数之比为，解得（），由得故常数项为.故选D16.已知（，且），其中，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由二项式定理可得，则，由得，由，得，则，，所以，所以，，所以，A选项正确；因为，，所以在中，令，可得，所以B选项不正确；由题可得，所以，所以，所以选项C正确；因为，，所以在中，令，可得，又，所以，所以D选项正确.故选ACD.17.已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为___________.【答案】5（答案不唯一）【解析】由已知得，由已知且满足能被8整除，则是8的整数倍，所以（），则符合条件的一个的值为5.三、最新模拟练18．（2023届广西贵港市百校高三上学期11月联考）展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．35【答案】A【解析】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．故选A19.（2023届江西省南昌市第二中学高三上学期第一次考试）在展开式中，下列说法错误的是（

）A．常数项为 B．第项的系数最大C．第项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为【答案】B【解析】展开式的通项为：；对于A，令，解得：，常数项为，A正确；对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，则，，，，展开式第项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.故选B.20.（2022届重庆市永川北山中学校高三高考冲刺）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，，当时，，于是得.故选B21.（2023届广东省东莞市第四高级中学高三上学期8月月考）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中第5项为D．展开式中的系数为【答案】AC【解析】对于A：令可得，解得，故A正确；对于B：二项式系数和为，故B错误；对于C：展开式的通项为，第5项即，所以，故C正确；对于D：令，解得，所以展开式中的系数为，故D错误.故选AC22.（2022届重庆市西南大学附属中学校高三全真模拟）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．与都是正整数C．是的小数部分D．设，，则【答案】ACD【解析】对于A，，当时，展开式通项为，，，，A正确；对于B，，不妨令，则，不是正整数，B错误；对于C，，为正整数，为正整数，又，，是的小数部分，C正确；对于D，，展开式通项为；当为偶数时，，，，，即，；当为奇数时，，，，，即，；综上所述：成立，D正确.故选ACD.23.（2023届广东省高三上学期11月联合质量测评）的展开式中，含项的系数为___________．【答案】【解析】的展开式中，含项的系数为．24.（2023届江西省西路片七校高三上学期第一次联考）已知（为整数）的展开式中项的系数为20，则的展开式中的常数项为_________．【答案】240【解析】，则其展开式中项的系数为，整理得：，解得：或，又因为为整数，所以，设展开式的通项为，令，得.所以的展开式中的常数项为25．（2023届福建省厦门外国语学校高三上学期第月考）设，1，2，…，2022）是常数，对于，都有，则=________.【答案】2021【解析】因为，则令可得.又对两边求导可得：，令，则，所以，所以故，所以.四、高考真题练26．(2022新高考全国I卷)展开式中的系数为________________(用数字作答)．【答案】-28【解析】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28五、综合提升练27.（2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考）下列各式中，不是的展开式中的项是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项.故选D.28.（2022届江苏省南通市基地学校高三下学期3月大联考）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A选项：时，，A对．B选项：时，①时，②，B对．C选项：，求导得，时，，，C错．D选项：比较两边的系数，D正确．故选ABD.29.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的