高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.2超几何分布 教学设计

第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布一、教学目标1、正确认知超几何分布2、掌握利用超几何分布解决一些问题的方法二、教学重点、难点重点：正确认知超几何分布难点：正确利用超几何分布解决一些问题三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列．【问题】如何有效解决上述情景中的问题？【阅读研讨】研读课本，交流记忆相关结论（用时约2-3分钟）（二）阅读精要，研讨新知【问题】已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为,求随机变量的分布列.【解读】如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结果相互独立，此时服从二项分布，即.如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布?如果不服从，那么的分布列是什么?【发现】采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08,但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布.【解析】可以根据古典概型求的分布列.由题意可知，可能的取值为.从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得的分布列为，计算的具体结果(精确到0.000

01)如表7.4-1所示.【发现】超几何分布

(hypergeometric

distribution)一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列其中,

,

特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．【解决情景问题】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列．【解析】（1）由已知，有.所以事件A发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为1,2,3,4.所以随机变量的分布列为1234【例题研讨】阅读领悟课本例4、例5、例6（用时约为3-4分钟，教师作出准确的评析.）例4从50

名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.解：设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则服从超几何分布，且因此甲被选中的概率为例5

一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且.的分布列为至少有1件不合格的概率为0.7192.也可以按如下方法求解：0.7192.【探究】服从超几何分布的随机变量的均值是什么?【发现】设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，猜想，即.例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60

个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列；（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.

1的概率.解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4,且各次试验之间的结果是独立的，因此，

的分布列为对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为（2）利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.

000))如表7.

4-2所示.样本中黄球的比例是一个随机变量，

根据表7.4-2,计算得有放回摸球：0.746

9.不放回摸球：0.7988.因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.【思考】两种摸球方式下，随机变量分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(图7.4-4)看，超几何分布更集中在均值附近.【发现】二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()A．B．C．D．解：服从超几何分布，所以.故选C2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则等于()A．B．C．D．解：，故选D3．2015年9月第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为，求的分布列．解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以的分布列服从超几何分布．的所有可能取值为0,1,2,3，其中．由公式可得，，，.所以的分布列为01234.某校为了调查本校学生2022年9月“绿色上网”(绿色上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内绿色上网的天数，并将所得的数据分成以下六组；[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求这40名学生中绿色上网天数超过20天的人数；（2）现从这40名学生中任取2名，设为取出的2名学生中绿色上网天数超过20天的人数，求的分布列．解：（1）由图可知，绿色上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以绿色上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.，，所以的分布列为：012（四）归纳小结，回顾重点超几何分布

(hypergeometric

distribution)一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列其中,

,

特点(1)对于服从