高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第12练函数与方程(原卷版+解析)

第12练函数与方程一、课本变式练1.（人A必修一P155习题4.5T1变式）下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．2.（人A必修一P155习题4.5T2变式）已知函数的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表：x123456y1082则下列结论正确的是（

）A．在内恰有3个零点 B．在内至少有3个零点C．在内最多有3个零点 D．以上结论都不正确3.（人A必修一P144练习T2变式）设函数的零点为,则（

）A． B． C． D．4.（人A必修一P155习题4.5T7变式）若关于的方程的一根大于1,另一根小于1,则实数的取值范围为______．二、考点分类练(一)函数零点所在区间的判断5．（2022届天津市红桥区高三下学期一模）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．6.（2022届河南省焦作市高三第一次模拟）设函数的零点为,则（

）A． B． C． D．(二)函数零点个数的判断7．函数的零点个数为（

）个A．2 B．1 C．0 D．38.（2022届天津市静海区高三下学期3月调研）已知函数是周期为的周期函数,且当时时,,则函数的零点个数是（

）A． B． C． D．9.（2022届安徽省十校联盟高三下学期4月联考）已知函数,则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6(三)函数零点的应用10．（2022届四川省攀枝花市高三上学期考试）已知直线与函数的图象恰有个公共点,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．11.（2022届黑龙江省大庆市高三第三次质量检测）已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．512．已知函数,若有三个不同的实数,使得,则的取值范围为（

）A． B．C． D．三、最新模拟练13.（2022届安徽省部分学校高三上学期期末联考）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．14．（2022届江西省重点中学盟校高三第二次联考）已知函数,,的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是（

）A． B． C． D．15.（2022届北京市丰台区高三上学期期末）已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．16.（2022届江西省萍乡市高三二模）已知函数,则的所有零点之和为（

）A． B． C． D．17.（2022届福建省莆田市高三三模）已知函数,函数,则下列结论正确的是（

）A．若有3个不同的零点,则a的取值范围是B．若有4个不同的零点,则a的取值范围是C．若有4个不同的零点,则D．若有4个不同的零点,则的取值范围是18.（2022届河北省高三下学期4月全过程纵向评价）已知函数有四个不同零点,分别为,,则下列说法正确的是（

）．A．B．C．D．19.（2022届重庆市第八中学校高三下学期月考）已知函数则下列结论正确的有（

）A．N*B．恒成立C．关于x的方程R)有三个不同的实根,则D．关于x的方程N*)的所有根之和为20.（2022届四川省成都市高三下学期“三诊）若函数的图象关于直线对称,且直线与函数的图象有三个不同的公共点,则实数k的值为______．21.（2022届浙江省绍兴市高三下学期4月考试）已知a,,若,,是函数的零点,且,,则的最小值是__________．22.（2022届重庆市西北狼教育联盟高三上学期质量检测）函数满足,当时,,若有8个不同的实数解,则实数m的取值范围是______．四、高考真题练23．(2018全国卷Ⅰ)已知函数,．若存在个零点,则的取值范围是 ()A． B． C． D．24.(2017全国卷Ⅲ)已知函数有唯一零点,则 ()A． B． C． D．25.(2020全国卷Ⅲ)设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明：所有零点的绝对值都不大于1．26.(2019全国卷Ⅱ)已知函数．讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．五、综合提升练27.（2022届天津市宝坻区高三上学期考试）已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．28.（2022届江西省八校高三第一次联考）已知函数的三个零点分别为,其中,则的取值范围为（

）A． B． C． D．29.（2022届江苏省泰州市高三上学期期中）已知关于x的方程有两个不等的实根x1,x2,且x1＜x2,则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．30.（2022届河南省郑州市高三第二次质量预测）已知函数,（）,（）,给出下列四个命题,其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）①存在实数k,使得方程恰有一个根；②存在实数k,使得方程恰有三个根；③任意实数a,存在不相等的实数,使得；④任意实数a,存在不相等的实数,使得．第12练函数与方程一、课本变式练1.（人A必修一P155习题4.5T1变式）下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意,利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反,即穿过x轴,据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点,故选A.2.（人A必修一P155习题4.5T2变式）已知函数的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表：x123456y1082则下列结论正确的是（

）A．在内恰有3个零点 B．在内至少有3个零点C．在内最多有3个零点 D．以上结论都不正确【答案】B【解析】依题意,（2）,（3）,（4）,（5）,根据零点的存在性定理可知,在区间和及内至少含有一个零点,故函数在区间上的零点至少有3个,故选．3.（人A必修一P144练习T2变式）设函数的零点为,则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知在R上单调递增且连续．由于,,,当时,,所以．故选B4.（人A必修一P155习题4.5T7变式）若关于的方程的一根大于1,另一根小于1,则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意,关于的方程的一根大于1,另一根小于1,设,根据二次函数的性质,可得,解得,所以实数的取值范围为.二、考点分类练(一)函数零点所在区间的判断5．（2022届天津市红桥区高三下学期一模）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选C6.（2022届河南省焦作市高三第一次模拟）设函数的零点为,则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知在R上单调递增且连续．由于,,,当时,,所以．故选B(二)函数零点个数的判断7．函数的零点个数为（

）个A．2 B．1 C．0 D．3【答案】A【解析】由,由,所以函数的零点个数为2,故选A.8.（2022届天津市静海区高三下学期3月调研）已知函数是周期为的周期函数,且当时时,,则函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】零点个数就是图象交点个数,作出图象,如图：由图可得有个交点,故有个零点．故选B．9.（2022届安徽省十校联盟高三下学期4月联考）已知函数,则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令,当时,且递增,此时,当时,且递减,此时,当时,且递增,此时,当时,且递增,此时,所以,的零点等价于与交点横坐标对应的值,如下图示：由图知：与有两个交点,横坐标、：当,即时,在、、上各有一个解；当,即时,在有一个解.综上,的零点共有4个.故选B(三)函数零点的应用10．（2022届四川省攀枝花市高三上学期考试）已知直线与函数的图象恰有个公共点,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意,函数,作出的图象：当时,直线和函数的图象只有一个交点；当时,直线和函数的图象只有一个交点,直线和函数的图象有2个交点,即方程在上有2个实数根,,则有,解可得,即的取值范围为,11.（2022届黑龙江省大庆市高三第三次质量检测）已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】因为函数满足,所以函数的图象关于直线对称,又函数为偶函数,所以,所以函数是周期为2的函数,又的图象也关于直线对称,作出函数与在区间上的图象,如图所示：由图可知,函数与的图象在区间上有8个交点,且关于直线对称,所以方程在区间上所有解的和为,故选A.12．已知函数,若有三个不同的实数,使得,则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得：；当时,单调递增；当时,单调递减；且时,关于对称；当时,单调递增；又,,,设,由知：,,.故选B.三、最新模拟练13.（2022届安徽省部分学校高三上学期期末联考）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得为上的递增函数,,,,,由零点存在定理可知,在区间存在零点,故选.14．（2022届江西省重点中学盟校高三第二次联考）已知函数,,的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知条件得的零点可以看成与的交点的横坐标,的零点可以看成与的交点的横坐标,的零点可以看成与的交点的横坐标,在同一坐标系分别画出,,,的函数图象,如下图所示,可知,故选.15.（2022届北京市丰台区高三上学期期末）已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数有两个不同的零点,即为函数与直线有两个交点,函数图象如图所示：所以,故选D.16.（2022届江西省萍乡市高三二模）已知函数,则的所有零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】时,由得,时,由得或,所以四个零点和为．故选D．17.（2022届福建省莆田市高三三模）已知函数,函数,则下列结论正确的是（

）A．若有3个不同的零点,则a的取值范围是B．若有4个不同的零点,则a的取值范围是C．若有4个不同的零点,则D．若有4个不同的零点,则的取值范围是【答案】BCD【解析】令得,即所以零点个数为函数与图像交点个数,故,作出函数图像如图,由图可知,有3个不同的零点,则a的取值范围是,故A选项错误；有4个不同的零点,则a的取值范围是,故B选项正确；有4个不同的零点,此时关于直线对称,所以,故C选项正确；由C选项可知,所以,由于有4个不同的零点,a的取值范围是,故,所以,故D选项正确.故选BCD18.（2022届河北省高三下学期4月全过程纵向评价）已知函数有四个不同零点,分别为,,则下列说法正确的是（

）．A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由题意知有四个不同的根,显然,即,令,即,即．另外,,,令得,故在区间上单调递减,在区间上单调递增,当时,,如图所示．根据题意知存在两根,,不妨设,则满足,．即有,,则由图象可知,故A正确；由于,,故,由图象可知,,,故,即,B错误；结合以上分析可知,故C正确；由,,得,两边取自然对数得,D正确,故选ACD．19.（2022届重庆市第八中学校高三下学期月考）已知函数则下列结论正确的有（

）A．N*B．恒成立C．关于x的方程R)有三个不同的实根,则D．关于x的方程N*)的所有根之和为【答案】AC【解析】由题知,故A正确；由上可知,要使恒成立,只需满足时,成立,即,即成立,令,则得,易知当时有极大值,故B不正确；作函数图象,由图可知,要使方程R)有三个不同的实根,则,即,故C正确；由可知,函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度,在将所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍得到,由于的对称轴为,故的两根之和为,同理,的两根之和为,…,的两根之和为,故所有根之和为,故D错误.故选AC20.（2022届四川省成都市高三下学期“三诊）若函数的图象关于直线对称,且直线与函数的图象有三个不同的公共点,则实数k的值为______．【答案】【解析】由已知可得,是的两个零点,因为函数图象关于直线,因此和也是的零点,所以．由题意可知,关于的方程有三个不同的实数解．令,则关于的方程有两个不同的实数解,,且关于的方程与中一个方程有两个相同的实数解,另一个方程有两个不同的实数解,则或,因此与中有一个等于,另一个大于．不妨设,则,解得,此时,解得、满足条件,因此．21.（2022届浙江省绍兴市高三下学期4月考试）已知a,,若,,是函数的零点,且,,则的最小值是__________．【答案】【解析】即,可转化为两函数图象的交点①若,此时,由对称性可知,不合题意②若,此时,由题意得对于方程故解得故令,故在上单调递减,在上单调递增故的最小值为22.（2022届重庆市西北狼教育联盟高三上学期质量检测）函数满足,当时,,若有8个不同的实数解,则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】由得：对称轴为,当时,,当时,,当时,,故在处取得极小值,且为最小值,,令,则,要想有8不同的实数解,故要有两个根,则,解得：或,且两根均要大于,所以要满足,解得：,综上：.四、高考真题练23．(2018全国卷Ⅰ)已知函数,．若存在个零点,则的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由得,作出函数和的图象如图当直线的截距,即时,两个函数的图象都有2个交点,即函数存在2个零点,故实数的取值范围是,故选C．24.(2017全国卷Ⅲ)已知函数有唯一零点,则 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：,设,当时,,当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,当时,函数取得最小值,设,当时,函数取得最小值,若,函数和没有交点,当时,时,函数和有一个交点,即,所以,故选C．法二：由条件,,得：所以,即为的对称轴由题意,有唯一零点,∴的零点只能为即解得．25.(2020全国卷Ⅲ)设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明：所有零点的绝对值都不大于1．【解析】（1）因为,由题意,,即,则；（2）由（1）可得,,令,得或；令,得,所以在上单调递减,在,上单调递增,且,若所有零点中存在一个绝对值大于1零点,则或,即或．当时,,又,由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点,即在上存在唯一一个零点,在上不存在零点,此时不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾；当时,,又,由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点,即在上存在唯一一个零点,在上不存在零点,此时不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾；综上,所有零点的绝对值都不大于1．26.(2019全国卷Ⅱ)已知函数．讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．【解析】的定义域为.因为,所以在和上是单调递增.因为,,所以在有唯一零点,即．又,,故在有唯一零点．综上,有且仅有两个零点．因为,故点在曲线上．由题设知,即,故直线的斜率．曲线在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是,所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．五、综合提升练27.（2022届天津市宝坻区高三上学期考试）已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时,在上单调递减,又,所以函数在上没有零点,在上单调递增,所以函数在上至多有一个零点,故当时,函数在R上至多有一个零点,不合题意；当时,,,令,得,∴时,,函数单调递增；时,,函数单调递减,∴时,函数有最大值,,∴当,即时,函数在上没有零点,当,即时,函数在上有一个零点,当,即时,函数在上有两个零点；对于,,对称轴为,函数在上最小值为,又,∴当,即,函数在上没有零点,当,即,函数在上有一个零点,当,即,函数在上有两个零点；所以要使函数恰有两个零点则,或a=−12ea=−1,或解得或；综上,实数的取值范围是或.故选C.28.（2022届江西省八校高三第一次联考）已知函数的三个零点分别为,其中,则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,显然,令,（）,即,（）令,（）,则,（）,令,（）,要想除1外再有两个零点,则在上不单调,则,解得：或,当时,在恒成立,则在单调递增,不可能有两个零点,舍去当时,设即的两根为,且,则有,故,令,解