高考数学一轮复习题型与专项训练：随机变量及其分布列（题型战法）

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）

知识梳理

一离散型随机变量的分布列

一般地，当离散型随机变量X的取值范围是｛尤1,及，…，龙〃｝时，如果对任意左G｛1,2,n],概率尸8=词=外

都是已知的，则称X的概率分布是已知的.

离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.

XXIX2XkXn

PPiP2PkPn

二二项分布与超几何分布

1.独立重复试验

在相同条件下重复做〃次伯努利试验时，人们总是约定这〃次试验是互相独立的，此时这〃次伯努

利试验也常称为n次独立重复试验.

2.二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为小记q=l-p,且〃次独立重复试验中出现“成

功”的次数为X,则X的取值范围是｛0,1,2,…，k,n｝,而且P（X"）=C：pkq"T,60,1,

2,n,X的分布列为：

X01kn

C；pkq"fn

pC：Pq°

X服从参数为“p的二项分布，记作X〜B（〃，p）

3.超几何分布

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件（“<N）,从所有物品中随机取出〃

件（〃就），则这〃件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于/且不大于s的所有

自然数，其中S是M与〃中的较小者，/在〃不大于乙类物品件数(即时取0,否则「取〃减

^N-M

乙类物品件数之差(即而且P(X=©=k=t,t+\,...,s,这里的X称为服从

5

参数N,“，M的超几何分布，记作X~H(N,”，M).

如果X~"(N,n,M»且〃+MWW0,则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表:

X01ks

1

p

CMC'MCM

三随机变量的数字特征

1、均值

(1)定义：一般地，由离散型随机变量X的分布列E(&=X1°+X202+...+X"P"=£XM为离散型随机

Z=1

变量X的均值或数学期望(简称为期望).

(2)常见的均值

①若离散型随机变量X服从参数为〃和p的二项分布，即乂~3(“，p),则E(X)=〃p.

②若离散型随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布，即X~”(N,n,M),则E(X)=—

N

(3)性质：已知X是一个随机变量，设a,A都是实数且awO,则Y=aX+〃也是一个随机变量，

那么，£(7)=aF(X)+b.

2.方差

(1)定义：由离散型随机变量X的分布列O(X)=[xr-E(X)]2Pl+[x2-E(X)]2P2+…+[xn-

E(X)]2pn=£®-E(X)]2p叫做这个离散型随机变量x的方差；4D(X)称为离散型随机变量X的标准

Z=1

差.离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于均值的离散程度(或波动大小).

(2)常见的方差

①若离散型随机变量X服从参数为"和p的二项分布，即乂~8(小p),则。(田=秋(1-p).

(3)性质：已知X是一个随机变量，设a,〃都是实数且awO,则Y=aX+〃也是一个随机变量，

那么，£>(r)=a2D(X).

四正态分布

1.正态曲线

（X-|1）2

1

（1）定义:一般地，函数0（x）=后对应的图像称为正态曲线（也称“钟形曲线”，姒X）也常记为

叫。（X）.其中"=£（田，即X的均值*=JD（X）,即X的标准差.

（2）正态曲线的性质

①正态曲线关于％=〃对称（即"决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

③。决定正态曲线的“胖瘦”。越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”"越

小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

2.正态分布

如果随机变量X落在区间［a,方内的概率，总等于对应的正态曲线%”（x）与x轴在区间出，切内围

成的面积，则称X服从参数为〃和。的正态分布，记作X~NQ,〃）.

"是X的平均值，。是X的标准差，标是X的方差.

由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N〃，/）,那么

P(X<tz)=P(X>JLI)=0.5,

P(|X-/z|<<7)=P(/z-tT<X<u+<7)-68.3%,

P(\X-]U\<2C7)=P(JU-2O<X<H+2(J)=95.4%,

P(|Xf区3a)=尸侬-3(j<X<^+3(7)-99.1%.

题型战法

题型战法一离散型随机变量及其分布列

典例L设离散形随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.30.3

若随机变量y=|x-i|,则尸(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

变式1-L设随机变量X的分布列如下表所示，且矶X）=1.6,则等于（）

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

变式1-2.已知随机变量X的分布列如下表:

X-2012

j_J_

pnm

63

若E(X)=0,则。(3X-1)=()

A.6B.7C.20D.21

变式1-3.随机变量X的分布列如下：若y=3X+l,则E（y）的值是（）

X-101

£1

Pa

63

A.-B.1C.2D.3

3

变式1-4.小林从A地出发去往8地，1小时内到达的概率为0.4,1小时10分到达的概率为0.3,

1小时20分到达的概率为03现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超

过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则E（X）=（）

A.176B.182C.184D.186

典例2.甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对

一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的

概率均为。，乙第一题答对的概率为［第二题答对的概率为；.若乙有机会答题的概率为

JN10

⑴求P;

⑵求甲，乙共同拿到小豆数量X的分布列及期望.

变式2-1.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京

也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，

特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学

生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为:，答对每道冬奥知识题的概率为（每题答对与否不影

响后续答题.

⑴学生甲恰好答对两题的概率是多少？

⑵求学生甲答对的题数X的分布列和数学期望.

变式2-2.甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如

果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲

得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率为0.5.求：

⑴在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；

⑵在两轮比赛中，甲的得分¥的分布列及期望.

变式2-3.如图，小明家住”小区，他每天早上骑自行车去学校C上学，从家到学校有乙，4两条

路线，右路线上有A,4,4三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为《；4路线上有耳，生两

个路口，且用，层路口遇到红灯的概率分别为3:，I3.

45

⑴若走。路线，求遇到3次红灯的概率;

⑵若走右路线，变量X表示遇到红灯次数，求X的分布列及数学期望.

变式2-4.为了丰富学生的课外活动，某校举办“最强中学生”知识竞赛活动.经过前期的预赛和半决

赛，最终甲、乙两个班级进人决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有

平局.三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军.已知甲班级在三个项目中获胜的概率分别为

0.4,0.5,0.6,各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲班级获得冠军的概率；

⑵用X表示乙班级的总得分，求X的分布列与期望.

题型战法二二项分布

典例3.已知随机变量x~3(2,p),y服从两点分布，P(x>i)=0.64,P(y=i)=。，贝UP(y=o)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

变式3-1.设随机变量CB(2,p),〃~B(4，P),若P(金则尸5训=()

A.也B.竺C.IID.翌

81818181

变式3-2.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命

中一次的概率是则该射手每次射击的命中率为()

9233

A.五B.?C.-D.-

变式3-3.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在

下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或8袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，

向左、右两边下落的概率都是则小球落入A袋中的概率为()

变式34.若乂~3(10,0.5),则P(x=左)取得最大值时，k=()

A.4或5B.5或6C.10D.5

典例4.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1

月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作

出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随

机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据.

时间〃min[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人数630351064

⑴从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率;

⑵估计该校所有学生每日使用手机的时间7的中位数；

⑶以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在［48,72］的人

数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).

变式4-1.在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.

⑴若该系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只

要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9,它们之间相互不影响.求

能正常工作的设备数X的分布和数学期望；

⑵若该网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的

经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可

靠度维持在09更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠

度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？

变式4-2.青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一.釉里红的烧制工艺难度较

大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一

批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品

99

的概率为需.记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p.

⑴求0的值.

⑵假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p,且每件瓷器的烧制相互独立，这种

瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元.现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利

润为X万元，求X的分布列及数学期望.

变式4-3.某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天

睡眠时间少于7小时的学生占到40%,而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问

卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率).

(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；

⑵记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为X,求X的概率分布及数学期望E(X).

变式4-4.《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进

中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2020年

植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得

到树高的频率分布直方图如图所示：

A频率

0.025---------------------I一~

0.020---------------------

0.015----------------

0.010------------------------------1_

0005LU-TTrrm.

OV185195205215225235245255265单位Gn

⑴求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；

⑵若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为

优秀.视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀

的棵数4的分布列和数学期望.

题型战法三超几何分布

典例5.设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的

不合格的件数，则尸(X=l)=()

A.—B.—C.—D.g

1510142

变式5-1.已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的

正品数为X,则E(X)=()

42

A.2B.1C.-D.4

33

变式5-2.工厂为赶上618的电商大促，甲车间连夜生产了10个产品，其中有6个正品和4个次

品，若从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为()

.198

CD.

A-石-12?

变式5-3.甲同学参加青年志愿者的选拔,选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，

甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题

数为X,则X=3的概率为（）

变式5-4.含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘，10%~20%

为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：

克）服从正态分布N（400,4）,某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的

概率为（）

A.—B.-C.-D.—

164816

典例6.为发展业务,某调研组对A,B两个公司的扫码支付情况进行调查,准备从国内n（neN,n>0）

个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次

抽取2个城市，全是小城市的概率为1.

⑴求”的值；

⑵若一次抽取4个城市，

①假设抽取出的小城市的个数为X,求X的可能值及相应的概率；

②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

变式6-1.某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了

3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中

随机抽取3人组成代表队.

⑴求高一至少有1名学生入选代表队的概率；

⑵某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分

布列.

变式6-2.某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取

的100件产品的级别情况如柱状图所示：

⑴根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中

随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；

⑵现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件产品中任意抽取3件，

设取到二级品的件数为鼻求随机变量占的分布列.

变式6-3.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础

设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越

广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星

导航系统全面建成.据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到3450亿元，较2018年约

增长14.4%.从全球应用北斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，上图是这40个城市北斗卫

星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图.

.频率

⑴根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调研城市个数；

⑵在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过600万元的城市个数，求y的分布列及期

望和方差.

⑶把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过在万

元的概率.

变式6-4.某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A,B,C三

大类，其中A类有3个项目，每项需花费1小时，8类有2个项目，每项需花费2小时，C类有1

个项目，每项需花费3小时.要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等.

⑴求小张在三类中各选1个项目的概率；

⑵设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列及期望.

题型战法四正态分布

典例7.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（4,贫），N（修,g）,其相应的

分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

]（%-4）2

（注：正态曲线的函数解析式为了（xh-^^^e-h,xeR）

A.甲类水果的平均质量4=0.4kgB.乙类水果质量比甲类水果质量更集中于均值左右

C.甲类水果平均质量比乙类水果平均质量大D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数4=199

变式7-1.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的

时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，

22

X~N（A,6）,y~N（A2,2）.X和Y的分布密度曲线如图所示.则下列结果正确的是（）

A.D(X)=6B.自>〃2

C.P(X<38)<P(y<38)D.P(X<34)<P(y<34)

变式7-2.已知随机变量X~N(4,22),则尸(8<X<10)的值约为()

附：若y~N(〃，O-2),贝ljP(M—b<y<〃+cr)a0.6827,P(〃-2b<Y<〃+2b)70.9545,

P(〃一3cr<y<〃+3CT)。0.9974

A.0.0215B.0.1359C.0.8186D.0.9760

变式7-3.小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长X（单位：分钟）近似满足

X〜N（20,25）.根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20

时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务.小明还未成年，他在周五晚上20：45想打一局

游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为()

(参考数据：P(〃一CT<X<〃+CT)=0.6827,尸(〃一2cr<X<〃+2b)=0.9545，

P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973)

A.0.8414B.0.1587C.0.9773D.0.0228

变式7-4.若随机变量占从正态分布N(〃,")，则P(〃-bWjW〃+b)g0.6827,

P(〃-2bVjW〃+2b)a0.9545.现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布N^OO®),

则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为()

A.3640B.1820C.910D.455

典例8.为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识

的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了100人的得分(满分：100分),

统计结果如下表所示：

组另”[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数1020252520

⑴若此次调查问卷的得分Z服从正态分布N(〃,25),〃近似等于样本的平均成绩(同一组数据用该

组区间的中点值代替)，求P(12.5<Z<82.5)；

⑵该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于〃的可以用本人手机随

机抽取3次手机话费奖励，3次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率

如下表：

话费金额/元3510

22J

P

5

如果某市民参加调查问卷的得分不低于〃，记“该市民获得手机话费奖励总金额为X”.

(i)求X=16时的概率;

(ii)证明：P(X<18)=4P(X>20).

参考数据：若随机变量Z服从正态分布N(〃,02),则尸(〃一bWZW〃+b)“0.6827,

尸(〃一2crWZW〃+2cr)忆0.9545,尸(“一3bWZW〃+3。)。0.9973.

变式8-1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作

为样本并称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495],(495,500],(510,515],

由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

频率

0.07...........................

0.05……-------------------

0.04-..................

0.03--1—

0.01--------------------------------

________________

o490495500505510515质量/克

⑴根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值最；

⑵由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值4服从正态分布

N(〃,1.252),其中〃近似为(1)中的样本平均值"计算该批产品质量指标值f>499.25的概率;

⑶从该流水线上任取2件产品，设¥为质量超过505克的产品数量，求¥的分布列和数学期望.

附；若4-N(XQ2),则P(〃—a<fW观+CT)Z0.6827,P(〃-2。<f4〃+2Gz0.9545,

P(/i—3cr<fM+3<T)«0.9973

变式82为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开

展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计

出他们竞赛成绩分布如下:

成绩(分)[40.50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100]

人数242240284

⑴求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分元和方差S父同一组中数据用该组区间的中点值为代表);

⑵以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布N(〃,4),其中〃近似为

样本成绩平均分工4近似为样本成绩方差s',若〃-b<X4〃+2b,参赛居民可获得“参赛纪念

证书”；若X>〃+2b,参赛居民可获得“反诈先锋证书”，

①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果保留

整数);

②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”.

附：若X,则尸(〃一XW〃+cr)=0.6827,P(/z—2a<X<+2cr)«0.9545,

尸(〃-3b<X<4+3。)q0.9973.

变式8-3.天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分.2021

年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”

天和核心舱.这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的

台阶.为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格.经过统计，在挑选航天员的过

程中有一项必检的身体指标J服从正态分布N(90,100),航天员在此项指标中的要求为J2110.某

学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生

首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，

才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为;，且相互独立.

⑴设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X,请计算X的分布列与数学期望；

(2)请估计符合该项指标的学生人数(结果取整数).以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计

算最终通过学校选拔的人数丫的期望值.

参考数值:P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6827,P(〃-2b<X<〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

变式8-4.某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量

它们的尺寸(单位：mm)并绘成频率分布直方图，如图所示.根据长期生产经验，可以认为这条

生产线正常状态下生产的零件尺寸Z服从正态分布其中〃近似为零件样本平均数，/

近似为零件样本方差S'.

⑵假设生产状态正常，求尸(54WZ485.5)；

⑶若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30mm，根据3b原则判断该生产线工作是否正常.

附：A/TTO»10.5;若Z~N(〃,CF2),则尸(〃一crWZW〃+。卜0.6827,尸(〃一2crWZW〃+2CT)Q0.9545,

P(JU-3CT<Z<〃+3<7卜0.9973.

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）

知识梳理

一离散型随机变量的分布列

一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{xi,尤2,…，X"}时，如果对任意％G{1,2,....

n},概率尸（X=x*）=p*都是已知的，则称X的概率分布是已知的.

离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或

分布列.

XXIX2XkXn

PPiP2PkPn

二二项分布与超几何分布

1.独立重复试验

在相同条件下重复做〃次伯努利试验时，人们总是约定这〃次试验是互相独立的，

此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.

2.二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p,记q=l-p,且〃次独立重

复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,2,…，k,n},而

且P（X=k）=C：pkq"T,k=0,1,2,n,X的分布列为：

X01kn

pC：P°q"CMC：p"q°

X服从参数为%0的二项分布，记作X〜8（小p）

3.超几何分布

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件从所有物品

中随机取出〃件（〃勺V），则这〃件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能

取不小于/且不大于s的所有自然数，其中s是M与〃中的较小者，「在”不大于乙

类物品件数（即归N-M）时取0,否则f取”减乙类物品件数之差（即而且

「k「n-k

p(X=k)=MN-M,k=t,t+1,s,这里的X称为服从参数N,n,加的超几何分

CN

布，记作X~X(N,n,M).

如果X~”(N,〃，M)且“+M-NWO,则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布

列如下表:

X01ks

「00n「k「n-k「s「n-s

LMLN-M—、％-MLMCN-M

P

CMCM

三随机变量的数字特征

1、均值

(1)定义：一般地，由离散型随机变量X的分布列E(X)=Xipi+X2°2+...+X"P"=NxWi

i=l

为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).

(2)常见的均值

①若离散型随机变量X服从参数为〃和。的二项分布，即乂~8(〃，必，则E(X)=7我.

②若离散型随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布，即X~”(N,n,M),则

nM

E(X)=—

N

(3)性质：已知X是一个随机变量，设a,b都是实数且awO,则/=aX+〃也是

一个随机变量，那么，£,(/)=aE(X)+b.

2.方差

(1)定义：由离散型随机变量X的分布列O(X)=-E(X)Kpi+[尤2—E(X)]2P2+

…+1一E(X)]2pn=£[%-E(X)fpj叫做这个离散型随机变量x的方差；j£)(X)称

日

为离散型随机变量X的标准差.离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取

值相对于均值的离散程度(或波动大小).

(2)常见的方差

①若离散型随机变量X服从参数为〃和。的二项分布，即乂~5(“，p),则

(1-p).

(3)性质：已知X是一个随机变量，设a,Z?都是实数且awO,则Y=aX+6也是

一个随机变量，那么，D(Y)=a2Z)(X).

四正态分布

1.正态曲线

(1)定义:一般地，函数0(x)=e对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”,

°(x)也常记为如”(%).其中产E(X),即X的均值》=JD(X),即X的标准差.

(2)正态曲线的性质

①正态曲线关于对称(即〃决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低

的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

③。决定正态曲线的“胖瘦”:。越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲

线越"胖”"越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

2.正态分布

如果随机变量X落在区间团，加内的概率，总等于对应的正态曲线如“(x)与x轴在

区间［。，切内围成的面积，则称X服从参数为〃和。的正态分布，记作X~N8,/).

4是X的平均值，。是X的标准差，砂是X的方差.

由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N。，,次)，那么

P(x%)=P(X>n)=0.5,

P(|X-〃区(r)=P^I-(J<X<H+(7)-68.3%,

P(|Xj区2(r)=PQ-2EX%+2(7)*95.4%,

P(|X—〃区3Q=PQi-3o<X<i/+3(7)-99.7%.

题型战法

题型战法一离散型随机变量及其分布列

典例1.设离散形随机变量X的分布列为

X01234

p0.20.10.10.30.3

若随机变量y=|x-i|,则P(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【答案】A

【分析】直接利用尸(y=i)=尸(x=0)+尸(x=2),即可求解.

【详解】因为y=|x-i],所以p(y=i)=尸(x=o)+尸(x=2)=o.2+o.i=o.3.

故选:A.

变式1-L设随机变量X的分布列如下表所示，且E(x)=1.6,则方等于()

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

【答案】A

【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可

【详解】由分布列的性质可得,0.1+a+b+0.1=l,即a+b=0.8①,

E(X)=L6,

.'.0x0.1+lxa+2xZ?+3x0.1=1.6,BPa+2b=1.3@,

联立①②解得a=0.3,6=0.5,

故6-a=0.5—0.3=0.2.

故选：A.

变式1-2.已知随机变量X的分布列如下表：

X-2012

]_1

pnm

63

若E(X)=0,则。(3X-1)=()

A.6B.7C.20D.21

【答案】D

【分析】先由概率和为1以及E(X)=O求出机=：,"=:，再计算O(X),由方差的性

63

质计算。(3X-1)即可.

［详解］由题可知m+〃+:+!=LE(X)=_2〃+:+2〃Z=0,解得相=

36363

222

则D(X)=lx(-2)+ixl+1X2=-,所以。(3X-1)=9D(X)=21.

3363

故选：D.

变式1-3.随机变量x的分布列如下：若F=3X+1,则E(y)的值是()

X-101

j_]_

Pa

63

A.-B.1C.2D.3

3

【答案】C

【分析】利用分布列的性质，求得。=:，结合公式求得随机变量X的期望，进而求

得随机变量y的期望.

【详解】由题可得：+<+。=1,

o3

...”_51，

•1-E(X)=(T)x；+Ox；+lx；=；,

O525

，E(y)=3E(X)+l=2,

故选：C.

变式1-4.小林从A地出发去往8地，1小时内到达的概率为0.4,1小时10分到达

的概率为0.3,1小时20分到达的概率为03现规定1小时内到达的奖励为200元,

若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则

E(X)=()

A.176B.182C.184D.186

【答案】B

【分析】根据已知条件求出随机变量X的分布列，利用分布列即可求出随机变量的

X的均值.

【详解】依题意可得X的可能值为200,180,160.

尸(X=200)=0.4,P(X=180)=0.3,P(X=160)=0.3,

X的分布列为

X200180160

p0.40.30.3

所以E(X)=200x0.4+(180+160)x0.3=182.

故选：B.

典例2.甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2

道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得

10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为乙乙第一题答对的概率为1,第二题答对的

概率为J.若乙有机会答题的概率为

/io

⑴求P;

(2)求甲，乙共同拿到小豆数量X的分布列及期望.

【答案】(l)p=;

415

⑵分布列见解析，E(X)=—

【分析】(1)用对立事件求概率公式进行求解；

(2)求出X的可能取值，及对应的概率，从而求出分布列，计算出数学期望.

(1)

由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.

所以乙有机会答题的概率为尸=1-(1-PA=兽，

lo

解得。=}

4

(2)

X的可能取值为0,10,20,30,40；

尸—。心)

=10)=4?-x-x-x-=—

'72443216

9

P(X=20)=

32

13

p(X=30)=

32

P(X=40)=

所以X的分布列为:

X010203040

119133

P

1616323216

119133415

E(X)=0x—+10x—+20x——+30x——+40x—二——

161632321616

变式2-1.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口

举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为

了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2

题,冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为:，

答对每道冬奥知识题的概率为1,每题答对与否不影响后续答题.

⑴学生甲恰好答对两题的概率是多少？

⑵求学生甲答对的题数X的分布列和数学期望.

7

【答案】⑴记

13

⑵分布列答案见解析，数学期望：1O

【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解,

（2）根据随机变量X的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列