甘肃省兰州市2022-2023学年高三数学（理）第一次模拟考试试卷

2022-2023学年度高三第一次模拟考试数学试卷（理科）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像

皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知全集〃=R,集合—{x|—3〈矛〈1},八』{x||x|Wl},则阴影部分表示的集合是（）

A.[—1,1]B.(—3,1]C.(—8,—3)U(—1,+°°)D.(—3,—1)

2.如果复数器是纯虚数，那么实数〃等于()

A.-1B.0C.0或1D.0或一1

3.设a,则“aWl或6W2”是“a+6W3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称

为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭

代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一

些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下

规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当〃=6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为（）

n—\77=2刀=3

A.81B.121C.364D.1093

5.下列函数既是奇函数又是增函数的是()

1—X

A.y=—x+lB.y=-

-LIX

1

c-尸rD.y=x\x\

6.如图，在直角梯形46(力中，46=2/小2%,6为6c边上一点，6C=3£C"为熊的中点，则m=()

1-2f

A.

Jo

—x+2,

7.已知不等式组1jWAx—1，所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数A的值为()

、介0,

11

-I---D

A.XB.22

8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到

了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问

甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿

多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第〃个儿子的年龄为则4=()

A.23B.32C.35D.38

9.已知。＞0,函数F(x)=sin(ox+2)在(一■,上单调递减，则。的取值范围是()

1

民-

A.(O,212

13-15-

-----

C.4-D.24

2?--

10.某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的

甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有()

A.30种B.36种C.42种D.48种

3

11.已知双曲线G：W=l(a〉0,垃0),圆Ci：x+f—2ax+-a—0,若双曲线G的一条渐近线与圆C

有两个不同的交点，则双曲线G的离心率的取值范围是()

C.(1,2)D.(2,+8)

12.若函数f(x)=ae'—x—2a有两个零点，则实数a的取值范围是()

A.B,k

C.(—8,0)D.(0,+8)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若(x—l)4=ao+aix+a2x'：+a3x：i+a4x4,则ao+az+a的值为.

14.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框

图，若输入的a,6分别为176,320,则输出的a为.

15.若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这

个椭圆的方程为.

16.在钝角△/反:中，角43。所对的边分别为a,b,c,夕为钝角，若acos/=6sin4则sind+sin

C的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)△/a'的内角4B,C的对边分别为a,b,c.若角4B,C成等差数列，且人=+.

(1)求的外接圆直径；

(2)求a+c的取值范围.

18.(12分)如图所示，在四面体力及/中，ADLAB,平面/应LL平面/及7,AB=BC=^AC,且"+a'=4.

(1)证明：6人平面/做；

(2)设£为棱/C的中点，当四面体力及方的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.

19(12分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余

额)，

年份X20132014201520162017

储蓄存款y(千亿元)567810

表1

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x~2012,z=y—5得到下表2：

时间代号t12345

Z01235

表2

(1)求z关于t的线性回归方程；

(2)通过⑴中的方程，求出y关于x的回归方程；

(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

n

-一〃％，y"__八__

(附：对于线性回归方程y=6x+a,其中6=曰二——1~a=~~b^)

。2―2

2%-nx

1=11

20(12分)已知直线/：x—y+1=0与焦点为分的抛物线。：y=2口火(4>0)相切.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过焦点厂的直线力与抛物线。分别相交于/,夕两点，求46两点到直线/的距离之和的最小值.

21.(12分)设函数f(x)=lnx+-/£R.

xf

(1)当〃=e(e为自然对数的底数)时，求Ax)的极小值；

Y

(2)讨论函数g(x)=f'(x)—§零点的个数.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应

的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

「,1

x=m-v~

m

在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为j]E为参数).以坐标原点。为极点，x轴

y=m—

Im

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为十Psi/?0—pcos°—小=0.

(1)求曲线。的普通方程和直线1的直角坐标方程；

(2)已知点尸(0,1),直线/与曲线。交于48两点，求力十旖的值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

己知函数/'(x)=|2x+l|,g(x)=|x|+a.

(1)当a=0时，解不等式f(x)2g(x)；

(2)若存在xGR,使f(x)Wg(x)成立，求实数a的取值范围.

答案及解析

1已知全集〃=R,集合Q{4一3〈忒1},e{x||x|Wl},则阴影部分表示的集合是（)

D阴影部分表示（（血.由U=R,N=|x|Wl},可得{x|x〈一1或x>l}.又4{x\—3<A<1},

所以〃n（CM=U|-3<x-i}.

2.如果复数*7是纯虚数，那么实数必等于（）

1十㈤.

A.-1B.0C.0或1D.0或一1

/n+i(m+i)(l—/zzi)in+m~\~（1—i[勿+m=0,

D解得m=-1

9+血(l+777i)(l—/zzi)」，因为此复数为纯虚数，所以（一百,

或0,故选D.]

3设a,6GR,则“aWl或6W2”是"a+6W3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B（等价转化法）问题转化为判断“a+6=3”是“a=l且6=2”的什么条件.由a+6=3*a=l且

6=2,反之，a=l且6=2na+6=3,因此“a+6=3"是"a=l且6=2”的必要不充分条件，从而“aWl

或6W2”是“a+3W3”的必要不充分条件，故选B.]

4.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称

为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭

代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一

些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下

规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当〃=6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为（）

77=177=2刀=3

A.81B.121C.364D.1093

C[由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1,

所以，72=1时，4=1；

刀=2时，52=3+1=4；

刀=3时，&=3X4+1=13；

〃=4时，a=3X13+1=40；

刀=5时，a5=3X40+1=121；

刀=6时，a=3X121+1=364,故选C.]

5.下列函数既是奇函数又是增函数的是()

i-x

A.y=-x~\-1B.y=T+；

1

C.y=D.y=x\x\

x

D[对于A,f(—x)=—(―x”+l=—V+l=f(x),函数/1(x)是偶函数，不是奇函数，排除A.

对于B,函数的定义域为(一8,-l)u(-h+8),函数为非奇非偶函数，排除B.

对于C,函数是奇函数，但在定义域(一8,0)U(0,+8)上不是增函数，排除C.

\x,xNO

对于D,f(—x)=—x|—x|=一x|x|=-f(x),函数为奇函数，又尸x|x|={2，则函数

〔一步,x<0

为增函数，故选D.]

6如图，在直角梯形ABCD^,AB=2AD=2DC,E为8c边上一点，诙=3击广为/£的中点，则滋=()

DC

1—2f2f1-1—2—2f1一

A.-~AB~\-~AEC,一WZ3+/ZD.~AB—~AD

OUOO00UO

-*,1-*■1-►-►2-A-*--►-►

B根据平面向量的运算法则得物三碑十万龙，BE^-BC,BC^AC-AB.

因为江=前+而DC^^AB,所以赤一一^^访法一时=一|法+；访，故选B.]

—x+2,

所表示的平面区域为面积等于;的三角形，则实数A的值为()

7已知不等式组1，

11

1D

A.±B.-2-C.2-

—x+2,

B由题意知A>0,且不等式组(代取一1,所

、后0，

表示的平面区域如图所示.

:直线y=kx-\与x轴的交点为0),

直线y=kx—\与直线y=-x+2的交点为

(32k-

lj+l，k+1/

1

•••三角形的面积为呆(2一力X等(

4-

22

解得#=1或《=不，经检验，#=不不符合题意，

4=1.]

8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识

起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九

儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问

长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第〃个儿子的年龄为a,则&=()

A.23B.32C.35D.38

9X8

C[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为一3,贝U9a+^y><(—3)=207,角星得包=35,

故选C.]

9已知口＞0,函数F(x)=sin(口才+卜(万，兀)上单调递减，贝!J口的取值范围是()

1

9民-

A.212

1315

C.

2f4D.2f4

(Jl\Jl(TlG)JIJI

D[⑴法一：(反子集法)mJ,ox+彳彳+1，JI

••"(x)在七，上单调递减,

JIJIJI

万万+20,kRZ,

：A

JI3兀

兀co+—^—z-+2k,kGZ,

、4,

r1

g三4A+2,k^Z,

解得<[

5

A6Z.

又G>0,kRZ,

15

.'.k=0,此时/WgW1,故选D.

,,JIJI3兀24兀JI2k5兀

法二：（子集法）由24兀+丁式cox+—^2kn+飞-,得一kRZ,

/,4乙343343

因为f（x）=sin［°x+1］住仔，m）上单调递减，

〃2«兀JIJIr1

3+4GW2'

所以《解得《因为左£Z,3>0,所以4=0,

2kw5Ji5

丁+A口,gW2A+].

一15-

15---

所以口W不，即3的取值范围为4.故选D.

?

一2_

10.某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的

甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（）

A.30种B.36种C.42种D.48种

C［若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有以种选法，9日、10日有C黑舞中

安排方法，共有C；Cg=24（种）安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C；Cg种安排方法，共有12种安排方法；

若甲、乙都在10日值班，则共有C七=6（种）安排方法.

所以总共有24+12+6=42（种）安排方法.］

VB3.

11已知双曲线G：1一/=l（a〉0,6〉0）,圆G：Y+y—2ajr+-a2=0,若双曲线G的一条渐近线与圆G有

两个不同的交点，则双曲线G的离心率的取值范围是（）

JQ

卜［由双曲线方程可得其渐近线方程为尸土/，即打±”=。，圆G：/+“2/+/=°可化为（x

11

22

2-

+y4-H圆心G的坐标为(a,0),半径r2-a由双曲线G的一条渐近线与圆C有两个不同的交点,

得即。>2力，即c>4b2,又知t)^c~a,所以d>4(d——)，即d号2,所以e=(〈2^,又知

e〉l,所以双曲线G的离心率的取值范围为[1,坐.]

12若函数f(x)=ae'—x—2a有两个零点，则实数a的取值范围是()

A.—?B.(O,§

C.(—8,0)D.(0,+8)

D函数/*(x)=we"—x—2乃的导函数/*'(x)=aex—1,

当aWO时，/(x)〈0恒成立，函数f(x)在R内单调递减，不可能有两个零点；

当a>0时，令f(x)=0,得x=ln(,函数在(一8,In今内单调递减，在(in+,内单调递增，

所以F(x)的最小值为

f(in-)=1—In，—2a=l+lna—2a

7a)a

令g(a)=l+lna—2H(司>0),则g'(a)----2,

a

当ae(0,力时，g(a)单调递增，当@心十8)时，鼠动单调递减，

所以g(a)皿==—ln2<0,

所以f(x)的最小值f(in^<0,

当x——8时，/•(王)一+8,当王一+8时，/(^)-*4-oo,函数F(x)=ae"—x—2a有两个零点.

综上，实数a的取值范围是(0,+8).

13.若(*-1)4=%+81*+皿¥2+8才3+2才4,则a+a+a的值为.

8[令x=l,则为+&+。2+&+&=0;令x=-1,则为一功+/一&+&=16,两式相加得法+均+

a=8.]

14.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框

图，若输入的&6分别为176,320,则输出的a为.

A.16B.18C.20D.15

16[由a=176,6=320,a老b,且不满足a>6,

则6=320776=144,

由a>6,则a=176—144=32,

由水用则6=144—32=112,

由a〈b,则6=112—32=80,

由a〈b,贝ij6=80—32=48,

由a〈b,则6=48—32=16,

由a>6,则a=32—16=16,

由a—b,退出循环，输出a=16.

故选A.]

15若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这

个椭圆的方程为.

2222

a+*=1法一：(直接法)：椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),.•.设椭圆方程为七十亲=

r22

y+万]

1(6>0),由<"+4F'消去X,

j=3x+7

得(10•+4)/-14(万+4)/一9〃+13而+196=0,

设直线尸3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为小为，%),Ba,㈤，

由题意知心当=1,

..14彷+4)

・・%+刃一10//+4—2'斛得b—8.

22

・••所求椭圆方程X为不V+£=1.

o1Z

V2X2

法二：(点差法)・・,椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),・••设椭圆的方程为帚+了=1(力0).

设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为人荀，％),BG,⑸，

M」为

?+4+71,①

则，22

茨।X2

1?+4+?1,②

①一②得

(%-0)(7+%):(X1一兹)(荀+吊)n

一币—十P=3

口口乃一姓为+姓4+4

即---------L=一F-，

X\~X2x\~rx2b

又：弦AB的中点的纵坐标为1,故横坐标为一2,

#=22二更=二代入上式得3x二：1=一沫,解得6，=8,故所求的椭圆方程为5+白=1」

Xi~X22X(—2)b812

16.在钝角△/欧中，角A,3,。所对的边分别为a,b,c,8为钝角，若“os/=6sin4则sinZ

+sin。的最大值为.

9

8-Vacos4=6sinA,由正弦定理可得，sinAcosA=sinBsinA,VsinZWO,.".cos4=sinB,

又6为钝角，

*.B=A+—,sinZ+sinC=sinZ+sin(/+戌=sinJ+cos2J=sinA+1—2sin2J=—2^sin4一；

2

+1，

9

AsinZ+sin。的最大值为不.］

o

17.△/肉的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.若角4B,。成等差数列，且仁拳

⑴求△46C的外接圆直径；

(2)求a+c的取值范围.

［解］⑴因为角4B,C成等差数列，所以26=4+C,

JI

又因为d+6+C=m,所以6=彳.

也

b2

根据正弦定理得，△板的外接圆直径2"=-——-=1.

sinB.兀

sin-

o

,JI2兀，2兀

(2)由B=—,知可得0V4V=.

O0O

由⑴知△/欧的外接圆直径为1,根据正弦定理得,

’2兀.

所以乃+c=sinZ+sinC=sinJ+sin~~A

sin4+"osA\—sinM+-I

2JIJi兀5兀

因为〈亍,所以不</+不<丁.

所以£<sinG+总W1,

所以a+c的取值范围是

18如图所示，在四面体4阅9中，ADLAB,平面/胡，平面46GAB=BC=且肥+6c=4.

(1)证明：8入平面/初；

(2)设£为棱/C的中点，当四面体力及力的体积取得最大值时，求二面角3处£的余弦值.

［解］⑴证明：因为A9_L/6,平面/JSZLL平面/8G平面NMA平面4七平面力劭,

所以1平面/8C,

因为比t平面48C,所以4LL6C

因为46=比三乎47,

所以初+初=",

所以/反L6C,

因为皿A28=4所以6aL平面/的.

⑵设/小x(0<x<4),则AB=BC=4—x,

四面体4优》的体积

2=f(x)=(xXg(4-x)2

=/-8a16幻(09<4).

f'(X)=*-16x+16)=/X-4)(3x-4),

4

当OVxV1时，f'(x)>0,/=F(x)单调递增；

4

当可VxV4时，f'(x)V0,「=F(x)单调递减.

故当时，四面体48切的体积取得最大值.

以6为坐标原点，建立空间直角坐标系层xyz,

则用0,0,0),io,|,0),J|,0,0

设平面阅9的法向量为〃=(x,y,z),

gx=O,

n•BC=O,

则＜_，即q

8।4

、n•BD=O,卬+L，

令z=-2,得A=(0,1,—2),

同理可得平面〃厉的一个法向量为〃=(1,—1,2),

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x—2012,z=y—5得到下表2：

时间代号t12345

Z01235

表2

(1)求z关于t的线性回归方程；

(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程;

(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

----2%y-nx-

(附：对于线性回归方程y=6x+a,其中6=0二———a=y-bx)

。2―2

2%-nx

i=i1

______55

［解］(1)t=3,z=2.2,£1加=45,X卷=55,

2=12=1

45-5X3X2.2

b=--------------------=12,

55-5X9

a=z~bt=2.2—3X1.2=-1.4,

所以z=l.2t~l.4.

(2)Wt=x~2012,z=p—5,代入z=1.2Z—1.4,

得y—5=1.2(x—2012)-1.4,即y=L2x—2410.8.

(3)因为y=l.2X2022-2410.8=15.6,所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.

20已知直线/：x—y+l=0与焦点为尸的抛物线C：/=2内(0>0)相切.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过焦点厂的直线力与抛物线。分别相交于48两点，求48两点到直线，的距离之和的最小值.

[解](1)；直线1：x—y+l=0与抛物线C：/=2px(p>0)相切，

[x—y+1=0,

联立《2c消去x得产一20p+24=0,从而/=442—84=0,解得夕=2或A=0(舍).

Ly=2px,

J抛物线。的方程为y=4x.

(2)由于直线力的斜率不为0,

可设直线力的方程为方y=才一1,Z(xi,以)，B1X2,㈤.

[ty=x—1,

联立《2消去x得/—4少一4=0,</>0,

LK=4X,

.•・%+刃=41，即为+兹=4d+2,

・•・线段AB的中点〃的坐标为(212+1,21).

设点4到直线/的距离为加点方到直线/的距离为4，点〃到直线/的距离为必

则—+―=2d=2・'"+21二2嫡|"Z+11=2^^j2+1,

当力=5寸，A,6两点到直线，的距离之和最小，最小值为芈.

21设函数f{x)=ln/£R.

x

(1)当"=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

Y

⑵讨论函数g(x)=/(X)一鼻零点的个数.

O

［解］(1)由题意知，当/=e时，_f(x)=lnx+-(x>0),则/(x)

x

・••当x£(0,e)时,f'(T)<0,_f(x)在(0,e)上单调递减；

当(e,+8)时，f'(x)>0,_f(x)在(e,+8)上单调递增，

・••当x=e时,f(£)取得极小值f(e)=Ine+-=2,

e

・••Hx)的极小值为2.

v1mv

⑵由题意知g(x)=f'(x)——-(^>0),

3xx3

令g(x)=o,得勿=—；£+※0>0).

设0(x)=—1£+x(x2o),

则O'(x)=—/+1=—(xT)(x+1).

当(0,1)时，O'(x)>0,O(x)在(0,1)上单调递增；

当(1,+8)时，0,(x)V0,O(x)在(1,+8)上单调递减.

・・・x=l是0(x)的唯一极值点，且是极大值点，

因此x=l也是05)的最大值点，

2

・•・O(x)的最大值为0(1)=*

又・.・0(0)=0.

结合尸O(x)的图象(如图)，可知，

9

①当〃>可时，函数g(x)无零点;

O

2

②当0=5时，函数g(x)有且只有一个零点;

2

③当0<卬<石时，函数g(x)有两个零点;

O

④当勿W