高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第09讲拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(高频精讲)(原卷版+解析)

第09讲拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高频考点一遍过 3高频考点一：构造或(，且)型 3高频考点二：构造或(，且)型 9高频考点三：构造或型 14高频考点四：构造或型 17高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 20温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③④第二部分：高频考点一遍过高频考点一：构造或(，且)型典型例题例题1．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·陕西安康·统考二模）函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．例题4．（2023秋·陕西·高二校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（

）A． B．C． D．例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（

）A． B． C． D．例题6．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（多选）（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（

）A． B．只有一个零点C．有两个零点 D．有一个极大值3．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．（多选）（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．高频考点二：构造或(，且)型典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（

）A． B．C． D．例题2．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（

）A．在上有极大值 B．在上有极小值C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（

）A． B． C． D．3．（多选）（2023秋·浙江绍兴·高三期末）定义域为的函数的导数为，若，且，则（

）A． B．C．D．4．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且若，，，则（

）A． B．C． D．高频考点三：构造或型典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时，，则关于的不等式的解集为_________.（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．高频考点四：构造或型典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．例题2．（多选）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．练透核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数的取值范围为（

）．A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（

）A． B．C． D．例题4．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．练透核心考点1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时,且,则的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.4．（2023·高二课时练习）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集为___________.第09讲拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高频考点一遍过 3高频考点一：构造或(，且)型 3高频考点二：构造或(，且)型 9高频考点三：构造或型 14高频考点四：构造或型 17高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 20温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③④第二部分：高频考点一遍过高频考点一：构造或(，且)型典型例题例题1．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.故选：B.例题2．（2023·陕西安康·统考二模）函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，，所以函数在上为增函数．由的定义域为可知，得，将不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以，即故选：B．例题3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.所以.构造函数，所以在区间上单调递增，所以，即，也即.故选：A例题4．（2023秋·陕西·高二校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设函数，，则，所以在上单调递减，从而，即，则.故选：A.例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，又为定义在上的偶函数，则，故为定义在上的奇函数；又，由题可知，当时，，即在单调递增，结合是上的奇函数可知，为上的单调增函数；又，又，，，故.故选：B.例题6．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．【答案】或【详解】令，则，由当时，，所以当时，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，，即不等式等价为，所以，所以或.故答案为：或.练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，设，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以，解得，所以不等式的解集为，故选：B2．（多选）（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（

）A． B．只有一个零点C．有两个零点 D．有一个极大值【答案】BD【详解】令，则，所以，，所以，.又，则，解得.所以，.则，，且，A项错误.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.所以，在处有极大值为，且只有一个极值点，D正确.且时，有恒成立.又，所以只有一个零点，B项正确，C项错误.故选：BD.3．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，因为当时，成立，所以，为递减函数，又因为函数为奇函数，可得，则，所以函数为偶函数，所以函数在为单调递增函数，因为，所以，，，当时，由为奇函数可得不满足题意；当时，由可得，所以；当时，由可得，所以，此时，综上所述，不等式的解集是故选：D4．（多选）（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由，得，设，则,设，则在上为增函数,且，则当时，，此时，此时函数为增函数；当时，，此时，此时函数为减函数，故由，即，A正确；由，得，即，B错误；与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；由，得，即，D正确．故选：AD5．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．【答案】【详解】令，取，则函数为偶函数，当时，，故，即，由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数，又，故等价于或，解得．故答案为：高频考点二：构造或(，且)型典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】构造函数，在时恒成立，所以在时单调递增，所以，即，所以，故选:C.例题2．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，则，∴在上单调递增.∵不等式可化为，即，∴，则不等式的解集为.故选：A.例题3．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（

）A．在上有极大值 B．在上有极小值C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值【答案】D【详解】解：根据题意，，故，又，得，故，令，则，即，记，所以，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以在上单调递增，故在上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.故选：D练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】构造函数，，所以在上递增，，由于，根据的单调性解得，所以的解集.故选：D2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，∴在上单调递减.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：B．3．（多选）（2023秋·浙江绍兴·高三期末）定义域为的函数的导数为，若，且，则（

）A． B．C．D．【答案】AC【详解】由题意可知构造函数，则，所以在上是单调递减函数，于是：，于是，所以A正确；，于是，所以B错误；，于是，所以C正确；由于而，所以的范围无法确定，D不一定正确．故选：AC4．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，函数的定义域为，因为所以，故故在R上单调递减，又因为所以，，所以不等式可化为，所以，所以的解集为故选：B.5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，因为恒成立，所以，所以在单调递增，则，，，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以，即．故选：B高频考点三：构造或型典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知，令，则，所以在上单调递减，又因为，所以，所以不等式等价于，则，所以不等式的解集为故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，故B正确；，，故C错误；，，故D错误.故选：B练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时，，则关于的不等式的解集为_________.【答案】【详解】令，则，由条件得当时，，∴函数在上单调递减．因为，是奇函数，∴函数为偶函数，∴函数在上单调递增．①当时，，不等式可化为，∴；②当时，，不等式可化为，∴．综上可得不等式的解集为．故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．【答案】【详解】令，则，因为，所以，因为，所以，所以在上为减函数，由，得，所以，因为在上为减函数，所以，所以不等式的解集为，故答案为：高频考点四：构造或型典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】构造函数，，则，所以在上单调递增，则，所以，即，故A不正确；则，所以，即，故B不正确；则，所以，即，故C正确；则，所以，即，故D不正确.故选：C.例题2．（多选）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】令，则，由已知可得，即在上单调递减.所以，故，，即C、D选项正确.故选：CD练透核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】令，其中，则，当时，，则，当时，，则，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，对于A选项，因为，则，即，所以，，A对；对于B选项，，因为，则，即，所以，，即，B对；对于CD选项，，因为，则，即，所以，，即，C对D错.故选：ABC.2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】构造函数，其中，则，∵对于任意的满足，∴当时，，则函数在上单调递增，又函数是偶函数，，∴，∴在上为偶函数，∴函数在上单调递减．∵，则，即，即，化简得，A正确；同理可知，即，即，化简得，B正确；，且即，即，化简得，C错误；，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD.高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】设，则，当时，，即在上单调递减，而，所以，故是偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，即．故选：A例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，，∴当时，∴单调递增，当时，，∴单调递减.对于A：，即.故A