2上篇 第一部分 高三数学第二轮总复习

第1部分

考教衔接迁移——点缀性复习上篇

大单元导学方案高考数学题源于教材，本质上是以国家课程标准为依据、以学生核心能力培养为目标的教育导向体现．它保障考试公平、引导教学方向、落实课改精神，最终服务于学生数学素养的扎实发展，而非应试技巧的机械训练．这种“源于教材、高于教材”的命题思路，既守住了学科根基，也为思维发展留出空间．一、高考溯源题举例［例1］(2025·高考Ⅰ卷，T1，5分)(1＋5i)i的虚部为(

)A．－1 B．0

C．1 D．6考题溯源：本题源自教材人教A版必修第二册第70页练习1.逻辑关系：教材题侧重基础训练，而高考题要求考生更严谨地执行运算步骤，体现从“机械操作”到“逻辑验证”的能力提升．改编意义：作为全卷第1题，直接选用教材核心知识点，传递“回归课本”的导向，引导教学避免盲目刷题，重视概念本质(如复数虚部的定义)，符合命题“深化基础性考查”的原则．［例2］(2025·高考Ⅰ卷，T2，5分)[HT]已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为( )A．0 B．3C．5 D．8考题溯源：本题源自教材人教A版必修第一册第13页例5.逻辑关系：高考题直接复现教材中对补集定义和元素计数的考查，无额外抽象或变形．相比教材部分习题(如涉及描述法或无限集)，高考题仅需一步减法运算，凸显对集合运算本质(补集即差集)的理解．改编意义：本题是高考“源于课本，高于课本”命题理念的缩影：通过直接调用教材核心概念(补集运算)，在保持基础性的同时，以选项设计实现能力初筛．其意义不仅在于知识本身，更在于引导教学回归教材本源，夯实基础定义．逻辑关系：高考题将教材中独立的奇偶性、周期性定义整合，要求考生通过多步逻辑推演求解，体现“深化基础性考查”的命题导向．改编意义：通过整合教材中分散的函数性质，以基础定义为核心载体，考查学生的逻辑链构建能力和知识迁移能力．其设计体现了“以考促教”的反拨作用，强调教学中应深耕教材本源，强化概念关联性训练，而非盲目追求难题技巧．[例4]

(2025·高考Ⅰ卷，T7，5分)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(

)A．(0，1) B．(1，3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)考题溯源：本题源自教材人教A版选择性必修第一册第99页拓广探索13，考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力．逻辑关系：教材习题要求通过距离条件反推参数b，而高考题固定直线，反求半径r

的取值范围，增强逆向思维要求；将“三个点”改为“两个点”，需结合位置关系的临界状态(相交但不相切)分析，深化几何与代数关联．改编意义：该题是“教材为本、能力立意”的典范，其内核源于课本习题，但通过逆向设问、参数范围化和几何条件精细化，实现了对基础知识的深度考查．这要求教学摒弃题海战术，立足课标，引导学生理解原理、掌握方法、灵活迁移，真正培养数学核心素养．[例5]

(2025·高考Ⅰ卷，T13，5分)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于__________．考题溯源：本题源自教材人教A版选择性必修第二册第37页练习5，考查等比数列的基本运算问题．逻辑关系：1.简化与聚焦．(1)教材原型：常含多步计算或参数讨论(如q＝1的特例)；(2)高考题优化：易知q≠1，避免分类讨论，突出核心运算；数据设计(4→68)暗示1＋q4＝17，简化开方步骤(需计算q4＝16，故q＝±2).教材：单函数作图→高考：双函数图象交点问题；新增难点：分析振幅差异(2倍)对交点的影响；周期差异导致图象重复交错．改编意义：该题以教材例题为“源点”，通过设问创新(作图→交点分析)、解法开放(图象法与代数法并存)和思维升级(多想少算)，实现了对核心素养的深度考查．其改编模式充分说明高考命题已进入“教材为本、能力为核”的新阶段，盲目刷题不如吃透课本范例．2．结构复杂化：增加|F1A|的非对称条件(左焦点到右支点的距离)，突破教材对称模型；隐含几何关系(如△AF1F2为直角三角形)需主动挖掘；3．解法多样化：圆锥曲线类问题，解题时保留通法(联立方程)，但强化定义法和准线性质的优化路径，区分思维层次．改编意义：本题是“教材为本、素养立意”高考命题理念的典型实践．它通过重构教材基础模型、植入复合条件、开放解法路径，既检验了学生对核心概念的本质理解，又为“双减”背景下的教学提供了明确导向．深化主干知识、重视思维品质、弱化机械训练，方能适应新时代高考要求．二、教材迁移题举例迁移一命题取材于教材“数学探究”等栏目高考命题源于教材又高于教材，在教材改版后，对新教材中新增的栏目要适当关注，这些栏目的内容很有可能成为未来高考题的命题背景来源、命题角度来源或解题方法来源．教材情境1

教材人教A版必修第二册第63页“数学探究”的主题为“用向量法研究三角形的性质”，在探究活动中用向量法证明了平面几何中的勾股定理，还用向量法证明了“三角形的三条中线交于一点”及“三角形的重心分每条中线为1∶2的两条线段”，并引导学生把眼光聚焦在三角形的边、外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等．由此对该情境进行迁移，高考有可能对三角形四心的向量表示进行考查．A[例1]

在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB的中点，

，若

，则直线AP经过△ABC的

(

)A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心解析：因为AB＝4，AC＝6，且D为AB中点，

，则

，又

，则可得四边形ADPE为菱形，即AP为菱形ADPE的对角线，所以AP平分∠BAC，即直线AP经过△ABC的内心．故选A.A[例2]

(2025·成都模拟)在△ABC中，动点P满足

·，则P点轨迹一定通过△ABC的(

)A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心解析：因为

，所以

，所以·

，设AB的中点为E，则

，则

·

，所以

，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC的外心．故选A.C[例3]

已知△ABC中，D为AC的中点，G为△ABC所在平面内一点，则“

”为“点G为△ABC的重心”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

等价于

，所以G为BD上靠近点D的三等分点，所以点G为△ABC的重心；必要性：若点G为△ABC的重心，由重心性质知

，故

.故选C.解析：充分性：教材情境2

教材人教A版必修第一册第162页“数学建模”的主题为“建立函数模型解决实际问题”，此实例建立了茶水温度随时间变化的函数模型，从而确定茶水达到最佳饮用口感所需放置的大致时间．在数学建模的过程中，进一步体会函数模型在现实生活中的应用，感受数学的应用价值，利用函数模型解决实际问题是高考的热点之一．C[例1]

已知一台擀面机共有4对减薄率均在20%的轧辊(如图)，所有轧辊周长均为160mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点(整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗).已知标号3的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为(

)A．800mm B．400mm

C．200mm D．100mm解析：B[例2]

中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感．在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为y

℃，可选择函数y＝60×0.9t＋20(t≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是(

)(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A．2.5min B．4.5min

C．6min D．8min解析：B[例3]

某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125μg时，治疗该病有效，则下列说法错误的是(

)解析：解析：迁移二命题取材于教材“例题、习题”数学教材是高考数学试题的“策源地”，从近几年的高考数学试卷中，总能找到许多与教材中的例题、习题相似的试题，如2023年新课标

Ⅰ

卷第10题对“声压级”的考查，便源自教材人教A版必修第一册第141页习题4.4第10题的“声强级”．这些试题的考查都是教材中最基本、最重要的数学知识和技能，因此我们说高考数学是“岁岁年年均相似，年年岁岁题不同”，每一年的试题都给人似曾相识的感觉，在平时复习时，一定不能脱离教材，要回归教材，用好教材，重视基础知识、基本方法，再复杂的试题也不过是教材的浅浅变式而已．教材情境1

教材人教A版必修第二册第120页综合运用第7题，已知质量和密度求体积，进而利用总体积求六角螺母的个数．题目以生产、生活实际为背景，考查数学应用及数学探索，要求学生具备敏锐的观察能力、优秀的分析能力，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养．B[例1]

紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(其他因素忽略不计)，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶装满水的体积约为(参考数据：π≈3.14)(

)A．0.182L B．0.205LC．0.218L D．0.235L解析：C[例2]

如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径(内部)分别为4cm，12cm，高为8cm(内部)，上口内置一个直径为4cm，高为3cm的圆柱形空心金属器皿(厚度不计，用来放置茶叶).根据经验，一般水面至茶叶(圆柱下底面)下方的距离大于等于1cm时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为(

)解析：解析：教材情境2

教材人教A版必修第一册第245页例1，题目将温度变化曲线抽象为曲线y＝Asin(ωx＋φ)＋b，构造了三角函数模型，将最大温差与“A”结合，利用三角函数的性质解决了实际生活问题，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养．B解析：由正弦型函数的性质，画出函数示意图如下．[例2]

如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层有扇面形石板________块．1134解析：记从中间向外每环扇面形石板数为an，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402，由等差数列的性质可得Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列，所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)，所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，S2k－Sk＝1134，所以中层共有扇面形石板1134块．解析：A[例1]

已知a＝e0.02，b＝1.012，c＝ln2.02，则(

)A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a解析：D解析：D解析：迁移三命题取材于教材“思考”“探究”栏目数学教材中的“思考”“探究”栏目为学生创设了一个适于探究的情境，能尽可能发挥学生的主体作用，激发学生主动探究的动力．在近几年的高考数学试卷中，也有不少依托可动手操作的实际情境命制的思考、探究类问题，如2023年新课标Ⅰ卷第12题，要求自主探究选择能被整体放入正方体容器的几何体，这类问题有助于学生形成关于科学本质的更为深入的认识，考查了探究能力和创新能力，一举多得．回归教材中的“思考”与“探究”，将创新的思维与牢固的科学知识进行搭配，是解此类问题的致胜法宝．教材情境

教材人教A版选择性必修第一册第105页“探究”的主要内容为利用细绳、图板和铅笔探究笔尖(动点)的运动轨迹，用运动的思想诠释椭圆的定义，理解椭圆的几何特征，之后通过一系列的“思考”，引导学生建立适当的坐标系，推导出了椭圆的标准方程，还引申出了椭圆与圆的关系．这种由情境出发的探索问题是高考每年都会考查的热点内容．ABD[例1]

(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型

可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则(

)解析：解析：解析：B解析：B[例3]

某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥(如图)，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是(

)A．3m B．4m C．5m

D．6m解析：以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，y轴垂直于x轴，且方向向上，建立如图所示的平面直角坐标系．解析：[例4]

舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615－1660)设计的一种作图工具．如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，当点D在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动，记点N的运动轨迹为C1，点M的运动轨迹为C2.若ON＝DN＝1，MN＝3，且AB≥4，过C2上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为________．解析：解析：迁移四命题取材于教材“阅读与思考”栏目近几年高考数学的命题方向把一部分重点放到了数学文化上，以选择题、填空题为主