期中检测卷高二数学单元检测42

期中检测卷

试卷范围：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程：总分：150分；难度：中等

一、单选题（共40分）

1.（本题5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A、B,圆C经过A、B,

且圆心在y轴上，则圆c的方程为（）

A.x2+y2+6y-16=0B.x2+/-6>>-16=0

C.x2+y2+8y-9=0D.x2+y2-8y-9=0

2.（本题5分）已知双曲线，-，=l（a>0力>0）的焦点为「，F2,其渐近线上横坐标为3的点P满足

所M=o,则“=（）

A.-B.-C.2D.4

42

3.（本题5分）已知椭圆C的焦点为耳（-1,0），6（1,0）,过B的直线与C交于A,B两点.若IA&=2|尼8|,

IAB|=|BF\,则C的方程为

A.—+/=1B.—+^-=1C.—+^-=1D.—+^-=1

2324354

4.体题5分）过抛物线yJ8x的焦点厂的直线/与抛物线交于4B两点，线段AB的中点M在直线N=2上,

。为坐标原点，则AAOB的面积为（）

A.B.46C.—D.9

22

5.体题5分）圆x2+2x+V+4y-3=0上到直线x+y+l=0的距离为&的点共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（本题5分）已知直线4：履+y=0（keR）与直线4：x-口+2%-2=0相交于点A,点B是圆

（x+2）2+（y+3）2=2上的动点，贝！11A例的最大值为（）

A.3亚B.572C.5+2夜D.3+2>/2

7.（本题5分）已知点耳，鸟是椭圆V+2V=2的左右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|再V/不的

最小值为（）

A.0B.1C.2D.2a

8.（本题5分）已知椭圆（+1=1的右焦点为尸,A是椭圆上一点，点M（0,4）,则AAMF的周长最大值为

（）

A.14B.16C.18D.20

二、多选题（共20分）

9.（本题5分）在平面直角坐标系中，定义"（忆。）=阮-到+|乂-%|为「（芭,乂）,。（电,必）两点之间的“折线距

离“，则下列说法中正确的是（）

A.若点C在线段上，则有d（AC）+d（C,5）=d（A8）

B.若A、BC是三角形的三个顶点，则有d（AC）+d（C,3）>d（AB）

C.到M（-LO）,N（1,O）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0

D.若。为坐标原点，点3在直线x+.y-26=0上，则“QI）的最小值为2

10.（本题5分）已知点A是直线/:x+y-应=0上一定点，点?、。是圆x?+y2=l上的动点，若NPAQ的

最大值为90,则点A的坐标可以是

A.（0,>/2）B.（1,V2-1）C.（72,0）D.（75-1,1）

11.（本题5分）已知抛物线C：尸=4居其焦点为F,P为直线x=-2上任意一点，过P作抛物线C的两条

切线，切点分别为A,B,斜率分别为心，比，则（）

A.k}k2=--B.由-幻|=2

C.AB过定点（2,0）D.的最小值为8

12.（本题5分）己知曲线C:nu;2+〃y2=1.（）

A.若机>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若％=">0,则C是圆，其半径为4

C.若相〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±px

D.若,"=0,n>0,则C是两条直线

三、填空题（共15分）

13.（本题5分）已知三条直线4：x+y-3=0,12：3x—y—l=O,/3：2x+my-8=。经过同一点M,则点M

关于直线/：x-3y-5=。的对称点N的坐标为.

14.（本题5分）已知直线Lx-y=l与圆M：3+>2一2工+2j一1=0相交于人，C两点，点B,D分别在

圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为.

15.（本题5分）设耳居为椭圆C：二+f=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若耳名为等腰三

3620

角形，则凶的坐标为.

四、双空题（共5分）

16.（本题5分）已知椭圆C:二+《=1（a>b>0）的焦点为Q,6,如果椭圆C上存在一点P,使得

ab~

斯•西=0,且的面积等于6,则实数匕的值为,实数。的取值范围为.

求得圆C的方程.

【详解】

易知，直线》+2丫-4=0交》轴于点44,0）,交y轴于点8（0,2）,

设圆心C的坐标为（0,3，由|AC|=|BC|可得JQ+/=|。-牛解得人=一3,

所以，圆C的半径为忸。=卜3—2|=5,

因此，圆C的方程为必+（5+3『=25,即为V+y2+6y-I6=0.

故选：A.

【点睛】

求圆的方程，主要有两种方法：

（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的

直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；

（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆

心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有

三个独立等式.

2.B

【分析】

由题意可设P（L±3）,则质=（—c—<,千二）,%=（。一（,不二），再由西•两=0,可得4/。2-。2=0,

22a22a22a

从而可求出。的值

【详解】

解：双曲线/-£=1（"0力>0）的渐近线方程为y=±'x,故设呜±刍，

设耳（一c,0）,工（c,0）,则-尸--耳不13b）,尸--乙-*=（c—g1干?h）,

22。22a

因为西.比=0,

所以一（c+1）（c」）+二=o，即4a*一/=〃=/一/,

224a2

所以4a2c2—c2=0,

因为才工。，所以4aJ1=0,

因为a>0,所以〃二；,

故选：B

3.B

【分析】

由已知可设区却=〃，则|牧|=2〃,忸娟=|蝴=3"，得|做|=2〃，在△A《B中求得cos-；A3=g,再在

△AR巴中，由余弦定理得〃=且，从而可求解.

2

【详解】

法一：如图，由己知可设优8|=",则|A闾=2”,忸耳|=|AB|=3〃，由椭圆的定义有

2a=\BFl\+\BF2\=4n,：.\AFl\=2a-\AF2\=2n.在ZkA耳B中,由余弦定理推论得

COSNKAB=4*+9"2-9"2=1.在5中，由余弦定理得4”2+4〃2-2-2小2〃1=4,解得“=3.

2-2n-3n332

2a=4n=2^/3,:.a=b2=a~—c1=3—1=2,.,.所求椭圆方程为—+—=1»故选B.

32

法二：由已知可设出同=〃，则|你|=2〃,忸制=|AB|=3〃，由椭圆的定义有

2=|明|+网=4〃,.\|*|=2-|伍|=2〃.在八4耳居和亮中,由余弦定理得

4n2+4-2•2〃•2•cosZAFF=4n2,

2i,又NA玛耳，互补,「.cosNA每耳+cosN8鸟耳=0,两式消去

22

n+4-2•/?-2-cosZBF2F1=9n

COS^AFF,cosNBF2F1，得3/+6=11/,解得〃="

2i2a=4〃=2=道,b2=cr—c1=3—1=2,

2

【点睛】

本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想

象、逻辑推理等数学素养.

4.B

【分析】

首先设A（/x）,巩%％）,利用点差法得到原B=2,从而得到直线，：y=2（x-2）.联立直线与抛物线，利

用根系关系得到|X=46，再求"OB的面积即可.

【详解】

由抛物线V=8x,得尸（2,0）,

设A（%，x）,8（孙％），

*=8再

由题知：，

y>2=8X2(

即（X+%）（乂一%）=8（西一々）.

由题意知：旦+%=4,

所以———="AB=2,

故宜线/：y=2(x—2).

联立P，=2f-2)得:>2_4y76=0.

[y-=8x

所以芦+%=4,yty2=-16.

故E-%|=>/(%+%)2-4)，跖=716-4x(-16)=4石•

所以山加=f。4E-必|=；x2x46=46.

则AAOB的面积为4石.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.

点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆

锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用

点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好.

5.C

【分析】

求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.

【详解】

圆f+2x+y2+4)，-3=0可变为(％+1)2+("2)2=8,

「•圆心为(T-2),半径为2夜,

12+1

圆心到直线X+y+1=0的距离dl-~l

・••圆上到直线的距离为夜的点共有3个.

故选：C.

6.C

【分析】

求出点A的轨迹方程，确定A点轨迹，然后通过几何意义求得最大值.

【详解】

kx+y=Q

消去参数人得(*-1>+(>-1)2=2,

x-ky+2k-2=0

所以A在以C(l,l)为圆心，血为半径的圆上,

又点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点，此圆圆心为。(-2,-3),半径为友,

|CD|=J(l+2>)+(1+3)2=5,

A|AB|的最大值为|8|+血+正=5+2及.

故选：C.

【点睛】

本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式.由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以

转化为到圆心的距离与半径的和.

7.A

【分析】

首先根据椭圆方程求得。也c,由此判断出当尸为椭圆上下顶点时，(西西)、，由此求得|丽•丽的

最小值.

【详解】

2

由f+2y2=2得二+丁=1,所以。=&,6=。=1,所以当尸为椭圆上下顶点时，三角形2月。和三角形尸代。

2

都是等腰直角三角形，所以此时(西，两)、，|丽•丽2|取得最小值为0.

故选：A

8.C

【分析】

设椭圆的左焦点为F,由题可知|MF|=|MF'|=5,|AF|+|Ar|=2a=8,利用,即可得出.

【详解】

如图所示设椭圆的左焦点为尸，则尸(3,0),尸(-3,0)

画|=732+42=5=,

则|AF|+|AF[=8,

■.■\AM\-\AF'\<\MF'\,

.•.△APF的周长=|AF|+|AM+|M尸|=|40|+|"耳+8-|AF'区5+8+5=18,当且仅当三点M,F,A共线时

取等号.

.•.△AP尸的周长最大值等于18.

故选：C.

9.AC

【分析】

对A,根据“折线距离'’的定义化筒可得；对B,由绝对值不等式可判断；对C,设出点的坐标，根据定义列

出方程即可求解；对D,由d（O,B）=W+3=W+|2亚拉可判断.

【详解】

对A,若点C在线段AB上，设。（%,%）,4（5,％）,3（%,％），

则与在8,三之间，先在）|,当之间，

则d（"C）+d（C,8）=%-%|+|%-y|+%一%|+|为一%|

=|xl-x2|+|yl-y2|=J（A,B）,故A正确；

对B,在AABC中,d（AC）+d（C,B）=,一引+|%-%|+|苍一凝

21（%-匹）+（W一%）|+|（X>-X）+（%一%）|

=,一切+|凶一%|="（48）,故B错误;

对C,设到M（-1,O）,N（1,O）两点的“折线距离”相等的点的坐标为（x,y）,

则B+l|+|M=|*T|+|y|,解得x=0,故C正确;

对D,设8（x,y）,则d（O,8）=W+|y|=W+|2夜一乂22夜，即"（。㈤的最小值为2及，故D错误.

故选：AC.

10.AC

【分析】

设点A的坐标为«,夜T）,可得知当"、AQ均为圆丁+丁=1的切线时，NR4。取得最大值90。，可得出

四边形APOQ为正方形，可得出|3|=也，进而可求出点A的坐标.

【详解】

如下图所示：

原点到直线/的距离为d=-7笠==1,则直线/与圆V+V=l相切，

V1+1

由图可知，当AP、AQ均为圆/+丁=1的切线时，NPAQ取得最大值，

连接OP、OQ,由于NPAQ的最大值为90,且NAPO=NAQO=90,|08=|0。=1,

则四边形APOQ为正方形，所以|Q4|=及|OP|=&,

由两点间的距离公式得|。4上月口=3，

整理得2产-2万=0,解得”0或应，因此，点A的坐标为(0,0)或(60).

故选：AC.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切

这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

11.AC

【分析】

设尸(2,0),4占,%),8(々,%)则巾2=4内，y22=4x2,对抛物线的方程两边求导，可得切线的斜率、切线的方

程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得43的直线方程,

结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D.

【详解】

由题意可得F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,设A(x“y),B(X2，%),

贝1］犬=4n，y}=4X2,由丫2=必得*=匕，求导得x'=！x2y=*,

442

所以K=5匕=5，所以过4的切线的方程为x-xi=勤>-y),

化为x=?y-K■①，同理可得过8的切线方程为》=孕了-生②，

由①②解得》=乎，由P的横坐标为—2,即乎=-2,贝什通=-8,

44

41人

k*=---,故A正确；

另必2

因为因-k2\=2(>f)=|2LZA|不为定值，故B错误；

%%I4

因为48的直线方程为'=生5即-匚，

占一%I4）%+%y+>2

4

整理得）=了17。-2）,所以A8恒过定点（2,0）,故C正确；

2/22

将网•网转化为到准线的距离，即|用阚=5+1）（及+1）=触2+5+及）+1=◎沪+1++作

=5+（卷+?）之5+24^?=9,当且仅当"|=仇|时取得等号，所以|42|・|酬|的最小值为9,故D错误.

故选：AC.

【点

关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键是找到过A、8两点的切线斜率与方程得到

,%=-8,然后利用此结论表示各个选项可得出判断，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档

题.

12.ACD

【分析】

结合选项进行逐项分析求解，m>”>0时表示椭圆，帆=〃>0时表示圆，mra<0时表示双曲线，m-0,n>0

时表示两条直线.

【详解】

22

工+汇=1

对于A,若小〉〃>0,则如？+〃y2=］可化为11,

mn

因为m>九>0,所以

mn

即曲线。表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若机=〃>0,则加f+江=1可化为f+y21

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为近的圆，故B不正确;

n

2)

.二X=1

对于C,若3<0,贝=1可化为J।,

mn

此时曲线C表示双曲线，

由尸=。可得y=±jZ^],故C正确；

对于D,若6=0,〃>0,则小=1可化为y2=j_,

n

y=士近，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故DiE确;

n

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素

养.

13.(3T)

【分析】

解方程组求出M的坐标，再利用垂直、中点在轴上，求得它关于直线/：x-3y-5=0的对称点N的坐标.

【详解】

解：三条直线4：x+y-3=O,/2:3x-y-l=O,，3：2x+my-8=0经过同一点M,

x+y-3=0fx=1

则由，解得1.

3x-^-l=0[y=2

设点M关于直线l：x-3y-5=0的对称点N的坐标为(〃,刀,

吐J

尸,，解得4=3

则由，0/.M3,-4),

1+4)b+2「八b=-4f

--------3x---------5=0

22

故答案为：(3,-4).

14.同

【详解】

试题分析：x2+/-2x+2y-l=0=>(x-l)2+(y+l)2=3,圆心M到直线Xx-y=1距离为

|14-1-1|_1

由图知，BD为过圆心M且垂直于AC的直径时，四边形ABCD面积取最大值，为

ZxACxBD=上213-、2石=廊

22V2

15.(3,715)

【分析】

根据椭圆的定义分别求出|断|、|飒|,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.

【详解】

由已知可得/=36,〃=20,;.c2=a2-/?2=16,.-.c=4,

.♦JM周=|耳闾=2c=8.：.\MF2\=4.

设点M的坐标为($,%)(%>0,%>0),则打“6与=会£成%=4%，

又SAMF昌=1X4X^82-22=4岳4%=4715，解得%=/，

,解得玉)=3(%=-3舍去)，

,3620

二例的坐标为(3,/).

16.76[2石，+oo)

【分析】

2

根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解"再由向量等式得炉+)，=/,结合点P在椭圆上可得/=5(/

C

-b2),即/之护，可得"2=从+占之2加，然后求解〃的范围.

【详解】

解：由椭圆的定义可知：\PFt\+\PF2\=2a,

又西•丽'=(),△/小iB的面积等于6,

二||PFi|•|PB|=6,即|PQ|-m=12,

22

由(|PFI|+|PF2|)=4a,//针+俨巳F=谿，可得4/-4〃=-24,得从=/一。2,

因此从=6,

设PQ,y),由国•%二(),可得：

222

(x+c,y)-(x-c,y)=0=(x+c)(x-c)+y2=0=x+y=c1①

尤2v2_

而椭圆C：fH—7=1，②

a-h-

由①②得12=勺(c2-Z?2)，，/泌2,从而②=一+好22"=12,

c

故(舍去)，或破2&,

・•・〃的取值范围为[2石，4^0).

故答案为：V6；[25/3,+oo).

17.(1)x+2y-4=0；(2)点A坐标为(3,4)或(一3,0).

【分析】

(1)利用两点式求得BC边所在直线方程；

(2)利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，根据面积5M此=7以及点A在直线2x-3y+6=0

上列方程组，解方程组求得A点的坐标.

【详解】

解：(1)由8(2,1)、〃^^^^^。边所在直线方程为与三二苫二，

3—1—2—2

即x+2y-4=0；

(2)\BC\=^42+22=25/5,

17

则久诙=亍取|4=7,所以"=方，

2

m+2n=llm+2n=-3

由于A在直线2x-3y+6=0上，故或

2/71-3/2+6=0-3〃+6=0

72?=-3

77=0

所以A(3,4)或4(—3,0).

18.(I)4072;(2)0<a<2400>/5-4800

【分析】

(I)由点到直线的距离，结合直线AC的方程，即可求出A8的长；

(2)爆炸波不会波及卡车通行即所2>，对0,-恒成立，代入进行分类讨论，即可得出结论.

【详解】

解：(1)以点。为坐标原点，直线。4为x轴，建立直角坐标系如图所示.

则由题设得：420,0),直线08的方程为y=-2x,C(%,10)(%>0),

由空+?=6后,及%>°解得%=10,."(10,10).

x/2~+r

••・直线AC的方程为y=-U—20),即x+y—20=0,

fy=-2x(x=-20

由“八得"即8(-20,40),

[x+y-20=0=40

AB=^(-20-20)2+402=405/2,

即基地A3的长为40匹.

(2)设爆炸产生的爆炸波圆E,

由题意可得E(10,30),生成Z小时时，旧车在线段A3上的点F处，则

2

AF=60y/2t，0<r<-,.-.F(20-60z,60z).

'2'

爆炸波不会波及卡车的通行即所2>/对小0,-恒成立.

EF2=(60-10)2+(60—30)2>/="，gp(607-10)2+(60/-30)2>az

当，=0时，上式恒成立，

当它0时即fJo,2,a<7200/+--4800,令g(/)=7200/+侬-4800,/e足

I3/tV3.

g(，)=7200/+-4800>2^7200(—^-4800=2400石-4800,当且仅当7200/=,即/时等号成立,

所以，在0<a<2400后-4800时/<所恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行.

19.(1)(x-l)2+(y-l)2=4；(2)2y/5.

【分析】

(1)设出的标准方程，将CQ点代入及圆心坐标代入直线方程列出方程组即可求解.

(2)将四边形面积化为2个三角形面积，转化为切线长的最值问题，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

解：(1)设圆心，圆M的方程为(x-ay+U-b)?=产(厂>0),

(l-a)2+(-l-fe)2=r2

根据题意得(-1-4+(1-勿2=尸，

a+b-2=0

a=1

解得b=L

r=2

故所求圆M的方程为(x-I)2+(y-1尸=4.

(2)由题易知，四边形的面积S=S„+S/BW||PA|+；18Ml

又|PA|=|PB|,所以S=L|AA/||PA|+1|8M||PB|=2|PA|.

22

而|PA|=J\PM\2-\AM\2=J|PMF-4>

即S=2J|PM『t.

因此要求s的最小值，只需求IPMI的最小值即可，

即在直线3x+4)，+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小.因为当IPM|所在直线垂直了直线3x+4y+8=0

时，1PMi取得最小值,

|3xl+4xl+8|

所以|PML0曲+在=，

所以四边形尸4W8的面积的最小值为S=2"|PM|而八T=2432T=2旧.

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.

2。.⑴入£1；⑵Ma）1匹'阻叫

2[q+l,a€（1,+<»）.

【分析】

（I）利用向量的模结合椭圆的定义求点M的轨迹方程；

（2）利用两点间的距离公式结合P为曲线C上的点，转化为一个自变量的函数，在自变量的取值范围内分

类讨论求解最值.

【详解】

CD由同+*20得〃+（y+]/+/2+&_1）2=20,

由椭圆定义知，点M（x,y）是以（0,-1）、（0,1）为焦点，长轴为2夜的椭圆,

.•・点例（x,y）的轨迹C的方程为：Y+'=i.

（2）设P（x,y）,

则|PA|=yj^x-a）'+y2=+2-2x。=5/-x2-lax+iz2+2

=J-（X+4）2+2/+2，）

当OcaWl时，则x=-“时，/川=<2"+2；

IImax

当a>l时，函数y=，-"+。)2+24+2在［-15上为减函数,

.,•当x=-1时，1PAimx=《a+1.

JJ2a2+2,aw(O,l],

综上，”(")=

+e(l,+oo).

21.(I)x2=-5y；⑵4.05米

【分析】

(I)设该抛物线的方程为丁=-20，5>0),将点C(5,-5)在抛物线上，求得p=|,即可得到该抛物线的方

程；

(2)设车辆高为万米，得到。