第15讲指数函数原卷版

第15讲：指数函数【考点归纳】考点一、指数函数的概念考点二、求指数函数的解析式、函数值考点三、指数函数的图象及应用考点四、指数型函数的定义域和值域考点五、指数型函数的单调性求参数考点六、比较大小考点七、简单的指数不等式的解法考点八、指数函数的应用考点九、指数函数的最值问题考点十、指数函数的综合【知识梳理】知识点一指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数知识点三解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．知识点四指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．【例题详解】题型一、指数函数的概念1．（2023高一·江苏）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．42．（2324高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且3．（2223高三上·江苏常州）若p：函数是指数函数，，则q是p的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要题型二、求指数函数的解析式、函数值4．（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（

）A．3 B．2 C． D．5．（2324高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．，且6．（2324高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则．题型三、指数函数的图象及应用7．（2324高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（

）A．B．C． D．8．（2324高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（

）A．B．C． D．9．（2324高三上·湖南·阶段练习）函数的图象大致为（

）A．B．

C．

D．

题型四、指数型函数的定义域和值域10．（2324高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．11．（2324高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．12．（2324高一上·河北·阶段练习）已知，（）的值域为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五、指数型函数的单调性求参数13．（2324高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2324高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2324高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型六、比较大小16．（2324高一下·安徽）已知，，，则（

）A． B． C． D．17．（2324高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．18．（2324高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（

）A．，， B．，，C． D．题型七、简单的指数不等式的解法19．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．20．（2324高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．21．（2324高一上·广东潮州·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．题型八、指数函数的应用22．（2324高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍23．（2324高一上·重庆云阳·阶段练习）第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次24．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16题型九、指数函数的最值问题25．（2223高一上·天津南开·期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．26．（2223高一上·安徽合肥·期中）已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．27．（2122高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十、指数函数的综合28．（2324高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明.29．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．30．（2324高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求的值；(2)求在上的解析式；(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【专项训练】一、单选题31．（2324高一下·青海海东）已知函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．32．（2324高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．33．（2324高一下·上海·期中）已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．34．（2324高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（

）A． B． C． D．35．（2324高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（

）A． B． C． D．36．（2324高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．37．（2324高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．38．（2324高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题39．（2324高一上·安徽淮南·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．是奇函数C．是偶函数D．对任意的，40．（2324高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（

）A． B．C． D．41．（2324高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．42．（2324高一上·湖北荆州·期末）已知函数，则（

）A．不关于原点对称 B．C．在上单调递减 D．的解集为三、填空题43．（2324高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是.44．（2324高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则.45．（2324高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数．46．（2324高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为.四、解答题47．（2324高一上·上海·假期作业）已知函数，其中.(1)求，并计算的值；(2)作出该函数的图象，并求函数的值域.48．（2324高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数．(1)求的定义域及实数a的值；(2)用单调性定义判定的单调性．49．（2324高一上·安徽宿州·期末）已知函数是定