（新教材）【人教A版】20版必修二622（数学）

6.2平面向量的运算6.2.2向量的减法运算1.相反向量定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.性质：(1)对于相反向量有：a+(-a)=0.(2)若a，b互为相反向量，则a=-b，a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.【思考】有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“长度相等”是多余的，对吗？提示：不对，相反向量要从“模长”与“方向”两个方面去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等.2.向量的减法(1)定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)作法：在平面内任取一点O，作=a，=b，则

=a-b，如图所示.(3)几何意义：a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.【思考】(1)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法.(2)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量. (

)(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量. (

)(3)向量与向量是相反向量. (

)提示：(1)√.由向量减法法则知正确.(2)×.由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量必为平行向量，平行向量不一定是相反向量.(3)√.向量与向量长度相等，方向相反.2.在△ABC中，若=a，=b，则等于 (

)

A.a B.a+b

C.b-a D.a-b【解析】选D.=a-b.3.设b是a的相反向量，则下列说法正确的有________.(填序号)

①a与b的长度必相等；②a∥b；③a与b一定不相等；④a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0，故③不正确.其他均正确.答案：①②④类型一向量的减法【典例】1.(2019·汕头高一检测)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则等于 (

)

2.如图，已知向量a，b，c，求作a-b-c.【思维·引】1.结合图形，利用向量减法的三角形法则求解.2.先作a-b，再作(a-b)-c即可.【解析】1.选D.如图所示，2.如图，以A为起点分别作向量，使=a，

=b.连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使=c.连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a-b-c.【内化·悟】1.作向量减法时若所给向量不共起点，应如何解决？提示：平移向量使它们共起点.2.在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？提示：可以.【类题·通】关于向量的减法(1)作两向量的差的步骤(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.【习练·破】如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.【解析】因为a+b=，c-d=，所以a=，b=，c=，d=.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得b-c=，a+d=.类型二向量加减法运算【典例】1.(2019·衡水高一检测)下列各式：其中结果为零向量的个数是 (

)个个个个2.(2019·临沂高一检测)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则||=世纪金榜导学号(

)【思维·引】利用三角形法则或平行四边形法则求解.【解析】1.选D.①=0；②

=0；③

=0；④=0.2.选C.由可知，垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||=2.【内化·悟】平行四边形ABCD中，||与||分别是指什么？若||=||，说明该平行四边形是什么图形？提示：||与||分别是指两条对角线的长，若||=||，说明该平行四边形是矩形.【类题·通】1.向量减法运算的常用方法2.向量加法与减法的几何意义的联系如图所示，平行四边形ABCD中，若=a，=b，则

=a+b，=a-b.【发散·拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.(2)当a，b不共线时，作=a，=b，则a+b=，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法如图(2)所示，此时|a+b|=|a|+|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法如图(3)所示，此时|a+b|=|a|-|b|.综上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【延伸·练】若||=8，||=5，则||的取值范围是________.

【解析】由及||=||=8，当与同向时，|BC|max=13，当与反向时，|BC|min=3，所以3≤||=|+|≤13，即||∈[3，13].答案：[3，13]【习练·破】化简下列各式：【解析】(1)方法一：原式=方法二：原式=(2)方法一：原式=方法二：原式=【加练·固】下列各式中不能化简为的是 (

)【解析】选D.选项A中，选项B中，选项C中，类型三向量加减运算几何意义的应用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量世纪金榜导学号【思维·引】注意相等向量，利用向量加减运算的三角形法则求解.【解析】由平行四边形的性质可知=c，由向量的减法可知：=b-a，由向量的加法可知

=b-a+c.【习练·破】本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以=c，=b-a，

=b-a+c.角度2求解或证明几何问题【典例】(2019·临沂高一检测)已知非零向量a，b满足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，则|a+b|的值为________. 世纪金榜导学号

【思维·引】作出图形，利用向量加减法的几何意义求解.【解析】如图，=a，=b，则||=|a-b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则||=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.故，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形.根据矩形的对角线相等有=4，即|a+b|=4.答案：4【内化·悟】已知△ABC中，||=+1，||=-1，=4，我们能否判断该几何图形的形状？提示：能.是直角三角形.【类题·通】利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量.(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算.(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题.【习练·破】1.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则=________.

【解析】因为∠DAB=60°，AB=AD，所以△ABD为等边三角形.又因为||=2，所以OB=1.在Rt△AOB中，所以答案：22.如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知=a，=b，=c，

=e，用a，b，c，e表示向量.【解析】在△OBE中，有=e-c，在△ABO中，

=e-c-a，在△ABD中，

=a+b，所以在△OAD中，

=e-c-a+a+b=e-c+b.【加练·固】如图所示，已知=a，