苏科版九年级数学上册专题1.3根的判别式【十大题型】同步练习(学生版+解析)

专题1.3根的判别式【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 1【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】 2【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 2【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】 3【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】 3【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 3【题型7根的判别式与三角形的综合】 4【题型8根的判别式与四边形的综合】 5【题型9关于根的判别式的多结论问题】 5【题型10关于根的判别式的新定义问题】 6【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2①当∆=b2②当∆=b2③当∆=b2【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0 C．x2【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程x2A．0B．1C．2D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（

）A．x2+1=0 B．x2+2x+1=0 C．【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（

）A．x2+2x+3=0 C．xx−1=1【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程axA．当a=0时，方程无实数解 B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解 D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将A．没有实数根 B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根 D．一个实数根【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根kA．若﹣1＜a＜0，则ka>kb B．若C．若0＜a＜1，则ka<kb D．若【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0A．2ax0+b>0 B．2ax0+b=0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=A．3 B．4 C．5 D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4bA．y>1 B．y≥1 C．y≤1 D．y<1【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数A．

B．

C．

D．

【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xA．5个 B．6个 C．7个 D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+A．4 B．10 C．12 D．16【题型7根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程a+cx2−2bx+a−c=0(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；②若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x的方程x2(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．以上说法中正确的序号是（

）A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④【题型10关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”；a∗b=a2−aba≤bb2−ab【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知aA．a=b−c B．a=b C．b=c D．a=c【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※专题1.3根的判别式【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 1【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】 3【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 5【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】 8【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】 10【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 13【题型7根的判别式与三角形的综合】 16【题型8根的判别式与四边形的综合】 20【题型9关于根的判别式的多结论问题】 23【题型10关于根的判别式的新定义问题】 27【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2①当∆=b2②当∆=b2③当∆=b2【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0 C．x2【答案】A【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ=b2−4ac可求出各方程的根的判别式【详解】解：A．∵a=1，b=−2，c=1，∴Δ=∴方程有两个相等实数根，故选项符合题意；B．∵a=1，b=0，c=1，∴Δ=∴方程无实数根，故选项不符合题意；C．∵a=1，b=−2，c=−3，∴Δ=∴方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；D．∵a=1，b=−2，c=0，∴Δ=∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程x2A．0B．1C．2D．无法判断1【答案】B【详解】试题解析：∵Δ=∴方程有两个相等的实数根；故选B.【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（

）A．x2+1=0 B．x2+2x+1=0 C．【分析】根据一元二次方程的系数及根的判别式，逐一求出选项中一元二次方程的根的判别式△的值，△＜0的选项即为答案.【详解】解：A选项：∵△=02∴方程x2∴A选项符合题意.B选项：∵△=22∴方程x2∴B选项不符合题意.C选项：∵△=02∴方程x2∴C选项不符合题意.D选项：∵△=12∴方程x2∴D选项不符合题意.故答案选：A【点睛】本题考查了根的判别式，熟记“当△＜0，一元二次方程没有实数根”是解题的关键.【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（

）A．x2+2x+3=0 C．xx−1=1【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断A；根据二次根式有意义的条件，即可判断B；根据分式有意义的条件，即可判断C；根据立方根的定义，即可判断D．【详解】解：A、∵Δ=B、移项，得：4x+1=−1，∵4x+1C、去分母，得：x=1，当x=1时，x−1=0，∴该方程无实数根，不符合题意；D、移项，得：x3=−8，解得：故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；立方根的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程axA．当a=0时，方程无实数解 B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解 D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可．【详解】解：A、当a=0时，方程为x−1=0，解得x=1，故当a=0时，方程有一个实数根，故A不符合题意；B、当a≠0时，关于x的方程ax∴Δ=∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故B不符合题意，CD、当a=−1时，关于x的方程为−x∵Δ=4−4=0∴当a=−1时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．有一根为5【答案】A【分析】由一元二次方程根的判别式即可得到答案．【详解】解：关于x的方程ax2+5x+c=0∵a、c互为相反数∴ac<0∴25−4ac>0．故选：A．【点睛】本题考查从根的判别式判断方程根的情况，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【答案】方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】首先根据已知方程无实根可得Δ1<0，可求出m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程判别式Δ2的情况，进而得出新方程根的情况即可.【详解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将A．没有实数根 B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根 D．一个实数根【答案】A【分析】先求解t0=254，再判断当【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当∴x2∴△=−5解得：t0当c=t>t0∴△=−5由t>254∴25−4t<0，∴此时方程没有实数根．故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键．【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是【答案】c<6【分析】根据题意可得方程x2−3x+c=x+2有两个不相等的根，即判别式【详解】解：由题意得，方程x2x2−3x+c=x+2整理得∴Δ解得：c<6，故答案为：c<6．【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系是解题的关键．【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m【答案】3【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程mx当m=0时，原方程为一元一次方程，有解，当m≠0时，原方程为一元二次方程，∴Δ=解得：m>9∴则m取到的最小正整数值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【答案】(1)m<1(2)x=3或x=1【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）首先根据m<1且m为非负整数，可求得m=0，再解方程即可求解．【详解】（1）解：∵关于x的方程x2∴Δ解得m<1，故m的取值范围为m<1；（2）解：∵关于x的方程x2∴Δ解得m≤1，∵m为非负整数，∴m=0或m=1，当m=0时，原方程化为x2解得x1=3，当m=1时，原方程化为x2解得x3所以，原方程的解为x=3或x=1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键．【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根kA．若﹣1＜a＜0，则ka>kb B．若C．若0＜a＜1，则ka<kb D．若【答案】B【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab∴Δ=4a又∵ab≠0，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，k当ka>k即−1∴a（a-1）<0，即a<0a−1>0或解得0<a<1当ka<k即−1∴a（a-1）>0，即a>0a−1>0或解得：a>1或a<0．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)1<m<2【分析】（1）表示出Δ，根据Δ的数值判断即可；（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．【详解】（1）解：依题意，得∵Δ∴方程总有两个实数根；（2）解：方程x由（1）得Δ∴x=−(−2m)±42×1=m±1，∴∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1>m−1∴m+1>2∴1<m<2．∴m的取值范围是1<m<2．【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论【答案】见解析【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义计算证明即可．【详解】证明：△=b2∵4(m−1)∴4(m−1)2+4>0∴不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【答案】(1)见详解(2)1或−3【分析】（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可；（2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m．（1）证明：x2−(m+3)x+m+2=0，∵∆（2）解：x2−(m+3)x+m+2=0，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x1=1，x2=m+2，∵方程两个根的差是2，∴若m+2−1=2，则m=1；若1−(m+2)=2，则m=−3．∴实数m的值为1或【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【答案】(1)见解析(2)1或2或3【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=（m-6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x1=m-4，x2=2，则m-4＜0，从而得到正整数m的值．【详解】（1）解：证明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8）=m2-12m+36=（m-6）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x=−b±b∴x1=m-4，x2=2，∵方程有一个根是负整数，∴m-4＜0，∴正整数m的值为1或2或3．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1【答案】y≤4【分析】由一元二次方程根的判别式先求解m≤3，根据一元二次方程的解的定义得出t2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴△=b解得：m≤3，设此方程的一个实数根为t，∴∴y==−3m+4m+1=m+1∵m≤3∴m+1≤4即y≤4故答案为：y≤4．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式是解本题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0A．2ax0+b>0 B．2ax0+b=0【答案】B【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，即可得到结论．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0∴b2−4ac=0则2ax故选：B．【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由原式得，P=2m2−3．将m2−mn+n2【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2，则要求P的最大值，只需求出m2将m2−mn+n2=3根据方程有实数解，所以Δ=可得m2≤4，即所以当m2=4时，故选：C【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4bA．y>1 B．y≥1 C．y≤1 D．y<1【答案】A【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到m<1，再根据一元二次方程解的定义求出4b2−8b=−4m【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=∴m<1，∵此方程的一个实数根为b，∴b2∴b2∴4b∴y=4b∵m<1，即−m>−1∴y=−m+2>1，故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程解的定义，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2【答案】5【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出Δ>0，求出a的范围，最后取符合条件的整数a【详解】解：解不等式3x+82≤x+6得：解不等式3x+a>4x−5得：x<a+5，∵关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5∴a+5>4，解得a>−1，∵关于x的一元二次方程(a−1)x∴Δ=32解得a≤134且综上所述，−1<a≤314且∴所有满足条件的整数a的值是0、2、3，∴所有满足条件的整数a的值之和是0+2+3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意a≠1．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用判别式的意义得到Δ=22【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=∴kb<0，当k>0，b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，一次函数经过第一、二、四象限．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握Δ=b2−4ac>0，则方程有两根不相等的实数根；【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xA．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】根据一元二次方程根的情况得到a≠0且Δ=22−4a·(−1)≥0解得：a≥−1且a≠0，再把分式方程化简求值得：x=−a+6，因为解为非负数，−a+6≥0且−a+6≠4即a≤6且a≠2，所以−1≤a≤6【详解】解：关于x的一元二次方程ax则a≠0∴a≥−1且a≠0关于x的分式方程x去分母得：x−(a+2)=2(x−4)解得：x=−a+6∵分式方程的解为非负数∴−a+6≥0且−a+6≠4即a≤6且a≠2∴−1≤a≤6且a≠0,a≠2∴满足题意的整数a的值为−1,1,3,4,5,6故答案为：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+A．4 B．10 C．12 D．16【答案】A【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出k的取值范围，再代入方程即可求解．【详解】解：a+ba2+ab+∵a，∴存在正整数k，使得a+b=4k①，∴a2+ab+b∴ab=(a+b)设a，b关于x的方程为∴Δ=16∴0≤k≤49∵k为正整数，∴k的值为1,2,3,4，可证k为1,2,3时方程③无正整数根，∴当k=4时，方程x2−4kx+(16k2−49k)=0得，x∴a+b=4k=4×4=16，故选：D．【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键．【题型7根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程a+cx2−2bx+a−c=0(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【答案】(1)△ABC是直角三角形(2)x1=0【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，可得Δ=0（2）根据△ABC是等边三角形，可得a=b=c，将原方程化简求解即可．【详解】（1）∵方程有两个相等的实数根，∴−2b2∴4b∴a2∴△ABC是直角三角形；（2）当△ABC是等边三角形，∴a+cx可整理为：2ax∴x2∴xx−1解得：x1=0，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：若Δ>0，方程有两个不相等的实数根；若Δ=0【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；②若△ABC是等腰三角形，求k的值．【答案】(1)见解析(2)①△ABC是直角三角形，理由见解析；②k的值为4或5【分析】（1）先计算出Δ=1（2）①k=3代入方程，解方程求得AB=3,AC=4，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形；②把x=5代入方程，求得k的值，然后判断即可．【详解】（1）证明：∵Δ=∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：①k=3时，方程为x2解得x1∴AB=3,AC=4，∵BC=5，∴AB∴△ABC是直角三角形；②∵Δ=1>0∴AB≠AC，∴AB,AC中有一个数为5．当x=5时，原方程为：25−52k+1即k2解得：k1当k=4时，原方程为x2∴x1由三角形的三边关系，得4、5、5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；当k=5时，原方程为x2解得：x1由三角形的三边关系，得5、5、6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意．综上所述：k的值为4或5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=b【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x的方程x2(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【答案】(1)m=4(2)见解析(3)35【分析】（1）把x=3代入求解即可；（2）求出判别式的符号，即可得证；（3）根据等腰三角形两腰相等，得到方程有一个根为6，代入方程，求出m的值，进而求出另外一个根，据此即可得解．【详解】（1）解：当x=3时，方程为9−3m+1整理得−m+4=0，解得m=4；（2）证明：∵Δ==m−3∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（3）解：∵等腰△ABC的一腰长a=6，∴方程有一个根为6，将x=6代入原方程，得：36−6m+1解得：m=7，∴原方程为x2解得：x1∵2、6、6能组成三角形，不妨设AB=AC=6，则BC=2，作AD⊥BC于D，则BD=DC=1

∴AD=6∴该三角形的面积为12故答案为：35．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及等腰三角形的定义，一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握相关知识，是解题的关键．【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)m的值为：61或11．【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．【详解】（1）解：∵x2∴b2∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）原方程可变为x−5x−m则方程的两根为x1=a=m，∴直角三角形三边为6，5，m；∴1<m<11，①若m为直角三角形的斜边时，则：m=5②若6为直角三角形的斜边时，则：m=6综上：m的值为：61或11．【点睛】此题考查利用根的判别式b2【题型8根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【答案】(1)m=1，矩形ABCD是正方形，边长是1(2)5【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据题意把x=2代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解．【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形，∴AB=BC．又∵AB，BC的长是关于x的方程x2∴Δ=∴m=1，此时四边形为正方形；当m=1时，原方程为x2解得：x1∴正方形ABCD的边长是12（2）∵AB的长为2，∴把x=2代入原方程，得22解得m=5将m=52代入原方程，得解得x∴方程的另一根BC=1∴矩形ABCD的周长是2×2+【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键．【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【答案】（1）当m为2时，四边形ABCD为菱形，菱形边长为1;（2）C平行四边形ABCD=6．【分析】（1）根据根的判别式得出△=m2-4（m-1）=0即可得出m的值，进而得出方程的根得出答案即可；（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4-2m-1=0，解出m的值，此时方程化为：x2-3x+2=0，得出方程根，进而得出C平行四边形ABCD．【详解】（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等．∴△=m2-4（m-1）=0∴m2-4m+4=0∴m1=m2=2∴方程化为x2-2x+1=0解得：x1=x2=1∴菱形边长为1．（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4-2m-1=0，解得：m=3此时方程化为：x2-3x+2=0，解得（x-1）（x-2）=0解得：x1=1，x2=2∴C平行四边形ABCD=2×（1+2）=6．【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质等知识，正确应用菱形的性质得出是解题关键．【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【答案】(1)有两个实数根，见解析(2)5【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；（2）根据矩形对角线相等的性质可得a=b，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解．【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根理由：Δ=∵m+52∴b2∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，∴a=b，∵该一元二次方程的两根为a，b，∴x2∴m+52=0，解得∴这个一元二次方程为x2−10x+25=0，解得∴这个矩形对角线的长是5．【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【答案】(1)2(2)8【分析】（1）由m=2可以求出方程的两个根，再由矩形性质即可求值；（2）由菱形邻边相等得到方程有两等根，再由判别式求值即可．【详解】（1）解：当m=2时，1整理得：(x−2)(x−6)=0∴x∵四边形ABCD为矩形∴矩形的对角线长为x1（2）解：∵四边形ABCD为菱形∴关于x的一元二次方程14∴Δ=解得：m=1此时原方程为1∴x∴菱形周长为2×4=8．【点睛】本题考查一元二次方程与四边形综合，解题的关键是熟练解方程并理解矩形和菱形的性质．【题型9关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−2k−3x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③k≤94A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用根的判别式，可得出Δ=9−4k【详解】解：关于x的方程kxΔ=当k=0时，关于x的方程为3x−2=0，则x=2方程只有一个实数根，故②说法正确；当9−4k≥0，解得k≤94，则k≤9综上，上述说法正确的是②③，共2个，故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ≥0【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【分析】根据一元二次方程根的定义求出b=a，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论．【详解】解：∵aa>1是关于x的方程x∴a2整理得，a−1∵a>1，∴a−1>0，∴a−b=0，即b=a；①Δ=∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；②∵b=a，∴当a=t+1时，一定有b=t+③∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0∴b也是关于x的方程x2④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；所以，正确的结论是①③，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有