高考数学 试题汇编 第三节 坐标系与参数方程(选修44) 理（含解析）

第三节坐标系与参数方程(选修44)极坐标系与极坐标考向聚焦重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化,主要以选择题、填空题的形式出现,难度不大,分值5分左右备考指津(1)简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可通过极坐标方程与直角坐标方程的互化得出;(2)通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的异同,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的重要性1.(年北京卷,理3)在极坐标系中,圆=-2sinθ的圆心的极坐标是()(A)(1,π2) (B)(1,-π(C)(1,0) (D)(1,π)解析:∵=-2sinθ,∴2=-2sinθ,x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,圆心(0,-1)对应的极坐标为(1,-π2故选B.答案:B.2.(年安徽卷,理5)在极坐标系中,点(2,π3)到圆=2cosθ的圆心的距离为()(A)2 (B)4+π(C)1+π2解析:在极坐标系中点(2,π3)化直角坐标为(1,3),方程=2cosθ化直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,故所得圆心为(1,0),∴点到圆心的距离为3.故选D.答案:D.3.(年北京卷,理5)极坐标方程(-1)(θ-π)=0(≥0)表示的图形是()(A)两个圆 (B)两条直线(C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线解析:由(-1)(θ-π)=0可得=1或θ=π.=1表示圆,θ=π(≥0)表示一条射线,故选C.答案:C.4.(年江西卷,理15(1),5分)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.

解析:本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想.将x2+y2=2,x=cosθ代入x2+y2-2x=0得2-2cosθ=0,整理得=2cosθ.答案:=2cosθ5.(年陕西卷,理15C,5分)直线2cosθ=1与圆=2cosθ相交的弦长为.

解析:直线2cosθ=1,即x=12.圆=2cosθ,2=2cosθ,即x2+y2=2x,(x-1)2+y2=1由x=12(∴弦长=|32-(-32)|=答案:36.(年安徽卷,理13,5分)在极坐标系中,圆=4sinθ的圆心到直线θ=π6(∈R)的距离是.

解析:本题考查直线与圆的极坐标方程,考查极坐标与直角坐标的转化,考查点到直线的距离.圆的极坐标方程可化为ρ2=4ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,圆心为(0,2),直线的极坐标方程化为直角坐标方程为3x-3y=0,所以圆心到直线的距离d=|0-6答案:3解决极坐标方程问题,一般利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ把极坐标方程转化为直角坐标方程来求解.7.(年上海数学,理10,4分)如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α=π6.若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式,则f(θ)=.解析:易知直线l的直角坐标方程为y=33将x=ρcosθy=ρsinθ所以ρ=2cosθ-答案:18.(年江西卷,理15(1))若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为.

解析:设曲线上任意一点P(x,y),由ρ=2sinθ+4cosθ,ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,∴x2+y2=2y+4x,即方程为(x-2)2+(y-1)2=5.答案:(x-2)2+(y-1)2=59.(年广东卷,理15)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为.

解析:曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,而ρcosθ=-1化为直角坐标方程为x=-1.直线x=-1与圆x2+(y-1)2=1的交点坐标为(-1,1),化为极坐标为(2,3π答案:(2,3π10.(年新课标全国卷,理23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ,y=3sinφ,(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.解:(1)由条件知A(2cosπ3,2sinπ3),B(2cos(π3+π2),2sin(C(2cos(π3+π),2sin(π3+π)),D(2cos(π3+3π2即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1)(2)设P(2cos,3sin),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2∵0≤sin2≤1∴S的取值范围是[32,52]本题涉及参数方程、极坐标方程及普通直角坐标,但均为基本概念与运算,难度不大.11.(年江苏数学,21C,10分)[选修44:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知圆C经过点P(2,π4),圆心为直线ρsin(θ-π3)=-3解:在ρsin(θ-π3)=-32中令θ=0,得所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P(2,π4所以圆C的半径PC=(2于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.12.(年辽宁卷,理23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程ρ=4cosθ.解ρ得ρ=2,θ=±π3故圆C1与圆C2交点的坐标为(2,π3),(2,-π注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由x得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,-3).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x=1y=t(-3≤13.(年福建卷,理21(2))在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x(α为参数).①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,π2②设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解:①把极坐标系下的点P(4,π2因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.②法一:因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(3cosα,sinα),从而点Q到直线l的距离为d=|3cosα-sinα+4|2=2cos由此得,当cos(α+π6)=-1时,d取得最小值为2法二:由曲线C化为普通方程为:x23+y2=1即焦点在x轴上椭圆,即寻找椭圆上到直线x-y+4=0距离最短的点.设直线x-y+c=0与椭圆相切,则两切点有一个到直线距离最短,联立x-y+c=0x23+y2=1得4x2+6cx+3c14.(年浙江自选模块卷,04)如图,在极坐标系Ox中,已知曲线C1:ρ=4sinθ(π4≤θ≤πC2:ρ=4cosθ(π4≤θ≤π2或3π2<C3:ρ=4(0≤θ≤π2(1)求由曲线C1,C2,C3围成的区域的面积;(2)设M(4,π2),N(2,0),射线θ=α(ρ≥0,π4<α<π2)与曲线C1,C2解:(1)由已知,如图弓形OSP的面积=14×π×22-12×=π-2,从而,如图阴影部分的面积=12×π×22-2(π故所求面积=14π×42+12×π×22-4=6(2)设A(ρA,α),B(ρB,α),AB的中点为G(ρ,α),∠ONG=.由题意ρ=ρA+ρB2sin=25,cos=15.在△OGN中,ONsin∠OGN即2sin(π所以sinα+cosα=sinφsin(化简得sin2α-3sinαcosα=0,又因为sinα≠0,所以tanα=3.参数方程考向聚焦参数方程与普通方程的互化是高考考查的重点和热点问题,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识,主要以填空题与解答题的形式出现,且解答题常将参数方程与极坐标方程融合在一起综合考查,属中低档题目,每年高考分值占5~10分备考指津(1)能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程,并能利用参数方程解决一些几何问题(如求角、距离、弦长、面积、最值等);(2)参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中x,y的取值范围,保证互化前后方程的等价性,常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元等15.(年湖南卷,理3)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程x=(A)圆、直线 (B)直线、圆(C)圆、圆 (D)直线、直线解析:∵ρ=cosθ,∴ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x,即(x-12)2+y2=1∵x=∴表示直线.故选A.答案:A.16.(年湖南卷,理9,5分)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)与曲线C2解析:曲线C1的普通方程为2x+y=3,与x轴的交点为P(32,0);曲线C2的普通方程为x2a2+y29=1,与x轴的交点为A答案:317.(年广东卷,理14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为x=ty=t(t为参数)和x=2cosθy解析:曲线C1:y2=x,曲线C2:x2+y2=2由y2=xx1=-2,x2=1,又x≥0,∴x=1.代入y2=x中,y=±1.答案:(1,1)或(1,-1)18.(年北京卷,理9,5分)直线x=2+ty=-1-t解析:由已知直线方程为x+y-1=0,曲线方程为x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.答案:219.(年湖北卷,理16,5分)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线θ=π4与曲线x=t+1解析:曲线x=t+1,y=(t-联立y消去y得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,所以y1=1,y2=4.故线段AB的中点的直角坐标为(x1+y即(52,5答案:(52,520.(年天津卷,理12,5分)已知抛物线的参数方程为x=2pt2解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2,又∵t2=x2∴y2=4p2×x2∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|,∴△EMF是等边三角形,过点F作FA⊥ME交ME于A,则A为ME的中点,且xA=p2∴xM+xE=2xA(其中,xA,xM,xE分别为点A、M、E的横坐标),∴3+(-p2)=2×p2.答案:2本题考查了参数方程、抛物线的定义及问题的转化能力,圆锥曲线的定义的考查始终是考查热点,属中档题.21.(年广东卷,理14)已知两曲线参数方程分别为x=5cosθ,y=sinθ(0≤θ<π解析:由x=5cosθy=sinθ(0≤θ<π)得x由x=54t2y=联立方程组x25+答案:(1,2522.(年陕西卷,理15C.)在直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C1:x=3+cosθy=4+sinθ(θ为参数)和曲线C2:解析:化参数方程x=3+cosθy为普通方程(x-3)2+(y-4)2=1;化极坐标方程ρ=1为直角坐标方程x2+y2=1.当A、B分别在曲线C1,C2上运动时,|AB|min=(3答案:323.(年湖南卷,理9)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosα,y=1+sinα(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρ(cosθ-sinθ)+1=0,则C1解析:∵曲线C1的参数方程为x=cosαy=1+sinα(α为参数),∴曲线C1的普通方程为x2+(y-1)2=1,∵曲线C2的方程为ρ∴曲线C2的直角坐标方程为x-y+1=0.∵直线x-y+1=0经过圆x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),∴曲线C1与C2相交,有2个交点.答案:224.(年天津卷,理11)已知抛物线C的参数方程为x=8t2y=8t(t为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)2+y2解析:由x=8t2则其焦点F(2,0),则直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0,又圆心为(4,0),所以r=|4-0答案:225.(年浙江自选模块,04,10分)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:x=2+tcosα,(1)若α=π3(2)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2,3),求直线l的斜率.解:设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2,将曲线C的参数方程化为普通方程x24+y(1)当α=π3时,设点M对应参数为t0,直线l方程为x代入曲线C的普通方程x24+y2=1,得13t则t0=t1+t所以,点M的坐标为(123,-3(2)将x=2+tcosα,(cos2α+4sin2α)t2+(83sinα+4cosα)t+12=0,因为|PA|·|PB|=|t1t2|=12cos2所以12co得tan2α=516由于Δ=32cosα(23sinα-cosα)>0,故tanα=54所以直线l的斜率为5426.(年福建卷,理21(2),7分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),(233,π2),圆C的参数方程为x(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;(2)判断直线l与圆C的位置关系.解:①由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,23又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为(1,33故直线OP的平面直角坐标方程为y=33②因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,23所以直线l的平面直角坐标方程为3x+3y-23=0.又圆C的圆心坐标为(2,-3),半径r=2,圆心到直线l的距离d=|23-故直线l与圆C相交.27.(年江苏卷,21C.)在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆x=5cosφ,y=3sin解:由题设知,椭圆为:x225+椭圆的长半轴长a=5,短半轴长b=3,从而c=a2将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.故所求直线的斜率为12因此所求直线方程为y=1228.(年辽宁卷,理23)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosφ,y=sinφ(为参数),曲线C2的参数方程为x=acosφ,y=bsinφ(a>b>0,为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:(1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(2)设当α=π4时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-π4时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2解:(1)由C1:x2+y2=1,C2:x2a2∴C1是圆,C2是椭圆.当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.当α=π2时,射线l与C1,C2(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和x29+y当α=π4时,射线l:y=x(x≥0)与C1交点A1的横坐标为x=22,与C2交点B1的横坐标为x'=当α=-π4时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1故四边形A1A2B2B1的面积为(2x'29.(年浙江卷自选模块,04)已知直线l:x(t为参数,α为l的倾斜角,且0<α<π)与曲线C:x=2cos(1)求△ABF的周长;(2)若点E(-1,0)恰为线段AB的三等分点,求△ABF的面积.解:(1)由曲线C的普通方程x22+y知|AE|+|AF|=|BE|+|BF|=2a=22.又∵直线AB过点E,∴△ABF的周长为42.(2)将x=-1+tcos得(1+sin2α)t2-2tcosα-1=0.设点A、B对应的参数分别为tA、tB,其中Δ=4cos2α+4(1+sin2α)=8>0,且tA+tB=2cosα1+si不妨设|AE|∶|EB|=2∶1,则tA=-2tB,∴tA+tB=-tBtAt∴-11+sin∴8cos2α=1+sin2α,∴sin2α=79,即sinα=7∴S△ABF=12|AB|·|EF|sinα=12×221+sin30.(年全国新课标卷,理23)已知直线C1:x(t为参数),圆C2:x=cosθ,(1)当α=π3时,求C1与C2(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当α=π3时,C1的普通方程为y=3C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y解得C1与C2的交点为(1,0),(12,-3(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.A点坐标为(sin2α,-cosαsinα).故当α变化时,P点轨迹的参数方程为x=12P点轨迹的普通方程为(x-14)2+y2=1故P点轨迹是圆心为(14,0),半径为1本题给出了两个参数方程,在解题过程中如果都用参数方程就不好做了,因此可以将其化为普通方程,至少将其中的某个方程化为我们便于应用的普通方程,即参数方程普通化的主导思想.(年全国新课标卷,理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosα,M是C1上的动点,P点满足OP→=2OM→,P点的轨迹为曲