高考数学 试题汇编 第五节 二次函数、函数与方程、函数模型及其应用 文（含解析）

第五节二次函数、函数与方程、函数模型及其应用二次函数考向聚焦二次函数是高考的重点内容,主要考查二次函数的图象与性质应用,特别是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用,同时对数形结合、函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中.对二次函数的考查主要以选择题、填空题的形式出现,多为中档题,所占分值为5分左右1.(年安徽卷,文6)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()解析:由abc>0知,a、b、c的符号为同正或两负一正,当c>0时ab>0,∴f(0)=c>0,对称轴x=-b2a<0无对应选项;当c<0时,ab<0,∴f(0)=c<0,对称轴x=-答案:D.2.(年天津卷,文10)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g((A)[-94,0]∪(1,+∞(B)[0,+∞)(C)[-94,+∞(D)[-94,0]∪(2,+∞解析:由题意知:f(x)=x2即f(x)=(由h(x)=(x+12)2+7得h(x)∈(2,+∞).由H(x)=(x-12)2-94(-1≤x得H(x)∈[-94综上得:f(x)∈[-94,0]∪(2,+∞答案:D.函数的零点与方程的根考向聚焦函数的零点与方程的根是高考的一个热点内容,近几年高考在这个考点上常考常新,主要从以下几个方面进行考查:一是求函数零点的个数(可能是具体函数也可能是抽象函数);二是判断函数零点(方程的根)所在的区间;三是已知函数零点(方程的根)的个数或范围,求解析式中参数的取值范围.一般以选择题或填空题的形式出现,所占分值为5分左右备考指津要强化这个考点以上三个方面的训练,同时要注意数形结合思想、函数与方程思想以及分类讨论思想方法的训练与应用3.(年北京卷,文5,5分)函数f(x)=x12-(12(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:函数f(x)=x12-(12)x的零点个数为函数p(x)=x12与函数q(x)=(12)x图象的交点个数.在同一坐标系内画出p(x)=∴函数f(x)=x12-(12答案:B.4.(年湖北卷,文3,5分)函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:要使f(x)=xcos2x=0,则x=0,或cos2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos2x的函数图象,易得满足cos2x=0的x的值有π4,3π4,5答案:D.5.(年新课标全国卷,文11,5分)当0<x≤12时,4x<loga(A)(0,22) (B)(2(C)(1,2) (D)(2,2)解析:如图y1=4x,y2=logax.①a>1时,易知x<1时,logax<0,不成立.②0<a<1时,由图可知0<x≤12时,4x<logax成立需满足loga12>∴22∴a的取值范围是(22答案:B.此题是对分类讨论,数形结合两种思想的综合考查,对数函数图象的变化对a的影响需注意.6.(年湖南卷,文9,5分)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数.当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π)且x≠π2时,(x-π2)f'(x)>0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2(A)2 (B)4 (C)5 (D)8解析:因f(x)是偶函数,故f(x)在[-π,π]上f(x)∈(0,1),又周期为2π,故f(x)在R上值域为(0,1).令g(x)=y=f(x)-sinx,易知其周期为2π.由题设可知f(x)在(0,π2)上单调递减,在(π2,所以g(x)在[0,π2]上单调递减,且g(0)=f(0)>0,g(π2)=f(故g(x)在(0,π2)上有唯一零点,同理在(π2,易知g(x)在[π,2π]上恒大于0,故无零点.所以g(x)在[0,2π]上有且只有两个零点,又周期为2π,所以g(x)在[-2π,2π]上共有4个零点.答案:B.本题综合考查函数的单调性与周期性及零点存在定理,也可结合草图,数形结合快速求解.7.(年新课标全国卷,文10)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()(A)(-14,0) (B)(0,1(C)(14,12) (D)(12解析:∵f(12)=e12+4×1f(14)=e14∴f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(14,1故选C.答案:C.8.(年天津卷,文4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)解析:∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).故选C.答案:C.9.(年福建卷,文7)函数f(x)=x2(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:①x≤0时,f(x)=0⇔x2+2x-3=0,∴x=-3(x=1舍去).②x>0时,f(x)=0⇔-2+lnx=0,∴x=e2.因此函数共有2个零点.故选B.答案:B.函数的零点问题,通常借助图形直观判断,比较简单的问题,直接解方程更便捷.10.(年上海数学,文6,4分)方程4x-2x+1-3=0的解是.

解析:令2x=t(t>0),则4x-2x+1-3=0变形为t2-2t-3=0.解得t=3或-1(舍去),∴2x=3,∴x=log23.答案:x=log23函数模型的综合应用考向聚焦函数的应用是高考的热点内容,在高考试题中,考查函数的应用,主要有两种形式,一是以选择题、填空题的形式,考查几种常见函数模型在实际问题中的应用等,一般为容易题或中档题;二是以解答题的形式,考查实际问题以及函数与其他知识,如:方程、不等式、数列、解析几何等的综合等,综合性强,难度较大11.(年重庆卷,文10,5分)设函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},则M∩N为()(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(-1,1) (D)(-∞,1)解析:M:f(g(x))=(3x-2)2-4(3x-2)+3>0,令t=3x-2,则原不等式等价于t2-4t+3>0,解得t>3或t<1,∴3x-2>3或3x-2<1.∴3x>5或3x<3.∴x>log35或x<1.即M={x|x>log35或x<1}.N:3x-2<2⇒3x<4⇒x<log34,∴N={x|x<log34},∴M∩N={x|x<1},故选D.答案:D.本题重点考查了不等式的解法以及集合间的运算.12.(年山东卷,文12,5分)设函数f(x)=1x,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2(A)x1+x2>0,y1+y2>0(B)x1+x2>0,y1+y2<0(C)x1+x2<0,y1+y2>0(D)x1+x2<0,y1+y2<0解析:本题主要考查函数方程思想.由f(x)-g(x)=0得x3-bx2+1x=0,设F(x)=x3-bx2+1,则F(x)=0有且仅有两个不同零点x1,x2,由F'(x)=3x2-2bx=0得x=0或x=23b,这样必须且只需F(0)=0或F(23b)=0,因为F(0)=1,故必有F(23b)=0,由此得b=3322,不妨设x1<x2,则x2=故x1=-1232,x1+x2=1232>0,故y1+y2=答案:B.本题考查函数方程思想,数形结合的思想,同时考查学生的转化化归能力、推理能力,难度较大.13.(年广东卷,文10)设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数,如下定义两个函数(fg)(x)和(f·g)(x)对任意x∈R,(fg)(x)=f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x),则下列等式恒成立的是()(A)((fg)·h)(x)=((f·h)(g·h))(x)(B)((f·g)h)(x)=((fh)·(gh))(x)(C)((fg)h)(x)=((fh)(gh))(x)(D)((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)解析:由函数定义知((f·g)h)(x)=(f·g)(h(x))=f(h(x))g(h(x)),((fh)·(gh))(x)=(fh)(x)(gh)(x)=f(h(x))g(h(x)),故B选项正确.答案:B.14.(年江苏数学,17,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120(1+k2)x2(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解:(1)令y=0,得kx-120(1+k2)x2故x=20k1+k2=所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤所以当a不超过6千米时,可击中目标.本题把函数、不等式放在应用题中,设计新颖,考法独特.(年山东卷,文16)已知函数f(x)=1ogax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.

难题特色:本题考查函数零点所在区间的判断问题,但由于:(1)函数f(x)不是基本初等函数,是对数函数和一次函数的综合;(2)题目中含有四个参数a,b,n,x0,且只知道a,b的取值范围;(3)问题的表述较为新颖,所以考生在解答该题时,不容易找到问题的突破口,无从下手.难点突破:(1)从参数a,b的取值范围入手,计算函数值f(2),f(3),并且分析它们的符号