高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)2.1.1等式的性质与方程的解集(原卷版+解析)

2.1.1等式的性质与方程的解集一、单选题1．已知，则下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．2．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺（

）A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺3．已知关于的方程的解集为，则实数的值（

）A．0B．1C．D．4．一元二次方程的解集为（

）A． B． C． D．5．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（

）A． B． C． D．6．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么7．设，，，，则，，的大小关系是（

）．A．B．C．D．8．若，，b，，则的最小值为（

）A．B．C．D．二、多选题9．方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（

）A． B． C． D．10．设，，若，则实数a的值可以为（

）A． B．0 C．3 D．三、填空题11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若，则小正方形的面积是________.12．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则______.13．一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．14．若等式恒成立，则常数a与b的和为______.四、解答题15．今年10月份，学校从某厂家购进了A、B型电脑共250台，A、B两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A型、B型电脑的总金额和为205万元.（1）求学校10月份购进A、B型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A、B两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A型电脑的单价下降了a%，A型电脑数量增加了，B型电脑的单价上升了元，B型电脑数量下降了，这次采购A、B两种型号电脑的总金额为205万元，求a的值.16．设集合，.(1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求实数的取值集合.2.1.1等式的性质与方程的解集一、单选题1．已知，则下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式的性质可判断各选项的正误.【详解】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误.故选：B.2．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺（

）A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺【答案】C【分析】利用条件可得方程组，即得.【详解】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则，解得故选：C.3．已知关于的方程的解集为，则实数的值（

）A．0 B．1C． D．【答案】C【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值【详解】由，得，因为关于的方程的解集为，所以，得，故选：C4．一元二次方程的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接求解一元二次方程的解即可.【详解】可化为，解得或所以一元二次方程的解集为故选：B5．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，然后由题意列方程可求得结果【详解】解：设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，则由题意可得，解得，故选：C6．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】取，可判断A；或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D【详解】选项A，当时，显然不成立；选项B，如果，那么或，显然不成立；选项C，当时，无意义，不成立；选项D，如果，则，故，即，成立故选：D7．设，，，，则，，的大小关系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】通过作差法分别比较与，与的大小，从而得出，，的大小关系.【详解】因为，所以，所以，，所以，即.故选：C.8．若，，b，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求出a，b，c的值，即可求解．【详解】解：因为，，b，，所以联立方程组，求得，，，从而，，，所以当a，b异号时，取最小值为．故选：B．二、多选题9．方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】将所求方程化为，由分类讨论求出的值，再解原方程即可.【详解】由题意可知且，则原方程可化为，得，若方程有一根为0，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；若方程有一根为，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；若，解得，故原方程为，解得.故选：ABC.10．设，，若，则实数a的值可以为（

）A． B．0 C．3 D．【答案】ABD【分析】根据，得到，然后分，讨论求解.【详解】，，，当时，，符合题意；当时，，要使，则或，解得或．综上，或或．故选：ABD．三、填空题11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若，则小正方形的面积是________.【答案】1【分析】设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积.【详解】设小正方形边长为，由勾股定理得：，解得：，故小正方形的面积为.故答案为：112．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则______.【答案】3【分析】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案.【详解】两式相减，得到，当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集．当时，方程的解为，解不是空集.综上，．故答案为：.13．一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．【答案】【分析】利用“相伴数对”的定义求解.【详解】由题意，得，解得．故答案为：14．若等式恒成立，则常数a与b的和为______.【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.【详解】等式恒成立，即恒成立，则有，解之得，故故答案为：2四、解答题15．今年10月份，学校从某厂家购进了A、B型电脑共250台，A、B两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A型、B型电脑的总金额和为205万元.（1）求学校10月份购进A、B型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A、B两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A型电脑的单价下降了a%，A型电脑数量增加了，B型电脑的单价上升了元，B型电脑数量下降了，这次采购A、B两种型号电脑的总金额为205万元，求a的值.【答案】（1）100台，150台；（2）50.【分析】（1）设学校月份购进型电脑台，结合总金额列方程，由此求得型电脑购进的台数.（2）结合采购的总金额列方程，由此求得的值.【详解】（1）设学校10月份购进A型电脑x台，则学校购进B型电脑台，由题意得：，解得：，则学校10月份B型电脑为（台）；答：学校10月份购进A、B型电脑各100、150台.（2）根据第（1）可得