空间角、距离的计算-2022-2023学年高一数学知识考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）【解析版】

专题09空间角、距离的计算

《勒知纸概要，

知识点一直线与平面所成的角

1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交

点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射

影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90。；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说

它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].

如祝』二二面角

1.有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半

平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

2.平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条

射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

如图，OAUa,OBU§,d，0曰,OA±l,OB_L/=>NAOB是二面角的平面角.

3.范围：[0,n]

4.记法：棱为/,面分别为a,4的二面角记为a—/一夕.如图所示，也可在a,6内(棱以外的半平面部分)分别

取点尸，Q,将这个二面角记作二面角尸一/一。

5.度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平

面角是直角的二面角叫做直二面角

知识点三］点到平面的距离

定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.

知识点四直线与平面间的距离

定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的

距离.

知识点五平行平面间的距离

与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两

个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离.

霭（考点速览7

考点01直线与平面所成角（函数值）的计算

【典例1】（2023•全国•高一专题练习）正方体4BCD-ABCA中，直线入出与平面ABGD所成角大小为

7T

【答案】30。##：

6

【分析】由线面角的定义及线面垂直的判定找到线面角的平面角，进而求其大小.

【详解】如下图，由正方体性质知：AD,1A,D,且A，AtD=O,即

又AB/面ADR4，AOu面ADRA，故AB/4。，

由A2cA8=A,AD{,ABc[f]ABC}DX,故A。_L面4BG2,

所以/AB。为直线AB与平面ABG2所成角的平面角,显然sin/AB。=黑=4，

又"BO€[0,90°],故NA3O=30。.

故答案为：30°

【典例2】（2023•高一课时练习）如图，长方体ABCD-4B]G2,AB=a,BC==b,a>b,尸是棱AB

上的一个动点，若点P运动到棱AB靠近A的一个三等分点时，恰有PG工尸方，求此时PG与平面A3CD所

成的角__________

【分析】结合长方体的结构特点，可知PG与平面ABC。所成的角为/C|PC,由及勾股定理可得

。=；回，进而可求出tan/£PC=q1得出结果.

【详解】长方体ABC。-44GA中，因为4?=。，BC=BB}=b,

所以£)62=1+〃，DP2=^a2+b2,PC2=-a2+b2,

因为CO,底面ABCD,PCu平面ABCD,所以GC^PC,

所以PG与平面ABC。所成的角为"PC,

PC；=CC;+PC-=^cr+2b2,

2

由条件PC}1PD可得DC；=DP+PC：,解得。=g回,

因心3c噬二向邛.

因为0°</GPC<90°,

所以NGPC=30。，PG与平面ABC。所成的角为30。,

故答案为：30°

【典例3】(2023・高一课时练习)在长方体48。-44。|2中，AB=BC=4,M=5,M是AB中点，求:

(1)C]M与平面ABCD所成的角;

(2)C.M与平面ABBtAt所成的角.

【答案】⑴arctan@

2

(2)arcsin

【分析】(1)连接CM,根据CG1平面ABCD,可得/CMC1即为直线C眼与平面ABCD所成的角的平面角,

解三角形即可；

(2)连接B.M,根据弓耳，平面ABB^,可得ZQMB,即为直线与平面ABB.A,所成的角的平面角，解三

角形即可.

【详解】(1)如图，连接CM，

因为CC1，平面ABCD,所以CM为在平面ABCD上的射影,

故NCMQ即为直线GM与平面ABCD所成的角的平面角，

又CMu平面ABCD,所以CG^CM,

在RtCMC1中,CM='MB2+BC?=26，

所以tanNCMG=空=冶==—,ZCMCe(0,-),

MC2V522

得Z.CMC,=arctan,

12

即直线GM与平面"CD所成的角的大小是arctan好；

2

(2)连接耳M,因为平面ABBW，

所以耳M为QM在平面ABB^上的射影，

所以NCiMB、即为直线C,M与平面ABB.A所成的角的平面角，

又BMu面AB耳A，所以0局，印0,

因为C、M=7CM2+C,C2=A/20+25=36,

所以在RfG4M中，sinZC,MB,==^,ZC1MB1e(0,j),

得NC[MB[=arcsin~~~，

即直线CXM与平面ABB,A所成的角的大小是arcsin噜.

【总结提升】

求线面角的方法：

（1）求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平

面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角

形，求出该角.

（2）求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图

形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.

考点02二面角（函数值）的大小

【典例4】（2023•全国•高一专题练习）点尸在二面角a-—6的平面。上，点尸到平面夕的距离为拉，点尸到

棱/的距离为"!，则二面角的大小为.

【答案】:或乎

44

【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理分类讨论进行求解即可.

【详解】当二面角a£为钝角时，如下图所示：

设尸连接。I,

因为/u",所以尸O_U,而尸0「PA=P,PO,PAu平面PQ4,

所以/_/.平面尸。4,而Q4u平面尸。4,所以/_LOA,

所以NX4O是二面角尸的平面角的补角，

在直角三角形尸中，smAPAO^—=-^-=—^APAO=-,

PAV2/724

所以二面角的大小为兀-：TT=今37r，

44

71

同理当二面角a-/-4为锐角时，二面角的大小为了，

4

故答案为：;TT或可37r

44

【典例5】（2023•高一课时练习）若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成角的大小是.

【答案】arccos也

3

【分析】如图所示，。为对角线AC,班＞的交点，E为CD的中点，说明OELC。尸ELC。，则/。砂即为

侧面PCD与底面ABCD所成角的平面角，解Rt.POE即可得解.

【详解】解：正四棱锥的四个侧面与底面所成角相等，

如图所示，。为对角线AC加的交点，E为CD的中点,

则。尸，底面ABC。，OC=OD,

则OE_LCr),PEJ_CO,

则NOE尸即为侧面PCD与底面A3C。所成角的平面角，

设棱锥的棱长为2,

则0£>=；8。=夜,OE=1,PE=6

在RtPOE中，

cosNOEP=，=&,

A/33

所以Z-OEP=arccos—,

3

即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小是arccos且.

3

【典例6】(2023・高一课时练习)已知24,平面是正方形，异面直线PB与C。所成的角为45.

(1)二面角的大小;

⑵直线P8与平面尸8所成的角的大小.

【答案】⑴120

(2)30

【分析】(1)作于£,连接EZ),由已知推导出/BED就是二面角8-尸。-。的平面角，由此根据余

弦定理得出cos/BED,即可得出答案；

(2)还原棱锥为正方体ABCD-P3C2,作B尸，于尸，连接2尸，即可推导出NBPP就是直线PB与

平面尸CD所成的角，即可求出答案.

【详解】(1)ABCO是正方形，

:.AB//CD,

/PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即NPBA=45°,

-F4_L平面ABC。，ABu平面ABC。，

:.PA±AB,

:.PA=AB,

作BE_LP。于E,连接ED,

在&ECB与一ECD中,BC=CD,CE=CE,NECB=NECD,

：.^ECB=.ECD,

/.ZCED=ZCEB=90,

就是二面角8-尸C-£＞的平面角,

设XB=a,则BD=PB=®a，PC=®,

则BE=DE=PBBC=&a,

PC3

BE?+DE?-BD?1

则cosNBEZ”即N5区）=120,

2xBExDE

，二面角8-尸。-。的大小为120;

(2)还原棱锥为正方体ABCD-PB©1,作3尸J.CB,于F,

P3

I•-rX、I/

II/、I/

If/\_、I/

BC

■：平面PBCAJ_平面BB£C,

:.BF±BlP,

平面尸31C。，

连接尸尸，则NBPP就是直线尸3与平面PCD所成的角,

BF=a,PB=>/2G，

sinNBPF=g,即ZBPF=30,

.,.直线网与平面PCD所成的角为30.

【规律方法】

1.求二面角大小的步骤：

作出平面例

证明所作的角满足定义，即为所求

V二面角的平面角

将作出的角放在三角形中，计算出

假•平面角的吴示'________________

简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.

2.作二面角的平面角的方法：

方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

如右图所不，NAOB为二面角a—a一夕的平面角.

方法二：（垂线法）过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二

面角的平面角或其补角.

如图所示，/APE为二面角A—8C—。的平面角.

方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的

角，即为二面角的平面角.

如图所示，NAOB为二面角a-■“一夕的平面角.

考点03点到平面距离的计算

【典例7】（2023•高一单元测试）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，CA=CB=2,AB=2叵，M=3,M

为A3的中点.

⑴证明：AC1〃平面gCAf；

（2）求点A到平面与CM的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵噂

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明;

（2）利用等体积法求解.

【详解】（1）

连接BG交8C于点N,连接儿W,

则有N为BQ的中点，〃为的中点,

所以ACJ/MN,

且AC1(Z平面BXCM,MNu平面B}CM,

所以AC1〃平面.

(2)连接A”因为C4=CB=2,所以〃±AB,

又因为A4t，平面ABC,CMu平面ABC,

所以ABcA4,=A,所以CM，平面AB与4,

又因为MB,u平面ABB.A,，所以CM，MB,,

又所以，ABC是等腰直角三角形,

CM=；AB=0MB\+=而,

所以殍，

=X

SAACM=5^AACB22^0”，CB=1.

设点A到平面B{CM的距离为d,

因为匕-B,CM=%,-©/,所以]><S4cMxd=]xSACMx.

3A/22

SACMXA4

所以"=t

q11

uBXCM

【典例8】（2023春•全国•高一专题练习）如图，A3是圆柱。。的一条母线，8C是底面的一条直径，D是

圆。上一点，S.AB=BC=5,CD=3.

D

(1)求直线AC与平面ABD所成角正弦值;

(2)求点B到平面ACD的距离.

【答案】(i)m

0、20面

\^）----------------

【分析】(1)由线面垂直判定可知CD，平面加，由线面角定义知所求角为/C4D,由长度关系可得结果;

(2)过B作册fLAD,由面面垂直的判定与性质可知即为所求距离，利用面积桥可求得结果.

【详解】(1)QAB_L平面BCD,■BC,Cr»u平面3CD,.^.AB_LCD,ABJ.BC；

8C是圆。的直径，..8OLCD,又ABBD=B,AB,BOu平面4步，

\CDA平面ABD,NC4£＞即为直线AC与平面ABD所成角，

QAB=BC=5,AB.LBC,.-,AC=542,又8=3,

二.sinNGW=?=丝，即直线AC与平面4犯所成角的正弦值为逆.

AC10

过3作3A/_LAD,垂足为

由（1）得：CD_L平面ABD,CDu平面ACD,平面ABD_L平面ACD,

又平面ABDc平面ACD=AD,3Mu平面ABD,BM±AD,二_L平面AC。,

BD=-jBC2-CD2=4,AD=《AB。+S=«，

ABBD

根据等面积法知：-ADBM=-ABBD,：,BM='=,

22AD41

即B到平面ACD的距离等于生匣.

【典例9】(2023•全国•高一专题练习)如图，在三棱锥尸-ABC中,

PA=PB=PC=5,AB=2AC=4,AC±BC,。为AB的中点.

⑴证明：尸。人平面A3C；

(2)求点0到平面PAC的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

4

【分析】(1)证明POLAS,POVCO,结合线面垂直的判定即可证;

(2)点。到平面B4c距离，即为三棱锥PAC面B1C的高，计算出％_MC与SMC即可.

【详解】(1)证明：因为PA=P3,。为的中点，所以尸O_LAB.

连接OC,因为AC/BC,所以CO=AO.

又R4=PC,所以PCO三PAO,所以POLCO.

因为ASCO=O,ABu平面ABC,COu平面ABC,

所以PO1平面ABC.

(2)因为B4=P3=PC=5,AB=2AC=4,

所以=1尸。2—S=m'BC^^AB2-AC2-273-

X2X2A/3

SA0C=—S=—x—=5/3,

VpTOC=g.AOc.PO十导凡币.

设点尸到AC的距离为"则〃=Jp02AC)=收一｛=2巫,则SMC=；AC)=2«.

设点。到平面PAC的距离为d,则VoPAC=-SPAC-d=2回.

Cz-rAC3rAC3

因为％JAC=K“OC，所以马包=小，解得』=叵，

34

即点0到平面PAC的距离为恒.

4

【总结提升】

1.利用垂直关系，构造直角三角形；

2.利用“等积法”.

考点04直线与平面间距离的计算

【典例10】(2022春•山东聊城•高一山东聊城一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCO-A耳中,

AB^4,AD=AA[=2.

(1)求直线AA,与平面BDD国的距离；

(2)求四棱锥4-2£)自8|的体积；

【答案】⑴平

⑵屿

3

【分析】(1)先证得AA〃平面8。。瓦，然后利用等面积法求得直线9与平面BDR4的距离.

(2)根据锥体体积公式求得正确答案.

【详解】⑴由于心〃叫,A41cz平面平面,

所以的〃平面友)。由.

过A作垂足为

根据长方体的性质可知B耳，AH,

由于BDBB[=B,BD,BB[u平面BDD[B],所以AH_L平面BDD4,

在直角三角形中，BD=《42+展=2后，ABD=^ABXAD=^BDXAH,

解得4»=述，所以直线AA与平面瓦的距离为迪.

55

（2）由（1）知，四棱锥4一3。。1%的高为48=半，

所以匕BD0tBi=-X（2A/5X2）X^=—.

A-tiDUxHx3、v/53

【典例11】（2023•高一课时练习）设正方体ABC。-A4GA的棱长是2,求棱和平面BBQO的距离.

【分析】根据已知得出AC13D，即可得出ACJ_平面即可求出点A到平面网A。的距离，根据AA]

平面BBQQ，得出AA到平面的距离即A到平面的距离，即可得出答案.

【详解】连接3D、AC,

ABC。-A由GR为正方体,

四边形ABC。为正方形，

:.AC±BD,

AC_LBB],BDcBBX=B,

.二AC1平面网A。，

A到平面网DQ的距离为=,

A4jy平面BERD,

二•AA到平面的距离即A到平面的距离，

•••棱M和平面BBRD的距离为72.

【典例12](2023春・全国•高一专题练习)已知正方体ABCD-AB©。的棱长为2,E,EG分别是

A4,，A瓦，AR的中点.

⑴求证：EF〃平面BCQ；

(2)在线段8。上是否存在点使得&7,平面BG。？若存在，求线段初的长；若不存在，请说明理由；

⑶求跳'到平面BCQ的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在，BH=>/2

⑶百

【分析】(1)由平行四边形和三角形中位线性质可证得跖//A4〃G。，由线面平行判定可得结论；

(2)取8。中点H,由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得团d.3D,EH±C.H,由线面垂直的

判定可得EH，平面BQD,进而得到BH的长；

(3)根据(1)(2)的结论可知所求距离为E"的长，由(2)可知=

【详解】(1)连接的,

B.CJ/BCHAD,B©=BC=AD,四边形AgG。为平行四边形，:.ABJ/QD；

瓦厂分别为例，4片中点，，EF//CQ,

G£»U平面BCQ,EFa平面BQD,；.EF〃平面BQD.

(2)取8。中点为H,

ED=3E=j22+f=石,BCi=qD=d展+2。=20,

;.EHLBD,QH±BD,又BH=；BD=叵,

；.EH7B^-BH。=C，GH=NBC；-BH。=瓜,

222

又C£=@+22+12=3,.-.EH+C.H=CXE,则EH，C#,

BDCtH=H,8£>,G〃匚平面26。，；.即，平面26。，此时=应，

则线段BQ上存在点a,H为8。中点，使得EHL平面BCQ,此时B”=0.

(3)QEF〃平面BCQ,，EF到平面8CQ的距离即为点E到平面BCQ的距离，

由(2)知：当7/为BD中点时，EH_L平面BG。，则点E到平面BCQ的距离即为E”,

又打/=6，.•.直线班到平面BCQ的距离为6.

【总结提升】

1.利用图形特征，找出或作出表示距离的线段；

2.转化成点到平面的距离问题.

考点05平行平面间距离的计算

【典例13】(2022•高一课时练习)两平行平面a,夕之间的距离为18cm,直线/与平面a,夕分别交于A,

3两点，点Pe/,若=则点P到平面口的距离为.

【答案】12cm或36cm

【分析】作图，利用三角形的相似比可得.

【详解】设点尸到平面。的距离为4cm,到平面的距离为4cm.

2

当尸在平面夕之间时，d2=-xl8=12(cm)；

当尸在平面夕同侧时，

141

PA=—PB,,人-4=18,

2d?2

/.dx=\8cm,d2=2x18=36(cm).

点P到平面B的距离为12cm或36cm.

故答案为：12cm或36cm

【典例14](2023春•全国•高一专题练习)如图在直三棱柱ABC-AgG中，ZABC=90°,BC=2,CCX=^,

E是B片上的一点，且D、F、G分别是C&、B£、4G的中点，E尸与耳。相交于H.

(2)求平面EGF与平面ABD的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵逑

2

【分析】(1)由已知条件得2平面2片GC,从而AB”。,又BRLBD,由此能证明平面4步.

(2)由已知条件推导出Ef7/平面ABD,GP〃平面ABD,由此能证明平面EFG〃平面ABD.由已知条件推

导出印)为平行平面EFG与ABD之间的距离，由此能求出结果.

【详解】(1)证明：由直三棱柱的性质得平面ABC1平面BBCC，

又ABLBC,平面ABCc平面BB|GC=BC,ABu平面ABC,

.:初工平面即“，

又BQu平面ABCC，

AB1BQ,

BC=CD=DC、=4G=2,

.,.在RtADC/?和Rt中，ZBDC=ZBlDCl=45°,

NBDBi=90°,即百D_L2£),

又ABBD=B,平面.

2Q_L平面ABD.

(2)解：由题意知E4=B7=1,

在Rt£4尸中，NFEB、=45°,

又NDBBy45。,EF//BD,

QBZJu平面ABD,平面AB£）,

:.EF〃平面ABD,

G、产分别为AG、Bg的中点，

.-.GF//4B,,又A4〃AB,

GFIIAB,

ABu平面AB£）,GPU平面ABD,

GF//平面ABD,

EFu平面E『G,GFu平面EFG,EFGF=F,

平面EFG//平面ABD.

BQ_L平面ABD,平面EGP〃平面MD,

耳。_L平面EGP,

HD为平行平面EFG与加之间的距离，

:.HD=B\D-B\H=2-Ji-华=^~,

即平面跖G与曲之间的距离为逑.

2

〈一・一•一•一•一•一・r

X电真题探秘/

-~_______________________________/

1.（2022•全国甲（文）T9）在长方体ABCO-ABCQ中，已知耳。与平面A5CD和平面的与吕所成的

角均为30。，则（）

A.AB=2ADB.AB与平面A4G。所成的角为30°

C.AC=CB,D.与。与平面35cle所成的角为45。

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

D

不妨设48=0,40=444=c,依题以及长方体的结构特征可知，与。与平面A5CD所成角为/与。8,

cb!_________

耳。与平面44,与3所成角为ND^A,所以sin30=万瓦=苒X，即人=。，D=2c=y/a2+b2+c2.

Bx1

D}UD}L)

解得a-A/2C-

对于A,AB=a,AD=b,AB=yfiAD，A错误；

对于B,过5作8石，48]于石，易知郎1平面MG。，所以AB与平面AqCQ所成角为44E，

因为tan/5AE=—=、一，所以/BA/。30,B错误;

a2

2222

对于C,AC=Ja+b=6c，CBX—yjb+c=y/2c»ACwCB]，c错误;

对于D,耳。与平面5月CjC所成角为NDBC，sinZDBC=—=—=—,而0</DB]C<90,

lB、D2c2

所以ZD4c=45.D正确.

故选：D.

2.【多选题】(2022•新高考工卷T9)已知正方体A3CD-A4G2，贝I]()

A.直线BG与所成的角为90。B.直线BG与C4所成的角为90。

C.直线BG与平面242。所成的角为45。D.直线BC|与平面A8CD所成的角为45。

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接耳。、BG，因为所以直线BG与5c所成的角即为直线BG与。4所成

的角，

因为四边形B4GC为正方形，则用C，BC1,故直线BG与。A所成的角为90。，A正确；

连接4C,因为44，平面5C]U平面84clC,则4与，5£,

因为qCL5G，4与B[C=B],所以BGJ.平面aqc,

又ACu平面A瓦C,所以3C1J_C41，故B正确；

连接4C，设AGB[DI=O,连接80,

因为BB11平面AB1GA，QOu平面AB]GA,则qoiB}B,

因为GO，42，BQiCB]B=Bi,所以G。，平面

所以ZQBO为直线BQ与平面242。所成的角，

设正方体棱长为1,则C0=也，5G=及，sinNC]3。=A£=；,

所以，直线与平面83Q。所成的角为30,故C错误；

因为£CJ_平面ABC。，所以NG5C为直线Bq与平面ABCD所成的角，易得/。力。=45,故D正

确.

故选：ABD

3.（2019年高考全国I卷文数）已知炉90°,产为平面/8C外一点，尸信2,点尸到//四两边/C,BC

的距离均为V3，那么P到平面ABC的距离为.

【答案】V2

【解析】作尸。PE分别垂直于AC,5C,平面ABC,连接CO,

由题意可知CD'PRCfPO,PDPO=P,

\C0A平面PDO,又。。U平面P。。，

PD=PE=£，PC=2,sinZPCE=sinZPCD=—

2

:.NPCB=NPCA=60°，

又易知POLCO,CO为NACB的平分线，

ZOCD=45°,OD=CD=l,OC=y/2,

又PC=2,==H

一、单选题

1.（2023・全国•高一专题练习）在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（）.

A.局B./，：。_。，［D'H_

【答案】D

【分析】根据空间中线面角的定义即可求解.

【详解】空间内，直线与平面平行或者直线在平面内，此时直线与平面所成角为0,

当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为：，故直线与平面所成角的取值范围是,

故选：D

2.（2023・全国•高一专题练习）如图，二面角C-AB-6的平面角为锐角，C是。内的一点（它不在棱48上）,

点。是C在平面月内的射影，点E是A3上满足/CEB为锐角的任意一点，那么（）

A.ZCEB>ZDEB

B.NCEBvNDEB

C./CEB=/DEB

D.无法确定NCEB与NOEB的大小关系

【答案】A

【分析】过C向AB做垂线交A2于凡连接。尸，由直角三角形可知CF>DB,再由的正切

即可比较大小.

【详解】过C向A2做垂线交于R连接。E如图，

因为CD_L尸，ABu/3,所以CD_LAB,

因为CD_LA5,CF1AB,CDCF=C,CD,C尸u平面CD/,

所以48_1面。。笈/）尸u平面COP,所以AB_L£>产，

在直角三角形CDF中，C尸为斜边。尸为直角边，所以Cb>D厂，

CF

在直角三角形C即中，tanZCEF=—,

FE

在直角三角形。斯中，tan/DEB=——,

FE

由/知，ZCEB>ZDEB

故选：A

3.（2023•高一课时练习）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（）

A.-B.且C.巫D.正

3332

【答案】C

【分析】如图所示，在正四棱锥P-ABC中，。为，ABC的中心，则底面ABC,再解RtPOC即可.

【详解】解：如图所示，在正四棱锥尸-ABC中，。为J1BC的中心,

2

则。尸_L底面ABC,8为AB边上的中线，OCtCD,

所以/PCD即为侧棱PC与底面ABC所成角的平面角，

设正四面体的棱长为2,

则拽,02=「11=侦，

33V93

在RtPOC中，sinZPCZ）=—,

PC3

即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是包.

3

故选：C.

4.（2023•高一课时练习）正四棱锥S-ABCD中，E是上一点（不与端点重合），设SE与8c所成角大小

为4,SE是平面A8CD所成角大小为%,二面角S-AB-C大小为％，则（）

A.02<^<0,B.Ox<02<O3C.口(4D.Qvqv2

【答案】A

【分析】根据题意作出辅助线，再利用线线、线面、二面角的定义得到/SE//=Q,ZSEG=02,ZSFG=03,

进而推得COS4=4§,cos&=?§,sin&=喜，8$名=要，5皿。3=等，从而根据直角三角形的性质

SESESESFSF

得出GENHE,SE>SFf由此即可判断凡名，4的大小.

【详解】

设点G为点S在底面的投影点，点尸为A3的中点，作过点E作直线E///CB,且点H为直线£7的中点,

EI//CB,

ZSEH=4，

点G为点S在底面的投影点，

底面ABCD,"Eu底面ABCD,

ZSEG=02,且SG_LHE,

S-ABCD为正四棱锥，点G为点S在底面的投影点，

二点G为底面ABCD的中心，

又点尸为的中点，・•.GE〃BC,Gb=《BC,

2

ABLBC,ABIGF,

SG,底面ABCD,ABu底面ABC。，

:.AB±SG,

SGGF=G,且SGu平面SGF,GFu平面SGF,

.:/止/平面56斤，

SVu平面SGF,SFYAB,

ZSFG=劣,

EH//CB,:.HE±AB,

.点H为直线£7的中点，且EZ//CB,

:.HE=-CB且HE//CB,

2f

又GF」BC,GFI/BC,

2

:.HE=GF,HE〃Gb,.•.四边形HE-G是平行四边形，

:.HG//EF,即"G/MB,

:.HEA.HG,

又HE1SG,HGSG=G,HGu平面MG,SGu平面阳G,..77E，平面S〃G,

又SHu平面SHG,

HE

在RtSHE中，cosZSEH=cos4=——,

SE

在RtZkSGE中，cosZSEG=cos=—,sinZSEG=sin6»,=—,

SESE

1

在RtSGf中，cosNSFG=cosa=^,sinZSFG=sin6>3=—,

一3SF3SF

在RtaGHE中，GE为斜边，HE为直角边，则GE〉HE,

当点E在线段AB上运动中，与尸重合时，GE=HE,则GE2HE,

则cos4<cos%，

a与%都为锐角，则eea,

在RtASEF中，SE为斜边，S尸为直角边，则跖>跖，

当点E在线段A3上运动中，与尸重合时，SE=SF,则SENS/,

且HE=GF,

则cosa<cos3},sin02<sin4,

4与。3都为锐角，则e/a，八仇,

综上所述：o2<e3<dx,

故选：A.

二、多选题

5.(2023•全国•高一专题练习)如图，24,平面A3CD,正方形A3CD边长为1,E是的中点，尸是

上一点，当8F_LPE1时，贝U()

D

BZz-------^-----------y--1

A.AF:FD=2:1

B.AF:FD=1:1

C.若E4=l,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为百

D.若必=1,则直线PE与平面ABCD所成角为30

【答案】BC

【分析】连接AE,证明计算判断AB；求出异面直线夹角余弦、线面角的正弦判断CD作答.

【详解】连接AE,如图，

因为PA_L平面ABCD,SFu平面ABCD,则加'_LE4,而BF_LPE,PAPE=P,PA,PEu平面,

于是3F_L平面F4E,又AEu平面R4E,因此M_LAE,

XFDE1

在正方形ABCD中，/1ABF=/UEAD>=tanX.ABF=tanZ.EAD==—,

ABAD2

则AE=FD=；,AF-.FD=\:\,A错误，B正确；

取A3中点G,连接EG,PG,则EG/ABC,/PEG为异面直线PE与2c所成的角或其补角,

而PAL平面ABC。，EGu平面A5CD,有PALEG,又AB_LEG,

PAcAB=A,P4,A5u平面PAG,则有EG_L平面PAG,PGu平面PAG,于是EG_LPG,

PG=y/PA1+AG2=—,EG=l,PE=yJPG2+EG2=-,因此8$/尸£6=变=2,C正确；

22PE3

pA9

由PA_L平面ABCD知，NPEA是直线PE与平面ABCD所成的角，sinZPEA=——=-,

PE3

显然/PE4H30,D错误.

故选：BC

三、填空题

6.（2023春•全国•高一专题练习）已知如图边长为。的正方形ABC。外有一点P且上4,平面ABC。，PA=a,

二面角P-BD-A的大小的正切值______.

【答案】V2

【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为/PQ4,根据长度关系可求得结

果.

【详解】设ACBD=O,连接PO,

B4_L平面ABCD,834。＜=平面筋。£),二^4,40,PA±BD,

四边形ABCD为正方形，，加，AO,

PAAO=A,PAAOu平面PAO,r.BDJL平面PAO,

又POu平面PAO,.•.8D_LPO,「.NPOA是二面角尸一班＞-A的平面角,

PAfjI—

A/2,口tanAPOA=---=—i=—=V2

由AO=—a,PA=a得：AOy[2

2~^a

故答案为：拒.

7.（2023・高一课时练习）设二面角a-/-£的大小为45。，A为棱上一点，A5在々内与/成45。角，则A3与

平面夕所成角的大小为

7T

【答案】30。##—

6

【分析】过3作BC，/,交/于C,在平面口内作C。，/,过点3作瓦），CD,交CD于D,由已知条件推

导出一54£＞是直线A3与平面夕所成的角，由此能求出线段A3与平面夕所成角的大小.

【详解】如图，过点B作网＞，,于£）,在平面£内作CD，/交/于C,连接BC,

由于/_L5。，CDLI,Br>ca>=，BE>,CE>u平面BCD,所以/人平面BCD,BCu平面BCD,故2C_L/

.•.NBC。是二面角。-/-/的平面角，即/BC£>=45,

由/朋C=45。，设AC=3C=a,

由于//平面BCD,.:AC1平面BCD,

QBDu平面BCD,:.AC±BD,

BCVCD,AC।CD=C,..3。，平面夕，

NBAD是直线AB与平面B所成的角，

/BCD=45°,BC=a,:.BD=—a,

2

e

」.sin㈤n=叨=M」由于为锐角，

AB42a2

ZBAD=30°,

故答案为：30°

JT

8.(2023春•全国•高一专题练习)如图，在正四棱锥P-ASCD中，ZPAB=-.

(1)求侧棱PA与底面ABCD所成角的大小；

(2)求二面角尸-AB-C的大小的余弦值.

【答案】⑴:7T

4

(2)T

【分析】(1)根据线面角的定义可证得/PAO为所求角，设等边4皿的边长为由长度关系可求得

cosZPAO,从而得到结果；

(2)由二面角平面角定义可知NPE。为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果.

【详解】(1)设底面正方形ABCD的中心为。，连接4。尸。，

由正四棱锥P-ABCD结构特征知：平面A3CD,

即点P在平面ABCD上的投影为。，；./R4O为侧棱PA与底面ABCD所成角，

在4PLB中，PA=PB,NPA8=m，为等边三角形，设其边长为

尸0_L平面ABCO,AO^nABCD,:.PO±AO,

在RtAPAO中，PA=a,AO=-AC=—a,cosZPAO=—=—,

22PA2

TTJT

：.ZPAO=^,即侧棱如与底面ABC。所成角的大小为;.

44

(2)取A3的中点为连接PE,OE,

在正方形ABC。中，OE±AB；在等边④上钻中，PE1AB.

.•.NPEO为二面角尸-AB-C的平面角，

尸0_L平面ABCD,EOu平面ABCD,:.PO工EO；

在Rt^PEO中，PE=^a,OE=-BC=-a,COsZPEO=—=^,

222PE3

•・・二面角尸-AB-C的大小的余弦值为