贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三上学期开学考试 数学

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.函数的最小正周期为（）A B. C.2 D.14.已知，，，则（）A. B. C. D.5.如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（）A. B. C. D.6.已知，且，则（）A. B. C. D.7.已知点关于直线对称的点在圆：上，则（）A.4 B. C. D.8.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若随机变量，且，则（）A. B.C. D.10.已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（）A B. C. D.11.如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（）A.，，，四点共面B.在方向上的投影向量为C.D.直线与所成角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则______.13.的展开式中的系数为______.14.对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的取值范围；（2）若，且，求值.16.已知奇函数在处取得极大值16.（1）求解析式；（2）求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.17.如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直概率为.（1）证明：平面；（2）若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.（1）求的方程；（2）若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.19.已知数列an的前项和为，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，则称an为“型”数列.（1）若，且an为“型”数列，求的最小值；（2）若an为“3型”数列，且，设的所有可能值个数为，证明：.关注公众号《品数学》，获取更多精品资料！高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共轭复数的定义计算即可.【详解】因为，所以.故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数的定义域与单调性可求得集合A，再结合交集的概念即可得答案.【详解】因为，所以.故选：C.3.函数的最小正周期为（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】由正弦函数与正切的函数的周期即可直接判断.【详解】因为函数与的最小正周期分别为，，所以的最小正周期为.故选：A.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质判定大小即可.【详解】由指数函数的性质易得，所以，，故.故选：D5.如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圆台的表面积公式求解即可.【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台，则该圆台的表面积.故选：C.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可.【详解】因为，，所以，则，则.故选：A7.已知点关于直线对称的点在圆：上，则（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可.【详解】设，则，解得，.因为在上，所以，解得.故选：B8.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.【详解】令，则.若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意.若，则当时，，单调递减，则，不符合题意.若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意.故的取值范围为.故选：D【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若随机变量，且，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用二项分布的性质及期望、方差公式计算一一判定选项即可.【详解】因为，所以，整理得，解得，则，，.故选：AC10.已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】分别根据椭圆方程，结合分类讨论思想得出，，再由得出的等量关系式，求解即可得出答案.【详解】若，则，，则，解得.若，则，，则，解得或（舍去）.若，则，，，方程无解.故选：AB.11.如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（）A.，，，四点共面B.在方向上的投影向量为C.D.直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D.【详解】对于A，在上取点，使得，连接，因为，所以四边形为平行四边形，可得，因为，所以四边形为平行四边形，可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确；对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为，所以，则，则，，故B正确；对于C，，，则，故C不正确；对于D，故，故直线与所成角的余弦值为，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则______.【答案】3【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：313.的展开式中的系数为______.【答案】8【解析】【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式可得答案.【详解】由二项式定理可得，该展开式中系数为，的系数为，故的展开式中的系数为：.故答案：8.14.对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法先判定的周期性，化，再利用赋值法计算即可.【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）.令，得，则，则，则，则.又因为，所以，则，从而.故答案为：2【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定的周期性，再利用赋值法计算函数值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的取值范围；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可求出可得答案；（2）由两角和的正弦展开式化简，再由及的范围求出可得答案.【小问1详解】由余弦定理可知.因为，所以，则的取值范围为；【小问2详解】.由，得，由（1）可知，所以，则，解得，则.16.已知奇函数在处取得极大值16.（1）求的解析式；（2）求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由是奇函数求得，再结合在处取得极大值16构成方程组即可求得a和c，则解析式可求；（2）先设切点坐标为，再结合导数的几何意义即可求出切线方程.【小问1详解】因为是奇函数，所以f−x=−f即，则，从而，.因为在处取得极大值16，所以解得经检验知此时在处取得极大值，故.【小问2详解】由（1）可设切点坐标为，则，切线方程为.因为切线经过坐标原点，所以，解得，故经过坐标原点并与曲线y=fx相切的切线方程为.17.如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为.（1）证明：平面；（2）若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由直线，，，中任选两条，它们互相垂直的概率为可得，，，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）由四面体的体积为可得，过点作，垂足为，证明为直线与平面所成的角即可求得答案.【小问1详解】证明：从直线，，，中任选两条，不同的选法共有种，因为它们互相垂直的概率为，所以互相垂直的直线有3对.又，所以与，均不垂直.若，则恰与，，的其中两条垂直，不妨设，，则平面，则，不符合题意.若与不垂直，则，，，，平面，则平面，符合题意，故平面.【小问2详解】解：设，则，解得，则或.若，则为正三角形，则，不符合题意.若，则，符合题意.如图，过点作，垂足为.因为平面，平面，所以，，平面，所以平面.连接，则为直线与平面所成的角.，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.（1）求的方程；（2）若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，求解焦点的坐标和准线方程，进而得到双曲线的焦点坐标，又由双曲线被抛物线准线截得的弦长为，可得双曲线的方程；（2）设：，代入双曲线方程，利用根与系数的关系及韦达定理的应用，化简即可得关于k的表达式，结合二次函数的性质即可求得的取值范围．【小问1详解】由题可知，的坐标为0,2，则.易知的方程为，不妨设与相交于点，，则，整理得，则，可得故的方程为.【小问2详解】由题可知，直线的斜率一定存在，设：，Ax1,y1，Bx2联立方程组整理得，则，,.由，在轴的上方，所以，，可得.，则.由，得，则，故的取值范围为.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值和范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题（2）就是用的这种思路，利用函数的性质求的范围.19.已知数列an的前项和为，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，则称an为“型”数列.（1）若，且an为“型”数列，求的最小值；（2）若an为“3型”数列，且，设的所有可能值个数为，证明：.【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可先得出，取得出，再利用指数函数的性质适当放缩可证明满足条件，从而得出结果；（2）先根据条件得出，再设an的前项中有项为1，其余项为0，利用适当放缩得出对任意，均有an“3型”数列，最后利用等比数列求和公式即可