2024届河北省高三下学期考前提分演练（十）历史试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3福建省莆田市2024届高三第四次教学质量检测（三模）数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，则.故选：B.2.已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为点在抛物线上，且，可得，解得，即抛物线，所以抛物线C的准线方程是.故选：D.3.已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗已知样本数据的平均数为，方差为，记数据的平均数为，方差为，则，，由题意可得，.故选：C4.设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由是等差数列，得，满足充分性；反之，，只需，得不到是等差数列，不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.故选：A5.若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即，该圆锥的侧面积.法一、因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.法二、令，易知时单调递减，时单调递增，即，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.故选：B.6.已知圆，，P是圆C上动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线〖答案〗C〖解析〗由题意可得圆心，半径.因为M是线段的垂直平分线，所以，则.因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线.故选：C.7.已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍.设P（，），则.设，由得.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，则的最小值是.故选:D8.已知定义在上的函数满足，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设在数列中，，则，，从而，故是首项和公比都是2的等比数列.由等比数列的通项公式可得，则，故.故选：A.二、选择题9.若z是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由，得，则A错误.对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.对于C，设（，且），则，所以，则C正确.对于D，由，得.设（，且），则，，从而，则D正确.故选：BCD10.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）A.若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为B.若AP=，则点P的轨迹长度为C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是D.若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是〖答案〗ACD〖解析〗分别取棱，的中点M，N，连接，易证，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又平面，则平面平面，因为平面，且P是正方形内的动点，所以点Р的轨迹是线段.因为，所以，因为，所以，故A正确.因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，则点Р的轨迹长度为，则B错误.以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系.由题中数据可知则，，.设平面CEF的法向量为，则，得.设直线AР与平面CEF所成的角为，则.因为，所以，所以，所以，则，故C正确.Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确.故选：ACD11.已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（）A. B. C.2 D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可得则，即.因为在上单调，所以，所以，即，所以，即，解得.因为，所以或或.当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；当时，，，此时在上不单调，故不符合题意.故选：AB.三、填空题12.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值是_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.故〖答案〗为：13.甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种.〖答案〗〖解析〗甲或乙参加A活动的情况有种，甲和乙都不参加A活动的情况有种，则他们参加活动的不同方案有种.故〖答案〗为：.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗设，则，整理得（或）.设，则，故.令，则=.故〖答案〗为：；.四、解答题15.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：.（2）若，，求的面积.（1）证明：根据正弦定理知，整理得，因为，所以，由正弦定理可得；（2）解：因，所以，由余弦定理可得，即，则，因为，所以，所以，则，即，解得或，当时，，此时的面积，当时，，此时的面积.所以的面积为或.16.跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示.性别跑步合计喜欢不喜欢男402060女152540合计5545100（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关?（2）该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据；0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828（1）解：零假设为：该校大学生是否喜欢跑步与性别无关，根据列联表中的数据，计算得到，根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.（2）解：由题意可知抽取的男大学生有人，女大学生有人，则随机变量的所有可能取值为，可得，，，，所以的分布列为X0123P所以期望为.17.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.（1）证明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：记，连接OP，由四边形是正方形，得О是AC的中点，由，得，又，平面，，则平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，，由，得，即两两垂直，以О为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，由平面，得是平面的一个法向量，显然是平面的一个法向量，设二面角为θ，由图知θ为锐角，则，解得，所以二面角的大小为.（3）解：假设在侧棱PC上存在一点N，使得平面，且（），由（2）知，，，则，，平面的一个法向量是，由平面，得，即，则，解得，即，则，所以在侧棱PC上存在一点N，使得平面，此时.18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为是C上一点，.点分别为C的上、下顶点，直线：与C相交于两点，直线交于点P.（1）求C的标准方程；（2）证明点Р在定直线上，并求直线，围成的三角形面积的最小值.解：（1）设椭圆的焦距为，则.①当时，则，满足题意；②当时，则，分别设直线的斜率为，则，，所以，即，整理得，解得或.又，且，所以没有c满足方程.综上，因为点在椭圆C上，所以，又，解之得，，所以C的方程为；（2）设，联立方程组，整理得，则，，显然，由椭圆〖解析〗式知其上下顶点坐标为：，可得直线的方程为，直线的方程为，则，解得，故点Р在定直线：上，设直线与直线的交点分别为E，F，易得E，F，当且仅当时，等号成立.19.已知函数，其中.（1）当时，，求的取值范围.（2）若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.（3）证明：（）.（1）解：（解法一）由题意可知的定义域为，，设，其中.①当，即时，，所以，单调递增，所以当时，，故满足题意；②当，且，即时，，所以，单调递增，所以当时，，故满足题意；③当，且，即时，设的两根为，，解得，，则当时，，所以，单调递减，则，故不满足题意.综上，的取值范围是.（解法二）由题意可知的定义域为，，因为，，所以，解得，以下证明满足题意.由可知，，所以当时，，设，，所以为递增函数，所以，所以，综上，a的取值范围是.（2）证明：由（1）可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以，，取，，（其中，所以，即），取，.（其中，所以，即），所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，所以，，又，所以也是函数的零点，显然且，所以，即，所以，所以，，成等比数列.（3）证明：由（1）可知当时，为单调递增函数，所以当时，，即，整理得，即，所以（），则（），故（）.福建省莆田市2024届高三第四次教学质量检测（三模）数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，则.故选：B.2.已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为点在抛物线上，且，可得，解得，即抛物线，所以抛物线C的准线方程是.故选：D.3.已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗已知样本数据的平均数为，方差为，记数据的平均数为，方差为，则，，由题意可得，.故选：C4.设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由是等差数列，得，满足充分性；反之，，只需，得不到是等差数列，不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.故选：A5.若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即，该圆锥的侧面积.法一、因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.法二、令，易知时单调递减，时单调递增，即，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.故选：B.6.已知圆，，P是圆C上动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线〖答案〗C〖解析〗由题意可得圆心，半径.因为M是线段的垂直平分线，所以，则.因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线.故选：C.7.已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍.设P（，），则.设，由得.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，则的最小值是.故选:D8.已知定义在上的函数满足，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设在数列中，，则，，从而，故是首项和公比都是2的等比数列.由等比数列的通项公式可得，则，故.故选：A.二、选择题9.若z是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由，得，则A错误.对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.对于C，设（，且），则，所以，则C正确.对于D，由，得.设（，且），则，，从而，则D正确.故选：BCD10.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）A.若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为B.若AP=，则点P的轨迹长度为C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是D.若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是〖答案〗ACD〖解析〗分别取棱，的中点M，N，连接，易证，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又平面，则平面平面，因为平面，且P是正方形内的动点，所以点Р的轨迹是线段.因为，所以，因为，所以，故A正确.因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，则点Р的轨迹长度为，则B错误.以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系.由题中数据可知则，，.设平面CEF的法向量为，则，得.设直线AР与平面CEF所成的角为，则.因为，所以，所以，所以，则，故C正确.Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确.故选：ACD11.已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（）A. B. C.2 D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可得则，即.因为在上单调，所以，所以，即，所以，即，解得.因为，所以或或.当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；当时，，，此时在上不单调，故不符合题意.故选：AB.三、填空题12.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值是_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.故〖答案〗为：13.甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种.〖答案〗〖解析〗甲或乙参加A活动的情况有种，甲和乙都不参加A活动的情况有种，则他们参加活动的不同方案有种.故〖答案〗为：.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗设，则，整理得（或）.设，则，故.令，则=.故〖答案〗为：；.四、解答题15.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：.（2）若，，求的面积.（1）证明：根据正弦定理知，整理得，因为，所以，由正弦定理可得；（2）解：因，所以，由余弦定理可得，即，则，因为，所以，所以，则，即，解得或，当时，，此时的面积，当时，，此时的面积.所以的面积为或.16.跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示.性别跑步合计喜欢不喜欢男402060女152540合计5545100（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关?（2）该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据；0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828（1）解：零假设为：该校大学生是否喜欢跑步与性别无关，根据列联表中的数据，计算得到，根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.（2）解：由题意可知抽取的男大学生有人，女大学生有人，则随机变量的所有可能取值为，可得，，，，所以的分布列为X0123P所以期望为.17.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.（1）证明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：记，连接OP，由四边形是正方形，得О是AC的中点，由，得，又，平面，，则平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，，由，得，即两两垂直，以О为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，由平面，得是平面的一个法向量，显然是平面的一个法向量，设二面角为θ，由图知θ为锐角，则，解得，所以二面角的大小为.（3）解：假设在侧棱PC上存在一点N，使得平面，且（），由（2）知，，，则，，平面的一