函数的单调性教案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的单调性教案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：函数的单调性

2.教学年级和班级：高一（上学期）数学A班

3.授课时间：第5周，第2课时

4.教学时数：45分钟

教学内容：本节课基于人教A版（2019）必修第一册，重点探讨函数单调性的定义、性质和判定方法。通过实际例子，使学生理解并掌握如何判断函数的单调递增和单调递减，以及这一概念在实际问题中的应用。核心素养目标1.理解并掌握函数单调性的概念，能运用定义分析具体函数的单调性。

2.培养逻辑推理能力，通过对函数图像和实例的分析，抽象出单调性的规律。

3.提升数学建模素养，将单调性知识应用于解决实际问题，体会数学在现实世界中的应用价值。学习者分析1.学生已掌握了函数的基本概念、图像及其基本性质，能够理解并运用函数的表示方法，如解析式、表格和图像。

2.学生对数学学习有一定的兴趣，具备初步的逻辑推理能力和抽象思维能力，但个体差异较大。部分学生喜欢通过具体实例和图像来理解抽象概念，而部分学生则更偏好通过公式和逻辑推理来学习。

3.学生在理解函数单调性时可能遇到的困难和挑战包括：对单调性定义的理解不够深入，难以将定义应用于具体问题；在判断复杂函数单调性时，可能因缺乏有效的分析方法和技巧而感到困惑。此外，对于将单调性与实际问题结合的建模过程，学生可能需要更多的引导和实践。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，通过讲解函数单调性的定义和性质，引导学生通过小组讨论，探索并理解单调性在实际函数中的应用。

2.设计案例研究活动，让学生分析具体函数图像，观察单调性的变化，通过实际操作加深对概念的理解。

3.利用数学软件或图形计算器等教学媒体，展示函数图像，进行动态演示，帮助学生直观感受单调性的变化过程。

4.通过项目导向学习，布置相关习题和实际应用问题，鼓励学生自主探索，培养解决问题的能力和团队合作精神。教学过程首先，我会引导同学们回顾一下我们已经学习过的函数的基本概念和性质。然后，我们将开启今天的学习之旅，探索函数的单调性。

1.导入新课（5分钟）

大家好，在我们之前的课程中，我们学习了函数的基本概念，了解了如何通过解析式、表格和图像来表示函数。今天，我们要学习一个新的概念——函数的单调性。这个概念对于我们理解函数的动态变化非常重要。

2.基本概念讲解（10分钟）

首先，我会给大家讲解函数单调性的定义。函数在某个区间上的单调性是指当自变量在该区间内增加或减少时，函数值相应地只增加或只减少。具体来说，如果当自变量增大时，函数值也增大，我们称这个函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果当自变量增大时，函数值减小，我们称这个函数在这个区间上是单调递减的。

3.案例分析（15分钟）

现在，我会给大家展示几个函数的图像，让我们一起分析它们的单调性。

案例1：y=x（x∈R）

这是一个一次函数，我们可以看到，在实数集R上，这个函数是单调递增的。

案例2：y=-x²（x∈R）

这是一个二次函数，我们可以观察到，在实数集R上，这个函数是单调递减的。

4.小组讨论（10分钟）

现在，请同学们分成小组，讨论以下问题：

（1）如何判断一个函数在某个区间上的单调性？

（2）你能举出一些生活中具有单调递增或单调递减特点的例子吗？

讨论结束后，我会邀请几个小组代表来分享他们的讨论成果。

5.动手实践（15分钟）

（1）y=x²，在区间（-∞，0）和（0，+∞）上的单调性；

（2）y=sinx，在区间（0，π）上的单调性；

（3）y=log₂x，在区间（1，+∞）上的单调性。

请大家在纸上记录下你们的观察结果，并尝试解释原因。

6.总结与拓展（10分钟）

最后，我会带领大家总结今天学习的内容。我们学习了如何判断函数的单调性，并通过实际例子和动手实践，加深了对这个概念的理解。

为了进一步巩固所学知识，我给大家布置一道拓展题目：研究函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）在区间（-∞，-b/2a）和（-b/2a，+∞）上的单调性，并尝试用图形计算器或数学软件进行验证。

7.课后作业（课后自主完成）

请大家完成以下作业：

（1）课后习题1、2、3；

（2）预习下一节课的内容：函数的极值和最值。拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）教材中关于函数单调性的部分例题和习题的详细解答。

（2）数学杂志或相关书籍中关于函数单调性在实际问题中的应用案例分析。

2.课后自主学习和探究

（1）研究不同类型的函数（如三次函数、指数函数、对数函数等）的单调性，并尝试总结判断方法。

（3）收集生活中的实际例子，观察并分析它们是否具有函数的单调性，如气温变化、物体下落速度等。

（4）尝试编写一个简单的程序或使用数学软件，模拟函数的单调性变化过程。

（1）对于不同类型的函数单调性的研究，同学们可以通过以下步骤进行：

a.选择一种函数类型，如三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d。

b.分析该函数的一阶导数（即函数的斜率）随自变量变化的规律。

c.根据一阶导数的符号，判断函数在各个区间的单调性。

d.通过绘制函数图像，验证你的判断结果。

（2）在收集生活中的实际例子时，同学们可以注意以下几点：

a.选择那些随时间或某一变量的变化而呈现出明显趋势的例子。

b.分析这些例子的变化规律，判断它们是否具有单调递增或单调递减的特点。

c.尝试将这些实际例子抽象成函数模型，进一步研究其单调性。

（3）编写程序或使用数学软件模拟函数单调性变化过程，可以参考以下步骤：

a.选择一个具体的函数，如y=2x或y=-x^2。

b.设定自变量的变化范围和步长。

c.使用循环结构，计算并输出函数在每个自变量取值下的函数值。

d.将这些点在坐标轴上绘制出来，观察函数图像的单调性变化。课堂1.课堂评价

（1）在课堂教学中，我会通过提问、观察和即时测试等方式，了解学生对函数单调性概念的理解和掌握程度。

-提问：针对课堂讲解的内容，我会随机抽取学生回答问题，如“如何判断一个函数在某个区间上的单调性？”或“请举例说明单调递增和单调递减的函数。”

-观察：在小组讨论和动手实践环节，我会观察学生的参与程度、交流方式和解决问题的策略。

-即时测试：通过简单的书面测试或口头提问，检测学生对函数单调性知识的掌握情况。

（2）针对学生的回答和表现，我会及时给予反馈，对学生的正确理解给予肯定，对学生的错误或疑惑给予解答和指导。

2.作业评价

（1）课后作业是检验学生学习效果的重要手段。我会认真批改学生的作业，关注学生的解题思路、计算准确性和书写规范。

（2）对作业中出现的共性问题，我会在下一节课开始时进行集中讲解，确保学生能够理解并掌握正确的解题方法。

（3）对学生的个人作业，我会给出具体的评价和建议，鼓励学生继续保持优点，针对不足之处提出改进措施。

（4）为了激发学生的学习积极性，我会对作业完成出色的学生进行表扬，并在适当时候给予一定的奖励。典型例题讲解例题1：

已知函数f(x)=3x+2，求证f(x)在R上是单调递增的。

解答：

设x1，x2是实数且x1<x2，则有

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)。

因为x1<x2，所以x1-x2<0，从而3(x1-x2)<0，即f(x1)-f(x2)<0。

所以f(x1)<f(x2)，即f(x)在R上是单调递增的。

例题2：

已知函数g(x)=-2x²+4x+1，求证g(x)在区间（-∞，1）上是单调递减的。

解答：

设x1，x2是实数且x1<x2<1，则有

g(x1)-g(x2)=(-2x1²+4x1+1)-(-2x2²+4x2+1)=-2(x1²-x2²)+4(x1-x2)。

因为x1<x2，所以x1+x2<2，从而(x1-x2)(x1+x2)<0，即x1²-x2²<0。

所以g(x1)-g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，即g(x)在区间（-∞，1）上是单调递减的。

例题3：

已知函数h(x)=x²，求证h(x)在区间（0，+∞）上是单调递增的。

解答：

设x1，x2是实数且0<x1<x2，则有

h(x1)-h(x2)=x1²-x2²=(x1-x2)(x1+x2)。

因为0<x1<x2，所以x1-x2<0，x1+x2>0，从而(x1-x2)(x1+x2)<0。

所以h(x1)-h(x2)<0，即h(x1)<h(x2)，即h(x)在区间（0，+∞）上是单调递增的。

例题4：

已知函数k(x)=log₂x，求证k(x)在区间（1，+∞）上是单调递增的。

解答：

设x1，x2是实数且1<x1<x2，则有

k(x1)-k(x2)=log₂x1-log₂x2=log₂(x1/x2)。

因为1<x1<x2，所以0<x1/x2<1，从而log₂(x1/x2)<0。

所以k(x1)-k(x2)<0，即k(x1)<k(x2)，即k(x)在区间（1，+∞）上是单调递增的。

例题5：

已知函数m(x)=|x|，求证m(x)在区间（-∞，0）和（0，+∞）上分别是单调递减和单调递增的。

解答：

对于区间（-∞，0），设x1，x2是实数且x1<x2<0，则有

m(x1)-m(x2)=|x1|-|x2|=-x1+x2=x2-x1。

因为x1<x2，所以x2-x1>0，即m(x1)-m(x2)>0，即m(x1)>m(x2)，即m(x)在区间（-∞，0）上是单调递减的。

对于区间（0，+∞），设x1，x2是实数且0<x1<x2，则有

m(x1)-m(x2)=x1-x2。

因为x1<x2，所以x1-x2<0，即m(x1)-m(x2)<0，即m(x1)<m(x2)，即m(x)在区间（0，+∞）上是单调递增的。板书设计1.函数单调性定义

-单调递增：当自变量增大时，函数值也增大

-单调递减：当自变量增大时，函数值减小

2.判断方法

-求导数（一阶导数）

-分析导数符号

-结论：导数>0，单调递增；导数<0，单调递减

3.典型函数单调性分析

-一次函数：y=ax+b（a>0，单调递增；a<0，单调递减）

-二次函数：y=ax²+bx+c（开口向上，顶点左侧单调递减，右侧单调递增）

-三次函数：y=ax³+bx²+cx+d（根据导数分析）

-指数函数：y=a^x（a>1，单调递增；0<a<1，单调递减）

-对数函数：y=logₐx（a>1，单调递增；0<a<1，单调递减）

4.生活中的单调性例子

-气温随时间的变化

-物体自由下落