第 11 讲：几何图形变换 中考数学解答题专项复习讲义

第11讲：几何图形变换2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版）第一部分：中考真题1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE=90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．（1）若AC=BC，BD=DE．①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为______．②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若BC=2AC，BD=2DE，CDAC=45，且E，C，F三点共线，求AF【答案】（1）①DF=2CD​​​​​​​②结论仍然成立．理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF=DE，DE∥AF，∵BD=DE，∴AF=BD，∵∠BDE=90°，∴∠DEH=∠DHA=90°=∠BCG，∵∠CGB=∠AGH，∴∠CBD=∠CAF，∵BC=AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD=∠ACF，CD=CF，∴∠BCA=∠DCF=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF=2CD．（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF=DE，DE∥AF，∵∠BDE=90°，∴∠EDH=∠DHA=90°=∠BCG，∵∠CGB=∠AGH，∴∠CBD=∠CAF，∵BDDE=BCAC∴BDAF=BC∴△CBD∽△CAF，∴CDCF=BCAC=2，∠BCD=∠∴∠BCA=∠DCF=90°，∵AD∥EF，∴∠ADC+∠DCF=180°，∴∠ADC=90°，∵CD：AC=4：5，设CD=4k，AC=5k，则AD=EF=3k，∴CF=12CD=2k∴EC=EF-CF=k，∴DE=AF=CD2+EC2=∴AFCE=17kk【解析】解：（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．∵四边形AFED是平行四边形，∴AF=DE，DE∥AF，∵BD=DE，∴AF=BD，∵∠BDE=90°，∴∠EDF=∠DFA=90°=∠BCG，∵∠CGB=∠AGF，∴∠CBD=∠CAF，∵BC=AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD=∠ACF，CD=CF，∴∠BCA=∠DCF=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF=2CD．故答案为DF=2CD．②见答案（2）见答案．（1）①证明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题．②结论仍然成立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证明方法类似（1）．（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．证明△CBD∽△CAF，推出CDCF=BCAC=2，∠BCD=∠ACF，推出∠BCA=∠DCF=90°，证明∠ADC=90°，由CD：AC=4：5，设CD=4k，AC=5k，则AD=EF=3k，求出AF，CE（用本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2、在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是______，位置关系是______；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB=3，BC=2，求GM的最小值．【解析】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案为：相等；垂直；②成立，理由是：当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，∴M也是EF中点，∴M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，∵AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴ABBC=BE∴CF=2x3，∴EF=CE2设y=139当x=1813时，y取最小值16∴EF的最小值为413故GM的最小值为213（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；②根据（1）中同样的证明方法求证即可；（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=139x2本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为______．②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα=43，AB=5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．【答案】解：（1）①AE=CF+CE．②如图2中，结论：EC=2（AE-CF）．理由：过点C作CQ⊥AE于Q．∵CF∥AM，∴∠CFA+∠MAN=180°，∵∠MAN=90°，∴∠CFA=∠FAQ=90°，∵∠CQA=90°，∴四边形AFCQ是矩形，∴CF=AQ，∵∠ADC=∠BDE，∠DEB=∠ACD，∴△ACD∽△BED，∴ADBD=CD∴ADDC=BD∵∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD=∠CED=45°，∵∠CQE=90°，∴CE=2EQ，∴AE-CF=AE-AQ=EQ，∴EC=2（AE-CF）．（2）如图3-1中，当∠CDE=90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．在Rt△ABJ中，tan∠BAJ=BJAJ=43，AB∴AJ=3，BJ=4，∵AC=AB=5，∴CJ=AC-AJ=5-3=2，∴BC=BJ2+CJ2∵12•AC•BJ=12•BC•∴AD=5×425=2∴CD=AC2−AD2∵FK⊥AD，∴∠CDE=∠FKD=90°，∴CD∥FK，∵CF∥DK，∴四边形CDKF是平行四边形，∵∠FKD=90°，∴四边形CDKF是矩形，∴FK=CD=5，∵tan∠FAK=tan∠CAB=43∴FKAK=4∴AK=345，∴AF=AK2+F如图3-2中，当∠ECD=90°时，∠DAB=90°，∵CF∥AM，∴∠AKF=∠DAB=90°，在Rt△ACK中，tan∠CAK=CKAK=43，AC∴CK=4，AK=3，∵∠MAN=∠CAB，∴∠CAN=∠DAB=90°，∴∠CAB+∠BAF=90°，∠BAF+∠AFK=90°，∴∠AFK=∠CAB，∴tan∠AFK=AKFK=4∴FK=94∴AF=AK2+KF2综上所述，满足条件的AF的值为554或【解析】解：（1）①结论：AE=CF+CE．理由：如图1中，作CT∥AF交AM于T．∵AB=AC，∠BAC=6°，∴△ABC是等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∵AF∥CT，CF∥AT，∴四边形AFCT是平行四边形，∴CF=AT，∵∠ADC=∠BDE，∠DEB=∠ACD，∴△ACD∽△BED，∴ADBD=CD∴ADDC=BD∵∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD=∠CED=60°，∵CT∥AF，∴∠CTE=∠FAE=60°，∴△CTE是等边三角形，∴EC=ET，∴AE=AT+ET=CF+CE．故答案为：AE=CF+CE．（1）①结论：AE=CF+CE．如图1中，作CT∥AF交AM于T．想办法证明AT=CF，ET=CE，可得结论．②结论：EC=2（AE-CF）．过点C作CQ⊥AE于Q．想办法证明CF=AQ，CE=2EQ，可得结论．（2）分两种情形：如图3-1中，当∠CDE=90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明FK=CD，可得结论．如图3-2中，当∠ECD=90°时，∠DAB=90°，解直角三角形求出AK，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．第二部分：考点解读一、三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。(2)三角形的分类①按边之间的关系分：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。②按角分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。(3)三角形的三边之间的关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。(4)三角形的高、中线、角平分线角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。(5)三角形的角①三角形的内角和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。②三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和等于360°。（6）三角形的面积三角形的面积=×底×高二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。(3)直角三角形①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。三、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。3、三角形全等的判定(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。相似三角形1．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；学_科网（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．五、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。第三部分：自主练习1、阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF＝BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．2、如图1，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，若点E为BC的中点，连PC．（1）求证：F点为DC的中点；（2）若PE＝6，PC＝42，求PF的长；（3）如图2，若正方形边长为2，直接写出F点到AE的距离是．3、某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．4、在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+DP＝DE；（3）点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长．5、【思维探究】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．【思维延伸】（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．【思维拓展】（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．6、如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN⊥CD且DM＝MN，连接DN，BM，CN，点P，Q分别为BM，CN的中点，连接PQ．（1）证明：CM＝2PQ；（2）将图1中的△DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若AB＝10，DM＝2，在△DMN绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段PQ的长．7、【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最