2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第02讲 二次根式的乘除（原卷版）

第02讲二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则•=(a≥0，b≥0)即：二次根式相乘，根号不变，被开方数相乘.语言描述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘.2.二次根式的积的算术平方根：把二次根式乘法法则（a≥0，b≥0）反过来可得（a≥0，b≥0）语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.3.二次根式的除法法则是(a≥0，b＞0)二次根式相除，根号不变，被开方数相除.语言描述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.4.二次根式的商的算术平方根的性质:语言描述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的化简和分母有理化.1积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）3商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．考点剖析考点1二次根式的乘法例1．计算(1)(2)【变式1】计算：(1)．(2)．(3)．（4）考点2二次根式的除法例2．计算：（1）（2）（3）（4）【变式2】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．考点3化简二次根式例3计算：（1）；

（2）；

（3）．【变式3】化简：（1）；（2）；（3）；（4）．考点4二次根式的乘除混合运算【例4】计算：(1)(2)(3)(4)【变式4】计算：(1)(2)(3)(4)．考点5二次根式的乘除法公式成立的条件【例5】=成立的条件是()A．x≥0 B．x<1 C．0≤x<1 D．x≥0且x≠1【变式5】式子成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．考点6二次根式的乘除法的变换规律性问题【例6】探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：（1）；（2）.(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通过上述探究你能猜测出：=___________（n>0），并验证你的结论．【变式6】观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)第6个等式：______；(2)计算：；(3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）；(4)若符合上述规律，请直接写出代数式的值．过关检测一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列各式的计算正确的是（

）A． B．C． D．3．一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（

）A． B． C． D．4．已知，则有（

）A． B． C． D．5．已知，，则用表示为（

）A． B． C． D．6．观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2021个数是（）A． B． C． D．二、填空题7．计算：．8．若，，则．9．写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是．10．能使等式成立的x的取值范围是．三、计算题11．化简：（1）；（2）；（3）；（4）．12．计算：(1)(2)13．化简：(1)(2)

（）14．已知和是相等的最简二次根式．求，的值；求的值．15．观察以下等式：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．