圆-2021年中考数学真题分类集训营

专题15圆

考点一圆的概念与有关性质

1.（2020•黔东南州）如图，。。的直径徵=20,46是。。的弦，ABVCD,垂足为机OM-.①=3：5,则

48的长为（）

A.8B.12C.16D.2V91

（答案｝C

｛解析｝如图，连接0A,

,.•。0的直径CD=20,0M：0D=3：5,.*.00=10,0M=6.

VAB±CD,.*.AM=VOA2-OM2=V102-62=8,AAB=2AM=16.

2..（2020•绍兴）如图.点A,B,C,D,£均在。。上.N物仁15°,NCE庐30°,则的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

｛答案｝D

｛解析｝本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系.在同圆中，圆周角的度数等于它

所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为/BAC=15°,ZCED=30",所以弧BC

是30°,弧CD是60°,则弧BD是90°,故它所对的圆心角/BOD的度数是90°.因此本题选D.

3.（2020•安徽）已知点A,B,C在。0上，则下列命题为真命题的是（）

A.若半径研分弦4G则四边形十宏是平行四边形

B.若四边形以式是平行四边形，则//8C=120°

C.若N48C=T20°,则弦加评分半径必

D.若弦/评分半径附则半径加平分弦4C

｛答案｝B

｛解析｝逐项分析如下：

选逐项分析图示真假

项命题

A

如图，若0B平分AC,则0B是AC的垂直平分线，无法推理四

A假

边形OABC是平行四边形.

1

如图，若四边形OABC是平行四边形，则AB=OC=OA=OB,

B...△OAB和△（«（：是等边三角形，，ZABC=ZABO+ZOBC=真

120°.

C如图，若NABC=120°,无法推理出AC平分0B.a假

D如图，若AC平分0B,无法推理出0B平分AC.0假

4.（2020•陕西）如图，△力比■内接于。。，ZA=50°,£是边回的中点，连接施并延长，交。。于点〃,

连接做则的大小（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

｛答案｝B｛解析｝E是弦BC的中点，由垂径定理的逆定理可知0E_LBC,连接OB、0C,由/A=50°可知/BOC

=2NA=100°,由等腰三角形的“三线合一”可知/B0D=50°,在等腰4BOD中，ZD=（180°-50°）+2

=65°.

A

5.（2020湖州）如图，已知四边形力内接于。。，ZABC=70°,则N49C的度数是（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABCD内接于OO,ZABC=70°,.,.ZADC=180°-ZABC=180°-70°=110°,

故选：B.

6.（2020•常州）如图，加是。。的弦，点C是优弧4?上的动点（C不与/、8重合），CIILAB,垂足为〃,

点物是回的中点.若。。的半径是3,则.物/长的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

2

B

｛答案）4

｛解析｝｛解析｝本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为/身储=90°为火的中点，所以

而犯的最大值是直径，所以物/的最大值等于3.

2

7.（2020•凉山州）下列命题是真命题的是（）

A.顶点在圆上的角叫圆周角B.三点确定一个圆

C.圆的切线垂直于半径D.三角形的内心到三角形三边的距离相等

｛答案｝D｛解析｝因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一个网，

圆的切线垂直于过切点的半径，所以A、B、C选项皆为假命题，故选D.

8.（2020•宜宾）如图，是。。的直径，点C是圆上一点，连结/C和比；过点＜7作切，于点〃，且

0=4,89=3,则。。的周长是（

｛答案｝A

｛解析｝根据“直径所对的圆周角为直角”，得NACB=90°,由CDLAB,根据勾股定理得BC=JQP+BD?

=5,根据相似三角形的判定（两角对应相等的两个三角形相似）得RtAABC-RtACBD,再根据相似三

角形的三边对应成比例，得C—=一~，即AB=——，...（DO的周长是

CBBD33

9.（2020湖州）如图，己知48是半圆。的直径，弦CD//AB,CD=8,AB=1Q,则CD与加?之间的距离是3.

【分析】过点0作0IUCD于H,连接0C,如图，根据垂径定理得到CH=DH=4,再利用勾股定理计算出0H

=3,从而得到CD与AB之间的距离.

【解答】解：过点0作0HLCD于H,连接0C,如图，则CH=DH=#D=4,与、，

B

在Rt^OCH中，011=V52-42=3,所以CD与AB之间的距离是3.故答案为3.AO

3

10（2020•黑龙江龙东）如图，A9是△48,的外接圆。。的直径，若/8。=50°,则N4W=

｛答案｝50.

｛解析｝本题考查了圆周角的性质，解：•.》口是△ABC的外接圆。。的直径，

...点A,B,C,D在。0上，VZBCA=50°,/.ZADB=ZBCA=50°,故答案为：50.

11.（2020•盐城）如图，在eO中，点A在前上，ZBOC=100。,则N3AC=

14.130°,解析：本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补等知识，因此在

£

◎0上取一点D,连接CD,BD,则；./BDC=2/BOC=50°

•••四边形ABDC为圆内接四边形

.,.ZBAC+ZBDC=180°

VZBDC=50°

.♦.NBAC=130°此本题答案为130°.

12.（2020•青海）已知。。的直径为10cm,AB,徵是。。的两条弦，AB//CD,四=8cm,g6cm,则46与

切之间的距离为cm.

｛答案）7或1

4

｛解析｝过圆心。作〃匕相丁也交切于点M连结照OD.'：AB//CD,：.MNLCD.由垂径定理可知，跖=4,

闻?=3.-MB?=3,02dOD。-ND?=4.(1)当圆心。在48,切之间时，如图#(D,MN=

0M+0N=7；⑵当圆心。在AB,CD同侧时，如图#(2),材华=ON-O：lf=1.

图#(1)图#(2)

_L/I8于点G.•.4C=；AB=5,/.OC=sJOAr-AC2=V132-52=12.

13.(2019•上海)已知：如图，AB,4C是。。的两条弦，且。是4。延长线上一点，联结劭并延

长交。。于点反联结切并延长交。。于点发

(1)求证：BD=CD；

(2)如果44=4。/。，求证：四边形45次?是菱形.

｛解析)(1)连接BC,根据AB=AC,0B=0A=0C,即可得出AD垂直平分BC,根据线段垂直平分线性质求出

即可;

(2)根据相似三角形的判定和性质求出/AB0=/ADB=NBA0,求出BD=AB,再根据菱形的判定推出即可.

｛答案｝证明：(1)如图1，连接BC,OB,OC,

：AB、AC是。0的两条弦，且AB=AC,；.A在BC的垂直平分线上，

：0B=0A=0C,二0在BC的垂直平分线上，...AO垂直平分BC,，BD=CD

(2)如图2,连接0B,

ABAD

VAB2=A0»AD,/.AOAB,

又；NBA0=NDAB,/.AABO^AADB,/.Z0BA=ZADB,1

：OA=OB,.•./OBA=NOAB,；.N0AB=NBDA,AAB=BI),

图2

VAB=AC,BD=CD,，AB=AC=BD=CD,，四边形ABDC是菱形

5

考点二与切线有关的证明和计算

14.（2020•哈尔滨）如图，为00的切线，点4为切点，阳交。。于点乙点〃在。。上，连接CD、

OA,若N4T=35°,则N480的度数为（）

A.25°B.20°C.30°D.35°

｛答案｝B｛解析｝本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理，:AB与。

0相切于点A,...OALBA,.,.NOAB=90°,VZA0C=2ZCDA,ZADC=35",/.ZA0C=70o,/.ZAB0=90°

-70°=20。，因此本题选B.

15.（2020•江苏徐州）46是。她弦，点，在过点燃切线上，OCA.OA,0C交A阡热P.若NBPO70。，则N

/8C的度数等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

｛答案｝B｛解析）利用切线的性质和等腰三角形的性质来进行计算，VZ0PA=ZBPC=70°,OA±OC,

二ZA=90°-70°=20°,V0A=0B,AZAB0=ZA=20°,；CB切。0于点B,AZ0BC=90°,NABC=90°-20°=70°.故

选B.

16.（2020•湘西州）如图，PA、以为圆。的切线，切点分别为4B,P0交AB千点、C,尸。的延长线交圆。

于点D.下列结论不一定成立的是（）

A.△呢1为等腰三角形B.48与阳相互垂直平分

C.点/、片都在以切为直径的圆上D.用为△龙勿的边48上的中线

6

｛答案｝

｛解析｝本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质等知识.阳为圆。的切线，...

为=如，...△加％是等腰三角形，故/选项正确.由圆的对称性可知：ABLPD,但不一定平分，故6选项

不一定正确.连接防、0A,rPA、如为圆。的切线，.../烟—/力々90°,...点力、B、〃在以利为直

径的圆上，故C选项正确.••,△8例是等腰三角形，/刃_L/6,.•.%为△册I的边上的中线，故D选项正

确.因此本题选B.

17（2020•天水）如图所示，PA,如分别与。。相切于48两点，点。为。。上一点，连接儿?、BC,若N

々70°,则/力力的度数为（）

｛答案｝B

｛解析｝根据切线的性质和圆周角定理可求，连接如OB,则乙4仍，又由必、如分别与。。相切

于1、8两点，得到/必6»=/⑶0=90°,所以N/15=180°-ZP=180°-70°=110°,从而得到N4%

=；X110°=55°,因此本题选B.

18.（2020•枣庄）如图，4?是。。的直径，为切。。于点4,线段产。交。。于点C.连接式1，若/々36°,

则.

｛答案｝27°｛解析｝利用圆的性质与三角形的内角和求解.OPA切。0于点A,.•.NBAP=9Q°,，NA0C=90°

-ZP=90°-36°=54°..,.ZB=2ZA0C=2X54°=27°.

19.（2020•泰州）如图，直线a，。，垂足为点尸在直线力上，PH=4cm,。为直线人上一动点,

7

若以1cm为半径的□0与直线a相切，则0P的长为

/、、

一（一"1_______

P、”Hb

｛答案｝3cm或5cm

｛解析｝本题需要分两种情况讨论，点0在直线a的左侧和点0在直线a的右侧.

20.（2020•聊城）如图，在△/笈中，48=反，以的边48为直径作。0,交于点〃，过点〃作施

liSC,垂足为点发

（1）试证明"是。。的切线；

（2）若。。的半径为5,AC=6M,求此时然的长.

C

｛解析｝（1）本题属于“见切点，连半径，证垂直”类型，根据已知条件“DELBC”只需证明0D〃BC即可，

由此发现点D应为AC的中点，利用圆周角定理的推论与等腰三角形三线合一的性质可获得，从而思路得以

沟通；

（2）本题实质上是解等腰三角形，除了利用Rt△。应sRtZ\4物求解外，在Rt△质中利用面积法求高DE

的长更显简捷.

｛答案｝解：（1）证明：连接0D,BID,TAB为。。的直径，...BD，AD,

又；AB=BC,Z^ABC是等腰三角形,；.BD又是AC边上的中线，；.0D是AABC的中位线，

.,.0D/7BC,又DE_LBC,ADEIOD,.♦.DE是00的切线.

（2）由（1）知，BD是AC边上的中线，AC=671O,得AD=CD=3M.

8

•.•。0的半径为5,；*13=10.在RtZ\ABI）中，BD=_旬2=JlfP—Q所＞=丽.

,.•AB=BC,，/A=/C.在Rt^CDE和Rt^ABD中，；NDEC=/ADB=90°,/C=NA,

.CDDE3V10DE

ARtACDE^RtAABD,..——=——，l即lrl-----=-=解得DE=3.

ABBD10V10

21.(2020•铜仁)如图，46是。曲直径，C为。。上一点，连接力C,CEUfff■点E,〃是直径4魄长线上一

点，旦NBCE=NBCD.

(1)求证：是。而J切线；—?

(2)若4Q8,些=工，求资的长.'----'

CE2

｛解析｝(1)连接0C,根据圆周角定理得到/ACB=90°,根据余角的性质得到NA=NECB,求得NA=NBCD,

根据等腰三角形的性质得到/A=/ACO,等量代换得到/ACO=/BCD,求得/DCO=90°,于是得到结论;

(2)设BC=k,AC=2k,根据相似三角形的性质列比例求解.

｛答案｝(1)证明：如图，连接0C.TAB是O0的直径,AZACB=90°,VCE±AB,.\ZCEB=90o,

AZECB+ZABC=ZABC+ZCAB=90°,AZA=ZECB,

VZBCE=ZBCD,AZA=ZBCD,V0C=0A,AZA=ZAC0,AZAC0=ZBCD,

/.ZAC0+ZBC0=ZBC0+ZBCD=90°,.,.ZDC0=90o,；.CD是。0的切线.

BCBE1

（2）解:VZA=ZBCE,AtanA=AC=tanZBCE=CE=2,

设BC=k,AC=2k,VZD=ZD,ZA=ZBCD,AAACD^ACBD,

BCCD1

/.AC=AD=2,VAD=8,/.CD=4.

22.（2020•常德）如图，已知4?是OO的直径，。是。。上的一点，〃是加上的一点，DELAB于〃DE

交8C于R且EF=EC.

(1)求证：是。0的切线；

(2)若BD=4,BC=8,圆的半径0B=5,求切线比1的长.

｛解析)(1)连接0C,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得NOCB+ZECF=90°,即可证EC是。0的

切线；

(2)由勾股定理可求AC=6,由锐角三角函数可求BF=5,可求CF=3,通过证明△OACs^ECF,可得

ECCF

可求解.

OA~AC

｛答案｝解：（1）连接0C,•••0C=0B,ZOBC=Z.OCB,vDElAB,ZOBC+ZDFB=90°,

•••EF=EC,---ZECF=ZEFC=ZDFB,AZOCB+ZECF=90°,AOC1CE,二EC是O0的切线;

（2）：人8是。0的直径，；.2^^8=90。，:08=5,；.人8=10,AC=VAB2-BC2=V100-64=6-

coszABC=—=—,•••—=■-BF=51CF=BC-BF=3,

BFAB10BF

VZABC+ZA=90°,ZABC+zBFD=90°,/.zBFD=zA,AZA=zBFD=zECF=zEFC,

•••OA=OC,AZOCA=4A=NBFD=zECF=Z.EFC,OAC^AECF,二就=再，:EC="2

OAACAC62

考点三正多边形与圆

23（2020•淮安）六边形的内角和是（）

A.360°B.540°C.720°D.1080°

《答案｝C

｛解析）本题考查了多边形的内角和定理，利用多边形的内角和=</?-2）-1800即可解决问题.

根据多边形的内角和可得：（6-2）X180°=720°.故选：C.

24（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°,则这个正多边形的边数是（）

A.7B.8C.98D.10

｛答案｝D｛解析｝本题考查了正多边形的性质以及多边形的外角和等知识.多边形的外角和都等于360。，由

于每个外角都为36°,所以360°+36°=10,故该多边形为十边形，因此本题选D.

（2020•德州）10.如图，圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为

A.24-^3—4TTB.12\/3+4/rC.24^3+8/rD.24*^5+4）

｛答案｝A

｛解析｝如图，设正六边形的中心为0,连接0A,0B.由题意得AAOB是等边三角形，边长为4,二

S&A°B2X4X2^...6个弓形的面积和是乃4-6X46=164-24回

6x,万•2?-（16万一246）=12乃一16万+2473=2473-4万

阴影部分的面积是2

10

25.（2020•江苏徐州）如图，4、B、G〃为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，若N4»=18°,

则这个正多边形的边数为.

｛答案｝10｛解析｝根据圆周角定理以及正多边形中心角的性质进行计算.连接0A、0B,则NA0B=2N

理;1。

ADB=36°,...多边形边数为：36.

26.（2020•陕西）如图，在正五边形4比）定中，〃犷是边切的延长线，连接BD,则/被"的度数是

｛答案｝144°｛解析｝五边形的内角和为540°,正多边形的每个内角都相等，每条边也相等，在aBCD中，

求出NC=108°,/CI）B=NCBD=36°,所以NBDM=180°—36°=144°.

27.（2020•重庆4卷）如图，在边长为2的正方形4微冲，对角线4版中点为。，分别以点4C为圆心，以

4。长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分面积为.（结果保留万）

11

D

--XA/22+22=^

｛答案｝4一”｛解析｝因为正方形ABCD的边长为2,所以A0=2/\C=2,阴影部分的面积等于正

方形ABCD的面积减去半径为④的半圆的面积.

S正方形ABCD=22=4,S扇形EAF=2,，S阴影部分=4-2X2=4—n.

考点四与圆有关的计算

28.（2020•苏州）如图，在扇形Q46中，已知NAQ3=9O°,04=夜，过AB的中点。作CD,

CELOB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为（）

A.71-1

｛答案｝B

（解析｝本题考查了不规则图形面积的计算，连接0C,由题意得ND0C=NB0C=45°,四边形OECD为正方形,0C=

9O7x(0)2万

④，由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S阴影=S扇形OAB-S正方形CEOD=360-12=2-1,因此本题选B.

29..（2020•聊城）如图，是。。的直径，弦,CDLAB,垂足为点“，连接0C,DB,如果0C〃的，0C=

12

2日那么图中阴影部分的面积是（)

A.冗B.2"C-3刀D.4刀

｛答案｝B｛解析｝借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积.由垂径定理，得CM=DM,：OC〃DB,

,/、1IOM

ZC=ZD,又•；NOMC=/BMD,AAAOMC^ABAMD(ASA),/.OM=BM=-0B=-0C,.*.cosZC0M=——

60万《2扬2

30.（2020•聊城）如图，有一块半径为1m,圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接

缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）

.1口3V15V3

A.—mB.—mC.----mDn.---m

4442

｛答案｝C｛解析｝先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高.设圆锥形容器底面圆的

半径为r,则有解得r=L,则圆锥的高为二（斤=巫（m）.

1804V44

31.（2020•咸宁）如图，在口0中，Q4=2,ZC=45°,则图中阴影部分的面积为（）

B.7T—yj2D.7i—2

｛答案｝D

｛解析｝本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，・・・NO45°,・,・NA0B=90°,・..（）A=0B=2,

13

9().?r.221

，S阴影=$扇形OAB-S^OAB」------------x2x2-乃一2,因此本题选D.

3602

32.(2020•江苏徐州)如图，在/△?!比中，/上90°,A(=4,除3.若以46所在直线为轴，把△/况旋转

一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于.

:答案J5"｛解析｝根据圆锥的侧面公式来进行计算，由于底面圆的周长=6%母线长=与+42=5,.•.圆

—X6^x5=15^

锥的侧面积-2

33.(2020•江苏徐州)在△/%中，若AB=6,ZACB=45°,则比面积的最大值为.

｛答案｝9+90｛解析｝本题属于定弦定角问题,需要通过辅助圆解决问题.以AB为边斜边向上作等腰直角三角

形OAB,；AB=6,，0A=30，以0为圆，0A为半径画圆，由于NC=45°=1NA0B,所以点C在。0上，过点0作

OD±AB,垂足为D,...OD=5AB=3,当点C在DO的延长线上时，△ABC的面积最大，等于：

-ABxC£»=-x6x(3+3>/2)=9+9>^

22

34.(2020•丽水)如图，殖的半径。1=2,6m8于点C,/48=60°.

(1)求弦团的长.

(2)求福的长.

【解答】解：(1