单调性与最大（小）值-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）（解析版）公开课教学设计课件资料

3.2.1单调性与最大（小）值

辱知识归纳

1.增函数与减函数的定义

一般地，设函数;（X）的定义域为/,区间人如果Vxi，X2^D,当K1VX2时

条件

都有人即）〈"2）都有於1123

那么就说函数"X）在区间。上是减

结论那么就说函数“V）在区间。上是增函数

函数

J

图示鹿川\

*1*2*

11

?【思考】增（减）函数定义中的由，X2有什么特征？

【提示】定义中的为，怒有以下3个特征：

U）任意性，即“任意取为，X2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

C2）有大小，通常规定为〃2；

：3）属于同一个单调区间.

2.函数的单调性与单调区间

一果函数v="）在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数yq/U）在这一区间具有（严格的）单调

性，区间。叫做y=/（力的单调区间.

n［思考】函数y=5在定义域上是减函数吗？

【提示】不是.在（一8,0）上递减，在（0,+8）上也递减，但不能说y=］在（-8,0）U（0,+oo）

上递减.

3.函数最大值与最小值

最大值最小值

设函数y=/（x）的定义域为/，如果存在实数M满足：Vxe/,都有

条件M<M段）加

:得A.@)=M

结论M是函数y=«x）的最大值M是函数y=/（x）的最小值

几何意图象上最高点的纵坐标假）图象上最低点的纵坐标

义

O【思考】若函数代则M一定是函数的最大值吗？

【提示】不一定，只有定义域内存在一点M，使凡丫o）=M时，M才是函数的最大值，否则不是.

出考点讲解

考点1：求函数的单调区间

【例1】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.

1[2x4-1»x>\,

⑴肘=卞⑵©=5-（3）段）=一,+2国+3.

【详解】（1）函数人x）=一1的单调区间为（一8,0）,（0,+oo）,其在（一8,0）,（0,+oo）上都是增函

数.

：2）当应1时，/（x）是增函数，当K1时，人工）是减函数，所以式幻的单调区间为（一

oo,1）,[1,+oo）,并且函数«r）在（-8,1）上是减函数，在[1,+oo）上是增函数.

一/+2x+3,后0,

：3）因为4工）=一/+2凶+3=j八

-jr-2x+3»x<0.

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数/幻的单调区间为（一8，—1],（―1,0）»[0,1）,[1,4-oo）.

兀V）在（一8,-1],[0,1）上是增函数,在（一1,0）,[1,+oo）上是减函数.

【方法技巧】

求函数单调区间的方法

L利用基本初等函数的单调性，如本例（1）和（2）,其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值

范围分段求解；

2.利用函数的图象，如本例（3）.

提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开.

【变式训练】

1.（2022.广东揭阳.高一期末）（多选）如图是函数y=/（x）的图象，则函数），=〃力在下列区间单调递

减的是（）

A.[-6,-4]B.[-4,-1]C.[-1,2]D.[2,5]

【答案】BD

【分析】利用函数图像与函数单调性的对应关系，结合图像即得解

【详解】

结合图像易知，

函数在区间[<—1]、[2.5]卜单调递减.

故选：BD

2.（2021•全国高一课时练习）函数y=1-的单调减区间是（）

x-I

A.（―」），（L+00）B.（9,1）1]。,+°°）

C.D.R

【答案】A

【解析】因为），=：的减区间为（3,0）,（0,+8）,

又y二一匚的图像是将y=1的图像向右平移一个单位得到，

x-\X

即函数y一的单调减区间是（YO,1）,（1,内），故选A.

X—1

3.（2021•四川省）下列函数中，在（一8：0]内为增函数的是（）

，3

A.y=x1—2B.y=—

x

C.y=l+2xD.y=—（x+2）2

【答案】C

【解析】4中，因为y=f—2在（-8,0）上为减函数，所以A不对：

3

8中，因为y=一在（-8,0）上为减函数，所以B不对；

x

C中，•・•尸l+2x在（-8,+oo）上为增函数，故C正确；

。中，・・，=一。+2)2的对称轴是广一2,・••在(3,-2)上为增函数，在(-2,+00)上为减函数，故D

不对.故选：C

考点2：函数单调性的判定与证明

1

【例2】(2021•云南文山壮族苗族自治州•高一期末)已知函数/(x)=2x+：+c,其中瓦c为常数且满足

"1)=4,〃2)=5.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)上是减函数.

【答案】(1)〃x)=2x+—；(2)证明见解析.

X-

【解析】(1)解：v/(l)=4,/(2)=5,.•.2+6+c=4,4+g+c=5解得h=2,c=0,

2

.,./(X)的解析式为/(x)=2x+-

(2)证明：任取0<%<占<1,

则/(X)一/(%，)=2工1+2—2X2+—=2-x2)+-_-=2(%—扁)1-

xI^2)L%巧」I^1)

'：0<X,<x2<1,?\%1-x2<—5-0$1

中2

・••/(%)-/(ZAO,即/(3)>/(%)

故函数〃力在区间(0，1)上是减函数.

【方法技巧】

利用定义证明函数单调性的步骤

L取值：设R，X2是该区间内的任意两个值，且R<X2.

2.作差变形：作差《即)一人12)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式

子.

3.定号：确定孔¥1）—/（X2）的符号.

4.结论：根据凡VO-AM）的符号及定义判断单调性.

提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.

【变式训练】

1.试用函数单调性的定义证明：«r）=高在（1,+8）上是减函数.

2

【详解】yu）=2+：=7，设即>X2>1,

ri222（x2—xi）

则仙）一/（X2）=7-7=~777

八Xl~11t（A：1—1）（X2—1）

因为为>X2>1,

所以也一即<0，xi_1>0>及―1>0，

所以危1）512），

所以危）在（1,+00）上是减函数.

2.（2021•福建福州市•高一期末）已知函数/（%）=［/-（q-Dx+Z.，且/（1）=石.

（1）求实数。的值；

（2）判断/*）在区间（-8,0］上的单调性并用定义证明.

【答案】（1）1;（2）在区间（-8,0］上单调递减，证明见解析.

【解析】（1）由/（1）=G，得1一（4-1）+2。=3,所以々=1.

（2）由（1）知/（幻=&+2,其定义域为R,

/（外在区间（y,0］上单调递减.

证明如下：

任取力,%2£（T»,0］，且％<当，

/㈤-/⑸=g一斤=（斤一告）俘+际）

2

=（>］一（三十2）=乔以=色_：）（%：%）

Jx：+2++2Jx；+2+y］x^+2yjx^+2+Jx；+2

因为％«O,x2<0,且办〈工2,

所以斗+工2<0，百一々<°，册+2+业+2>0,

则/（再）一/（々）>。,所以

故f（幻在区间（-00,01上单调递减.

3.（2021•六安市裕安区新安中学高一期末）设函数，（x）=x+2，xe（l,+8）.判断函数/（%）的单调性,

并用定义证明；

【答案】在（1,长。）上为增函数，证明见解析.

【解析】任取王，工2€。，4*00）且％<42，

/（石）一/（42）=%+^~-X2~~

%x2

X2）l）玉工2

因为1<%<%2，所以内一工2<。，XxX2-1>0,

所以/（%）—/（%）<0，

所以"%）</（%）,所以/㈤在（1,长0）上为增函数；

考点3：函数单调性的应用

【例3】（1）若函数加］）=一/-2伍+1）%+3在区间（-8,3］上是增函数，则实数a的取值范围是

C2）已知函数y=/Q）是（一oo,I刃）上的增函数，且大2r—3）次5工一6）,则实数x的取值范围为

数形结合

【分析】（1）历布⑺的对称轴与区间的关系|——>|建立.关于。的不祠——>|求〃的范围

人力在（-8,+oo）上是增函数

（2）<2¥-3）习（5工-6）------------------------------>建立关于x的不等式---->求x的范围

【解析】（1）（一8,-4］（2）（—8,1）

（1）:危）=—A2—2（a+l）x+3的开口向下，要使兀V）在（一8,3］上是增函数，

只需一3+1巨3,即底一4.

二实数〃的取值范围为（一8,-4］.

⑵・・・加)在(-8,+8)上是增函数，且,"r—3)»5x—6),

:.2x-3>5x_6，即x<1.

・•・实数x的取值范围为(一8,1).

【变式训练】

1.(变条件)若本例⑴的函数加)在(12)上是单调函数，求。的取值范围.

【解析】由题息可知一(a+1)51或一(〃+1)22,即好一3或色一2.

所以。的取值范围为(一8,—3]U[―2,4-00).

2.(变条件)若本例(2)的函数是定义在(0,+8)上的减函数，求X的范围.

【解析】由题意可知,

lv-3>0,3

-

5x—6>0>2

2x—3<5.L6,

・•《的取值范围为G，

【方法技巧】

函数单调性的应用

L函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性

可以确定函数中参数的取值范围.

2.若一个函数在区间句上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.

【变式训练】

1.(2021•广西钦州市•高一期末)函数)，=/+2皿+1在[2,+00)单调递增，则实数团的取值范围是()

A.[-2,4-00)B.[2,+oo)C.(-QO⑵D.(-00.2]

【答案】A

【解析】函数)，=/+2想丫+1为开II向上的抛物线，对称轴为工=一机

函数)，=炉+23:+1在[2,+00)单调递杷则一加42,解得加之—2.故选：A.

(r

2.(2021•全国高一单元测试)如果/*)=©2_(2-0工+1在区间-oo,-上为减函数，则。的取值()

A.(0,1]B.10,1)C.[0,1]D.(0,1)

【答案】C

【解析】由题意，当。=0时，可得f(x)=—2%+1,在R匕是单调递减，满足题意:

当avO时，显然不成立；

当。〉0时，要使f（x）在上为减函数，

I2」

2,—ci1

则----N—>解得：67<1»

2a2

综上：OWaWl,

故选：C.

3.（2021•广西桂林市•高一期末）如果函数/。）=f一2（1-〃*+2在[3,+8）上是增函数，那么实数。的

取值范围（）

A.a<-3B.a..-2C.a<5D.a>5

【答案】B

【解析】函数/（幻=/一2（1一a）x+2为二次函数，对称轴为x=l—〃，故函数在（-8,1-〃）单调递减，

（1-。,+8）单调递增，因此：1—2.故选：B

4.（2021•江西宜春市•高安中学高一期末（理））已知函数2'，在（0,〃—3）上单调递

X*-4%+3,x>1

减，则实数。的取值范围是（）

A.[3,4]B.[3,5]C.（3,4]D.（3,5]

【答案】D

【解析】函数/（x）=4,',画出函数的大致图象，如图所示：

X2-4X+3,X>1

•/函数fM在（0,a-3）上单调递减，

由图象可知：0<。一342,解得：3<«<5,

故实数。的取值范围是：（3,5].

故选：D.

考点4：利用函数的图象求函数的最值（值域）

[3—x2,1,2]»

【例4】已知函数,/（x）=

[x—3,x£（2,5].

：1）在直角坐标系内画出风外的图象；

：2）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域.

【解析】（1）图象如图所示：

⑵由图可知外）的单调递增区间为（一1,0）,（2,5）,单调递减区间为（0,2）,值域为[—1,3].

【方法技巧】

利用图象求函数最值的方法

L画出函数），=段）的图象；

2.观察图象，找出图象的最高点和最低点；

3.写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.

【针对训练】

V-l<r<b

1.已知函数求应丫）的最大值、最小值.

一，x>\,

lx

【解析】作出函数贝X）的图象（如图）.

由图象可知，当彳=±1时，«v）取最大值为/（±1）=1.当x=0时，式幻取最小值00）=0,

故火劝的最大值为1,最小值为0.

2.（2021・广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域:

x-i2x

(1)(2)y=x-4\x\i(3)y=

x-27+2

1

(4)y=|x(l—X)|；y=

⑸T2-T|x~|r

【答案】见解析

【解析】（1）y=—=i+—f图象如图所示:

x-2x-2

函数在（-oo,2）和（2,+8）为减函数，因为」一工0,所以1+」一故道域为：（-8,1）。（1,+8）；

x-2x-2

U+2)2-4,X<0

(2)y=x2-4|x|图象如图所示:

(X-2)2-4,X^0

函数在（-8,-2］和［0,2］为减函数，在［-2,0］和［2,+0。）为增函数,

当x=±2时，V取得最小值T，故值域：［-4,+8）；

rX+2-2-2

（3）y=--=-----—=1+—-,图象如图所示：

xI2xI2xI2

函数在（-8,-2）和［0,+8）为增函数，在（一2,0］为减函数,

值域为：［0,+8）.

（4）y二|*1一到TMXT）|，图象如图所示:

函数在（一8,0］和为减函数，在0,1和［1,”）为增函数，值域为：［0,+8）；

函数在（-8,-2）和（-2,0］为减函数，在［0,2）和（2,+8）为增函数，值域为：（-oo,0）u；,+8

考点5：利用函数的单调性求最值（值域）

x+2

【例5】（多选）函数y=——（/1）的定义域为［2,5）,下列说法正确的是（）

x-1

7

A.最小值为一B.最大值为4

4

C.无最大值D.无最小值

【答案】BD

r+23

【解析】函数y=——=1+——在［2,5）上单调递减，即在k2处取得最大值4,

x-lX-1

由于45取不到，则最小值取不到.故选：BD

【例6】（2021.浙江高一期末）（多选）已知函数y=f—2x+2的值域是［1,2］,则其定义域可能是（)

A.[0,1]B.[1,2]C.7,2D.[-1J]

_4_

【答案】ABC

【解析】因为函数y=f—2x+2的值域是[1,2],由y=2可得工=0或x=2,由y=l可得x=l

所以其定义域可以为A、B、C中的集合

故选：ABC

【方法技巧】

1.利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤

：1）判断函数的单调性.

：2）利用单调性求出最大（小）值.

2.函数的最大（小）值与单调性的关系

U）若函数4外在区间[4,勿上是增（减）函数，则大彳）在区间[小句上的最小（大）值是14）,最大（小）值是

fib）.

：2）若函数«r）在区间[。，切上是增（减）函数，在区间g,c]上是减（增）函数，则兀0在区间[a,c]上的

最大（小）值是加人），最小（大）值是4。）与#C）中较小（大）的一个.

提醒：（1）求最值勿忘求定义域.

：2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意.

【变式训练】

21

1.（2021•上海浦东新区•高一期末）已知函数＞=嚏，xer[l,2],则此函数的值域是一.

【答案】[1,2]

722少2

【解析】因为函数丁二一在区间口，2]上为增函数，当时，一4一《二，

x2x1x

7

因此,函数y=一,x41,2]的值域为[1,2].

X

故答案为：12].

2.（2021•内蒙古通辽市•通辽实验中学高一期末（文））函数的最大值是:)

4B145

A.-C.D.

3454

【答案】A

【解析】：1一X(1—X)=V—X+l=(工一；)

「(414

•*•f(^)€0,—,最大值为三.

I5」3

故选:A.

3.(2021•全国)函数y=——在区间(Y,0)U[2,5)上的值域为_____

X—1

【答案】(-1,1)D(5,3]

yI11I7O

【解析】由题：y=--=~=1+—函数在(YO,1)单调递减，4(1,+?)单调递减,

可以看成函数y=2向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：

a

所以函数在(-?,0)递减，在[2,5)递减，x=0,j=-1,x=2,y=39x=59y=-f

3

所以函数的值域为(T,l)u(/,3].

3

故答案为：(―1,1)5耳,3]

考点6：函数最值的实际应用

【例8】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,

年产量为Mx£N")件.当烂20时，年销售总收入为(33X-X2)万元；当心>20时，年销售总收入为260万元.记

该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)

(1)求M万元)与M件)的函数关系式；

(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？

【解析】(1)当0E20时，y=(33x-jr)-x-100=-?+32x-100；当*>20时，y=260—100—x=160

一f+32x-100,(Kx<20,

―尤故y=«OWN").

160—x,x>20

(2)当0<饪20时，y=-f+32x—100=—(x—16>+156,x=16时，,皿=156.而当x>20时，160—x<l40,

故x=16时取得最大年利润，最大年利润为156万元.

即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元.

【方法技巧】

解实际应用题的四个步骤

1.审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.

2.建模：建立数学模型，列出函数关系式.

3.求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).

4.回归：数学问题回归实际问题，写出答案.

【变式训练】

1.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售

量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？

【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x—50)元，销量减少10(x—50)个，销量为500—10。

-50)=(l000-10x)个，贝ijy=(x-40)(l000—10x)=-10(x-70)2+9000<9000.

故当x=70时，ymax=9000.

因售价为70元时，利润最大值为9000元.

2.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价M不低于进价，单

位：元)与日销售量M单位：件)之间有如下关系：

X4550

y2712

：1)确定x与y的一个一次函数关系式y=/(x)(注明函数定义域).

：2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于工的函数关系式，并指出当销售单价为多少

元时，才能获得最大的日销售利润？

145a+〃=27,|%=—3,

【解析】(1)因为段)是一次函数，设式x)=or+b,由表格得方程组“,,.解得，

[50〃十力=12.I力=162,

所以y=yu)=-3x+162.

又把0，所以30s让54,

故所求函数关系式为y=-3x+162,[30,54].

(2)由题意得，

P=(x-30)y=(x—30)(162-3x)

=-3f+252x-4860

=-3(X-42)2+432,xe[30,54].

当x=42时，最大的日销售利润尸=432,即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.

S知识小结

I.定义单调性时应强调X2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数

值的大小比较转化为两个任意值的大小比较.

2.证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤,

特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可.

3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如人工）在。

上递增，则於D勺8）*42.二是数形结合意识，如处理一（二）次函数及反比例函数中的含参数

的范围问题.

4.函数的最大（小）值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大（小）

的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点.

5.求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：

（1）图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；

（2）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；

（3）对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解

题.

6.通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识.

扁巩固提升

1.函数），=%勺单调递减区间是（）

A.（0,+8）B.（-00,0）

C.（-00,0）和（0,+oo）D.（-co,0）U（0,+oo）

【解析】C函数），=5的定义域是（一8,0）U（0,4-00）.由函数的图象可知在区间（一8,0）和（0,

+8）上分别是减函数.

2.若函数/U）=（2a—l）x+方在R上是单调减函数，则有（）

A.。弓B.

C.a>^D.a<^

【解析】D函数兀0=（2。-l）x+b在R上是单调减函数，则2a—1<0,即水：.故选D.

3.函数y=士在[2,3]上的最小值为()

XI

A.2B，2

号D.4

【解析】B•・•函数y=±在⑵3]上单调递减，，当x=3时，ymin=±=：.

4.函数/(x)=—f+以一6,工£[0,5]的值域为()

A.[-6,-2]B.[-11,-2]

C.[―11,-6]D.[―11,—1]

【解析】B函数人%)=一/+4X一6=一(_¥—2)2—2,xG[0,5],

所以当x—2时，人处取得最大值为一(2—2)2—2=-2；

当x=5时，"r)取得最小值为一(5—2)2—2=-11,

所以函数人x)的值域是[—11,-2].故选B.

]2x+6,x£[l,2],

5.函数“T)=I,则“V)的最大值、最小值分别为()

lx+7,xW[-1,1),

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

【解析】A当1—2时，8<2x+6<10,当一14<1时，6Sr+7<8,・\/(盼面=;(-1)=6,於)max=/(2)

=10.故选A.

6.当0±02时，*一f+2i恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(—co,1]B.(—oo,0]

C.(-00,0)D.(0,+oo)

【解析】C令y(x)=-f+2x,

则人制=一/+公=一(%—1)2+1.

又・・・咐0,2],

•\/(X)min=40)=7(2)=0，

：.a<0.

7.函数/)=园，g(x)=x(2-x)的递增区间依次是()

A.(—8,0],(—8,1]B.(—co,0]>(L+co)

C.[0,+oo),(-oo,1]D.[0,+oo),[1,+oo)

【解析】C分别作出贝x)与g(x)的图象得：/)在[0,+oo)上递增，g(x)在(一8,1]上递增，选C.

8.若函数4彳)=旨在(小+8)上单调递减，则。的取值范围是.

【解析】［-1，+8)函数<X)=W的单调递减区间为(一匕+8)，(-8,-1),

又人彳)在(小+8)上单调递减，所以倨一1.

9.已知人力在定义域内是减函数，且式戏乂),在其定义域内下列函数为单调增函数的是

①y=。+/(幻(〃为常数)；

©y=a-J(x)(a为常数)；

⑨=六®y=Wx)f.

【解析】②③段)在定义域内是减函数，且应号>()时，一八x),六均为递增函数，故选②③.