正弦函数的性质（第2-4课时）（分层练习）-高一数学课堂（沪教版2020必修第二册）

7.1正弦函数的性质（第2-4课时）（分层练习）

【夯实基础】

一.选择题（共6小题）

1.（2022春•闵行区期中）在下列函数中，既是（0,子）上的增函数，又是以TT为最小正周期的偶函数

的函数是（）

A.y=sin2rB.y=cos2xC.y=|sin.¥|D.y=|sin2x|

【分析】利用三角函数的单调性、周期性和排除A、B、D,从而得到C正确.

【解答］解：由＞=411缄在（0,子）上不具有单调性，故排除4.

由于y=cos2x在（0,3）上是减函数，故排除B.

由于y=|siiu|的周期等于m且在（0,上是增函数，故C满足条件.

由于y=|sin2r|的周期等于三，故不满足条件，故排除D

2

故选：C.

【点评】本题考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题.

2.（2022春•虹口区校级期末）设函数/（x）=sin⑵+（p）,其中cpeR.若f（*）（三）对任意的xCR

6

恒成立，则下列结论正确的是（）

A.（答，0）为函数f（x）的一个对称中心

3

B./（x）的图像关于直线x卫匚对称

x12

c./（X）在味，耳_］上为严格减函数

D.函数（x）|的最小正周期为三

2

【分析】由f（x）（工）对任意的x6R恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解中，得到函数

66

f（X）的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断.

【解答】解：由f（x）Wf（工）对任意的x€R恒成立得函数在X』取得最大值，

66

所以sin（2义［~+。）=〕则得"＞。2k冗，k€Z，

b5N

所以。0+2k兀，k€z＞

6

整理得f（x）=sin（2x[-+2k兀）=sin（2x]->

对于A,f（2jL）=sin（2X等哈）=sin等=-l，则（告[0）不是函数.f（x）的对称中心，故A

错误；

对于8,f翠_）=sin（2X翳T）=sin兀=0,则不是函数，（外的对称轴，故8错误；

对于C，令蒋兀+2k兀42x*兀+2k兀，k€Z）

解得，一当+k打4x4~^-+k兀，k€Z>

36

显然不包含区间「工，驻],故C错误；

L24J

对于。，|f（x）|=|sin（2x哈）|，所以l/（x）|的最小正周期为=2j=；,故。正确。

故选：D.

【点评】本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题.

3.（2022春•杨浦区校级期中）函数y=2sin（x；）-1在下列哪个区间上是严格增函数（）

A「7T7T_L兀兀r「rAl

A.[---,—]BD.r_^3—,—]C.-n,0D.吁,李

L22」L44J

【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论.

【解答】解：对于函数y=2sin（x4）-l，当尤[-萼，三],x+2Le[-2L,4口，函数没有单调性,

故A不满足条件；

当在[-竺，2L],x+2L&[-2L,2L],函数单调递增，满足条件，故B满足条件；

44422

当xe[-n,0],%+2Le[-1ZL,A],函数没有单调性，故C不满足条件；

444

当xe[-2L,12L],X+2LG[0,ir],函数没有单调性，故。不满足条件，

444

故选：B.

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题.

4.（2022春•浦东新区校级月考）函数y=sin*-x）的单调递减区间为（）

A.[2--"一,lkn-2L\（髭Z）B.[2^TT--,2垢+2兀一]（依Z）

3333

C.k7T-22L,lai--\（依Z）D.[kn--,kn+2L]（keZ）

3663

【分析】由题意，利用诱导公式，正弦函数的单调性，得出结论.

【解答】解：对于函数丫=5111（工一x）=-sin（x-2L）,

66

令沂-三。-三W2E+2L,k&Z,求得2丘-2LWXW2E+^2L,kez,

26233

可得函数的单调递减区间为［2Kr-工，2E+”］,髭Z,

33

故选:B.

【点评】本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于中档题.

5.（2022春•浦东新区校级期末）函数y=sin（2%-三）的单调递增区间是（）

6

A.\ku--ZE_,kn+2L\(jtez)B.伙n-2L,kn+2L]aez)

3663

7Tjr

C.伙n-)妹+.5口（&ez）D.[kn-^-L,kn+—](依Z)

12121212

【分析】函数y=sin（2x-2L）的单调递增区间满足-二+2新《2乂-工＜三+2始，k€Z,由此能求出

62飞6飞2

函数），=sin（2X-2L）的单调递增区间.

6

【解答】解：函数），=sin（2x-A）的单调递增区间满足:

6

一卫+2丘《Zx-工'+2小kez,

262

解得k兀e~4x＜；+km^eZ,

63

...函数），=sin（2尤-工）的单调递增区间是：

6

伙IT-2L,jtn+JL］（&ez）.

63

故选：B.

【点评】本题考查正弦函数的单调增区间的求法，考查正弦函数的性质等基础知识，考查运算求解能力,

考查化归与转化思想，是基础题.

6.（2022春•浦东新区校级期中）对于函数/（x）=sin（2x+2L）,下列命题：

6

①函数图象关于直线x=-三对称；

12

②函数图象关于点（旦L,0）对称；

12

③函数图象可看作是把〉=$抽2%的图象向左平移个工单位而得到；

6

④函数图象可看作是把〉=$皿（x+2L）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的工.

62

（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（)

A.0B.1C.2D.3

【分析】①把x=-三代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；

12

②把》=更，代入函数，函数值是否为0,即可判定正误；

12

③函数图象可看作是把)'=$汨2》的图象向左平移个工单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；

6

④函数图象可看作是把〉=$汨(X+三)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的工，得到函数的表达式是否

62

相同，即可判定正误.

【解答】解：①把x=-三代入函数f(x)=sin(2X+2L)=0,所以，①不正确；

126

②把》=旦［_,代入函数/(x)=sin(2X+2L)=0,函数值为0,所以②正确；

126

③函数图象可看作是把^=$汕2彳的图象向左平移个三单位得到函数为/(x)=sin⑵+工)，所以不正确；

'63

④函数图象可看作是把y=sin(x+匹)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的工，得到函数f(x)=sin

62

(2X+2L),正确；

6

故选：C.

【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型.

二.多选题(共2小题)

(多选)7.(2022春•浦东新区校级期中)关于函数/(x)=sinx的性质，下列说法正确的是()

A.函数/(x)在［看，器］上的值域是

]

B.函数/(x)的图像关于直线x岑•对称

C.函数f(x)在第一象限是严格单调递增函数

D.函数/(x)的图像既关于(0,0)对称，也关于(7T,0)对称

【分析】直接利用正弦函数的图象和性质的应用判断A、B、C、。的结论.

【解答】解：对于4函数/(x)在曦，等］上的值域是虎，1］,故A错误；

对于8：函数f(x)的图像关于直线x=^L对称，故B正确；

对于C：当af，8=2兀$，/小))故函数f(x)在第一象限不一定是严格单调递增函数,

故C错误；

对于。：函数f(x)的图像既关于(0,0)对称，也关于(TT,0)对称，故O正确.

故选：BD.

【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于

基础题.

(多选)8.(2022春•宝山区校级月考)已知函数/(x)=|sinec|,下列说法正确的是()

A./(x)为偶函数

B./(%)的最小正周期为2

C.所有的整数都是/(x)的零点

D.f(x)在［0,1］上单调递增

【分析】可看出f(x)的定义域为R,且可得出/(-x)=/(x),从而判断选项A正确；容易求出

的周期为1,从而判断选项B错误；依Z时，可得出/(%)=0,从而判断选项C正确；可看出/(x)在［0,

1］上没有单调性，从而判断选项。错误.

【解答】解：f(x)的定义域为R,且/(-x)=|sin(-Ttr)|=|sinTu|=/(x),

：.f(x)为偶函数,/(x)的最小正周期为1,

•"(A)=|sinKr|=0,依Z,

...所有的整数都是『(X)的零点，

/(x)在(0,上单调递增，在&1］上单调递减，.../a)在［0,1］上没有单调性.

故选：AC.

【点评】本题考查了偶函数的定义及判断，/(x)=|sin3x|的周期的求法，函数零点的定义，函数/(x)=

Ishuoxl的单调性的判断，考查了计算能力，属于基础题.

三.填空题(共10小题)

9.(2022春•闵行区校级期中)函数y=-sin(2x)+1的严格单调递增区间为」生+卜兀二江+k兀L

44

kwZ..

【分析】根据正弦函数的单调区间，即可解出.

【解答】解：由题意可知，g-+2kJTW2xW-^-+2kTT，kwz,

•兀J/3冗/t-rj

,,二"+k兀.+kmksz，

44

所以单调递增区间为：［生+k兀，"+k兀］,依Z.

44

故答案为：［工.+k兀，竺+卜兀］,依Z.

44

【点评】本题考查了函数的单调性，学生的数学运算能力，属于基础题.

10.(2022春•徐汇区校级期中)函数f(x)=2sinxsin(；-x)的值域是一［得，

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f(x)=2sinxsin(■工-x)=sin(」，

ob/

由正弦函数的性质可得_l<sin(2xT)4l'代入函数可求函数的值域.

TT

【解答】解：:f(x)=2sinxsin("z--x)

o

——Q./V-31.、

2sinxI-cosx-qsinx)

-V3sinxcosx-sin2x

V3.门l_cos2x

-=-sm2x--2—

_,兀、1

一sin»

乂：-l《sin(2x"^-)《1

故答案为：［旦，1］

L22J

【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为卜=4布(3/甲)

的形式，利用正弦函数的性质研究y=Asin(3x+<p)的性质.

II.(2022春•浦东新区校级期末)函数f(x)=3sin(2x4>xeR的单调递减区间是囱+j

lat+^IL］,kez.

-8

【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论.

【解答】解：对于函数f(x)=3sin(2x+^~)，“eR，

令2丘+工<2x+2Lw2hr+^2L,髭z,求得垢+2L<WE+^2L,依Z,

24288

可得函数/(x)的单调递减区间为［E+三，E+且L］,kwz,

88

故答案为：［E+工，E+且L|,依Z.

88

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题.

12.(2022春•嘉定区校级期末)已知函数/(x)=sin(o)x+(p)(其中3>0,|。|<=_),若/(T)

=0(T为周期)，是函数/(X)图像的一条对称轴，/(x)在区间《，署)上单调，则3的值

为2或6.

【分析】由/(T)=0,得/(x)=silKDX,由对称轴得出3的表达式，由单调性先缩小3的范围，然后对

可能取值一一验证，能求出结果.

【解答】解：T=工-/(T)=sin(s+0)=sin(2TT+(P)=0,<p=Znr,k&L,

33

V|<p|/.(p=0,f(x)=sinou.

2

•••x=2L是函数图象的一条对称轴，则|/(工)|=|sin@T|=l,

444

・3IT7132

••—■—二kTT+化w，

3=44+2,髭z,xe(2L,12L),

816

3>o,3>16H寸，3(空__2L)>TT,则/(X)在区间(工，亚)上不单调，

168816

/.0<(0^16,co=2,6,10,14,

3=2时，2x6(―,12L)c(0,—.),符合题意；

482

3=6时，2x6(-22L,旺)u(2L,”)，符合题意

4822

3=io时，ioxe(且L,里L),而"e(旦L,&L),不合题意；

48248

3=14时，14x6(2_,2”)，而旦二毛(I2L,212L),不合题意.

482L43)

故答案为：2或6.

【点评】本题考查对称轴、三角函数恒等变换、正弦函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中

档题.

13.(2022春•宝山区校级期末)已知/(")=sin史1一,/?GZ,则/(I)+f(2)+f(3)+•••+/•<2019)=

4

1±V2_.

【分析】先判断函数/(x)的最小正周期为8,求出/(I)t/(2)t/(3)+•••+/(8)的值，再根据/(I)

+f(2)+f(3)+•••+/'(2019)=252X0+/(1)+f(2)+f(3)求解即可.

【解答】解：•；/(〃)=sin电L〃6Z,.♦.函数f(x)的最小正周期为琴*=8,

4_

4

''f(1)=sin---=2^2_,f(2)=sin---=1,f(3)=sin.。,吗=2^_,f(4)=sirm=0,

42242_

f(5)=sin-5——=-f(2)=sin±12L=-1,/(7)=sin'兀=-^L^-,f(4)=sin如=0,

42242

：.f(1)+f(2)+f(3)+♦♦•+/,(8)=0,

：.f(1)+f(2)+f(3)+•••+/,(2019)=252X0+/'(1)+f(2)+f(3)

=0+2^2.+1+2^2.=1+5/2-

22

故答案为：i+J5.

【点评】本题主要考查三角函数的周期性，利用函数的周期性求函数的值，属于中档题.

14.（2022春•闵行区校级期中）若函数y=sin2x+“cos2x关于直线乂=工对称，则a=-场.

63

【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求.

【解答】解：因为y=sin2x+acos2x=4a2+isin（2x+0）（。为辅助角）关于直线乂=一工对称，

6

则土丘不=-除击，

解得〃=-近.

3

故答案为：-1.

3

【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题.

15.（2022春•杨浦区校级期中）如果直线是函数），=2sin（3.r+（p）图像的一条对称轴，则<p的最

18

小正值为空.

-3一

【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果.

【解答】解：线*丹-是函数），=2sin（3x+<p）图像的一条对称轴,

所以3X芳•+年=11兀修（依Z）,整理得（p=k：n；T（%ez）；

当％=1时，年=空;

3

故答案为：空.

3

【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

16.（2022春•杨浦区校级期中）若函数f（x）=2sin（x+a）的图像关于直线乂吟对称，则a的一个可能

的值为2L（答案不唯一）.

一3

【分析】由题意，利用正弦函数的图像的对称性，得出结论.

【解答】解：•・•函数/（尤）=2sin（x+a）的图像关于直线x*对称，

：.—+a=lai+—,keZ,即a=^n+—,keZ,

623

则a的一个可能的值为三，

3

故答案为：2L（答案不唯一）.

3

【点评】本题主要考查正弦函数的图像的对称性，属于基础题.

17.（2022春•浦东新区校级期中）已知函数/（X）-sin（3x+（p）（-2L<（p<2L）的图象关于直线》=

22

匹对称，则<p=—.

4—4―

【分析】直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.

【解答】解：数f（x）=sin（3x+（p）（-2L<（p<2L）的图象关于直线x=—_对称，

所以3X—-+0=kIlH^（k€Z）,

解得甲=k兀二~（Aez）,

4

.-r7T//兀

由于-——<（P<——，

22

当k=o时，⑴=/L.

4

故答案为：工

4

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算

能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

18.（2022春•松江区校级月考）已知函数f（x）=3sin（3x—三）（3〉0）和g（x）=2cos（2x+（p）

6

+1的图象的对称轴完全相同.若xt[0,-y]-则/（X）的取值范围是—[-1>,3]_.

【分析】先根据函数f（x）=3sin（3x工）（S>0）和g（X）=2cos（2r+（p）+1的图象的对称轴完全

6

相同确定3的值，再由X的范围确定（Ox工的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案.

6

【解答】解：：函数f（x）=3sin（3x工）（3>0）和g⑴=2cos（2x+<p）+1的图象的对称轴完全

6

相同，

.•.由题意知，3=2,

因为x€[0,3],所以2x三E[―,且L]，由三角函数图象知：

2666

f（X）的最小值为3sin（一番）最大值为3sirr5"=3，

所以/(X)的取值范围是［得，3］.

故答案为：［一|＞,3］.

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想.

四.解答题(共2小题)

19.(2022春•浦东新区校级期中)已知函数=3sin2x+2V3sinxcosx+5cos2x.

(1)若/(a)=5,求tana的值；

222

(2)设△A5C三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且5叱-b二旦,求/(%)在(0,8］上的

a2+.b,2-c22乙&a-cJ

值域.

【分析】(1)把f(a)=5代入整理可得，加sin2Cl+cos2a=1，利用二倍角公式化简可求tana

222

（2）由.生+£f,利用余弦定理可得，2accosB即cosB再由正弦定理化

2

a+^2_c22a-c2abeosC2a-cbcosC2a-c

简可求8,对函数化简可得/(x)=2sin(2r+A)+4,由0＜乂＜?可求•

【解答】解：（1）由/（a）=5,得Ssin?a+R^sinacosa+5cos2a=&

•el-cos2a・-厂L1+COS2a「

••3-------------R3sin2a+5---------------=5*

，我sin2a+cos2a=1，

即我sin2a=l-cos2a=>2^3sinCIcosCL=2sin2asin。=0或tan。=^，

，tana=0或tana=\^.（5分）

（2）由2accosBc即cosB_]

2abcosC2a-cbcosC2a-c

得cosB1,

sinBcosC2sinA-sinC

则cosB=]，

又・・・3为三角形内角，

・・・B」L（8分）

3

又f（x）=3sin2x+2\/3sinxcosx+5coss^n2x+cos2x+d=2sin（2x-^~）+4（分）

由则/Csin（2x"*^-）<1，

故（x）W6,

即值域是［5,6］.(12分)

【点评】本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简

单综合的运用，属于中档试题.

20.(2022春•松江区校级月考)已知函数/(x)=sin(x+三)-1

62

(1)若函数/(x)在区间［0,0上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)求函数/(x)在区间［0,2n］上的所有零点之和.

【分析】(1)求出函数f(x)的单调增区间，结合函数/G)在区间［0,0上单调递增，即可求得实数〃

的取值范围;

(2)由=0,求解x在［0,2ir］上的值，即可得到函数/(x)在区间［0,2TT］上的所有零点之和.

【解答】解:(1)由一^-+2女冗4x+<-^-+2k，

2627

得^^+2k兀2k冗，kGZ-

取k=0,可得卫L4x4工，

33

:函数f(x)=sin(x哈)」在区间[0,上单调递增,

...实数。的取值范围是(0,3];

3

TTI

⑵由f(x)=sin-y=0，

得sin(xV-)+贝I2k兀或2k兀，kEZ-

又xe[0,2n],，x=0,2H.

3

即函数/(X)在区间［o,2m上的所有零点是0,23，2打，

3

8兀

故零点之和为+2兀-

【点评】本题考查复合函数单调性的求法，考查利用三角函数值求角，考查学生的运算能力，属于基础题.

【能力提升】

一.选择题(共1小题)

1.(2021秋•虹口区期末)设函数f(x)=asinx+hcofix,其中a>0,h>0,若f(x)对任意的AGR

4

恒成立，则下列结论正确的是()

A./(--)>(---)

26

B./(x)的图像关于直线》="对称

4

c.于(X)在［三，且L］上单调递增

44

D.过点(a,b)的直线与函数/(X)的图像必有公共点

【分析】由/(x)Wf(匹)对任意的X6R恒成立得函数在x=2L取得最大值，从而有asin2L+阮OS?L=

4444

22

7a+b>整理得然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断.

【解答】解：由/(x)^/(―)对任意的x€R恒成立得函数在x=2L取得最大值，

44

所以〃sin2》+bcos«^-=J&2+b2,

整理得，a=b,f(x)=asinx+acosx=Vasin(x+-2L),

4

A：/(2L)=a,f(—)=72asin(工/-)=红巨

26642

所以『(工)</(2L),A错误；

26

B：/(")=0与函数在对称轴处取得最值矛盾，8不正确；

4

■ITTI

C：令q兀+2kJiWx+q-4>^兀+2k兀，kez,

解得,+2k兀4x<--+2k兀'

显然不包含区间［三，且L］,C不正确；

44

由于f(x)=&asin(x+—)的定义域R,最大值&a，

4

故匕=a<&a，从而点(。，b)的直线与函数/(x)的图像必有公共点，。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用，属于

中档题.

二.填空题(共5小题)

2.(2022春♦青浦区校级期中)已知函数/(x)=sin2r,［工，a］，若.f(x)的值域是［1,1］，

62

则a的取值范围是」工_空_］_.

4—3

【分析】由在［-三，fl］=>2xe［-2L,2a］,由/Xx)=sin2x的值域是［-近，1］,利用正弦函数的图象与

632

性质可求得〃的取值范围.

【解答】解：Vxe[-2L,a],

6

：.f(--)=sin(-匹)=-叵,f(-22L)=sin^2L=-近,f(2L)=sin2L=1,

63233242

又f(x)=sin2x的值域是[-1,1],

2

.•.狞后号

.♦.2L4W空，即〃的取值范围是[2L,空].

4343

故答案为：[JL,22L].

43

【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查数形结合思想与作图分析的能力，属于中档题.

3.（2022春•杨浦区校级期中）已知函数fG）=2sin（3x哈）（3〉0），若八X）的图像关于直线xf

对称，且在空.，子）上单调，则3的最大值是13.

【分析】由正弦型函数的对称性可求得3=3«+1,依Z,根据函数的单调性可得出3W16,然后对3的可

能取值由大到小进行验证，即可得解.

【解答】解：由题意可得上"+三=内1+工，依Z,贝ij3=3k+l,依Z,

362

设函数/（x）的最小正周期为T,

因为F（x）在（•国匕，工）上单调，

（164,

所以。L-HLw工，所以T2工，即2三万生，解得0V3W16,则得0V3Z+1W16,即0VZW5,

4162838

当k=5时，f（x）=2sin（16X+2L）,当时，12ZL<16x+-L<j5%„

6164666

此时函数/(x)在(箸，上不单调，

当iiz,攵7一—4A时n-l-，f]((x)、—2sin(13x+,-兀--)、,当土>±3——兀<―x―<——兀时rr+，125兀<I.3x兀+——<7—41——兀,

616448612

此时函数/(X)在(箸，--)上单调递减，符合题意，

因此3的最大值为13.

故答案为：13.

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题.

4.(2022春•松江区校级月考)函数y=siar+Fco&x在[0,2川上的递减区间为_[三」二口L.

6-6

【分析】利用正弦函数的单调递减区间可得.

【解答】解：：y=2sin(x+2L),

3

由三+2EWx+2LwJi2L+2hT,k€Z.

232

得_ZL+2EWxWZ2L+2hr,k€Z,

66

又x€[0,2ir],i2L],

66

故答案为：[匹，I2L].

66

【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属中档题.

5.(2021春•嘉定区校级期末)若/(x)=2sin(3x+(p)+m,对任意实数/■都有f(弋士T~)=f(-t>且

则实数」的值等于-3或1.

【分析】由/(f+ZL)—f(-r)0f(t)—f(2L-t)W(x)=2sin(3x+C>)+〃?的图象关于直线x=?L对

448

称，从而可求得实数，〃的值.

【解答】解：•••，(£+―_)=/(-/),

用替换上式中的r,得/(r)-/(2L-r),

4

'.f(x)=2sin(3x+①)+根的图象关于直线x=2I_对称，

8

：.y=f(x)在对称轴x=2L处取到最值，

8

A2+m=-1或-2+m=-L

解得：m=-3或"?=1,

故答案为：-3或1.

【点评】本题考查正弦函数的对称性，求得/（x）=2sin（3X+©）+%的图象关于直线》=三对称是关键,

8

考查转化思想与运算能力，属于中档题.

6.（2021春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）小历sin（3x/L）—Lcos3x（3〉0）在[0，3]

443

37T

上的值域为舟，则si1r的取值范围为_e，1]-.

3

【分析】首先，利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出上江的取值范围,

3

最后根据该取值范围求出最终的解.

【解答】解：由题意可得/（x）sin（3x」L）」cos3X，

44

=&(^-sin3xs3x)-^"cosWx

_.3

=sin3x-^cos^x1

4

--sin(Wv+0其中sin0=3,cos9=A,2L<0<—,

4''5564

设，=uxx+e,g(r)=—£,

4snt

jr

Vo)>0,0<x<?

..jr

,•8<-3+8，

女(8)卫o<e<2L,

r'42

g(n-6)=-1-g=-1-

+84兀-8，即--834TT-28，

,sin8Xsin(告3

LtO

；si63的取值范围为4,

1］，

故答案为：伐，1].

5

【点评】本题考查了三角函数的两角和公式，以及三角函数求最大值的万能公式，并且还需学生熟练掌握

sinx的图像性质，属于较难题.

三.解答题（共4小题）

7.(2022春•杨浦区校级期中)定义函数/(x)=cos(siar)为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以

得到该函数的一些性质：容易证明2n为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：f(X+TT)

=cos［sin(X+TC)］=cos(-sinx)—cos(sinx)—f(x).可得：n也为函数/'(x)=cos(siiu)的周期.但

是否为该函数的最小正周期呢？

我们可以分区间研究/(x)=cos(sinx)的单调性：函数/(X)=cos(siar)在［0,3］是严格减函数，

在修，兀］上严格增函数，再结合/(X+7T)=f(x),可以确定：于(x)=COS(sinx)的最小正周期为TT.进

一步我们可以求出该函数的值域了.

定义函数/(x)=sin(COST)为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：

(1)求“余正弦”函数的定义域；

(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；

(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.

【分析】(1)由y=cosA：的定义域，可得/(x)的定义域；

(2)由函数的奇偶性的定义和三角函数的诱导公式，可判断；

(3)结合题目所给思路，求得f(x)=sin(cosx)得单调区间，最小正周期及值域.

【解答】解：(1)因为y=cosx的定义域为R,所以/(X)=sin(cosx)的定义域为R；

(2)/(%)在R上为偶函数，理由如下：

/(%)的定义域为R,关于原点对称，

/(-x)=sin(cos(-x))=sin(cosx)=f(x),

则/(x)为偶函数；

(3)f(x+2n)=sin［cos(X+2TT)］=sin(cosx)—f(x),

y=cosx在区间［0,IT］上单调递减，y=siru在区间［-1,1］上单调递增，所以/(x)=sin(cosx)在［0,n］

上单调递减：

y=cosx在区间［rr,2n］上单调递增，y=sinx在区间［-1,1］上单调递增,所以/(x)=sin(cosx)在［TT,2TT］

上单调递增，

所以『(x)的最小正周期为T=2n；

当2kirWxW2kTT+TT,keZ时，y=cosx递减，所以)，=sin(cosx)递减；

当2Kr+nWxW2内T+2TT,keZ时，y=cosx递增，所以y=sin(cosx)递增.

所以/(x)在［2Kr,2E+n］,Z6Z上是严格减函数：在［2^+n,2内keZ上是严格增函数，

由xeR,可得cosx€［-l,1J,而［-1,ljc［-2L,2L］,

22

所以sin(cosx)G[sin(-1),sinl]=[-sinl,sinl].

即/(x)的值域为[-sinl,sinl].

【点评】本题考查三角函数的图象和性质，以及复合函数的单调性，考查转化思想和推理能力，属于中档

题.

8.(2022春•浦东新区校级期中)已知/(x)=-sin(2x+—)+1.

4

(1)求函数y=/(x)的单调增区间；

(2)若关于x的不等式<1-切对工4三，三]恒成立，求实数机的取值范围.

242

【分析】通过正弦函数的单调性及值域可解决此题.

【解答】解：(1)由2hr+?LW2x+_ZLw2hT+22L,得：kTT+」LWx〈hr+且L,...函数f(x)的单调递增