九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第01讲 放缩与相似形（原卷版）

第01讲放缩与相似形【知识梳理】1、相似形的概念（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形，简称相似形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【考点剖析】一、比例的性质一、单选题1．（2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学校考阶段练习）已知，下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．2．（2019春·上海杨浦·九年级统考阶段练习）已知=，且b+d≠0，则=（）A． B． C． D．3．（2018秋·上海浦东新·九年级统考期末）已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中不一定正确的是（）A．a=c，b=d B．ad=bc C． D．4．（2021·上海·九年级专题练习）已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）A． B． C． D．5．（2019秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km二、填空题6．（2018秋·上海宝山·九年级校考期中）如果，那么_________7．（2021·上海·九年级专题练习）已知，，则________．8．（2018·上海普陀·统考一模）已知，则=_____．9．（2018·上海奉贤·统考二模）将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度是9厘米．如果将这样相同厚度的书叠起来的高度是42厘米，那么这些书有_____本．10．（2022秋·上海浦东新·九年级上海市建平中学西校校考期中）已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．11．（2021·上海·九年级专题练习）如图，D为的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中____是AD和AB的比例中项．二、相似图形一、单选题1．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（

）A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列图形一定相似的为（

）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形C．两个矩形 D．两个平行四边形3．（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（

）A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例4．（2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．任意两个菱形都相似B．任意两个正方形都相似C．任意两个等腰三角形都相似D．任意两个矩形都相似5．（2014秋·上海普陀·九年级统考期末）如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换6．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）下列各组中两个图形不相似的是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2020秋·九年级校考课时练习）相似的两个图形，它们的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．8．（2017秋·上海·九年级校考阶段练习）某城市的有一时期的两张地图，甲地图比例尺为1:1000000，乙地图的比例尺为1:200000，则甲地图和乙地图的相似比为____________三、解答题9．（2021·上海·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．三、相似多边形的性质一、单选题1．（2019秋·上海·九年级校考阶段练习）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变2．（2017秋·上海·九年级校考期中）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（

）A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积二、填空题3．（2020秋·上海浦东新·九年级校联考阶段练习）四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是______．4．（2020秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为_______．5．（2016秋·上海嘉定·九年级统考期末）将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是____．6．（2018秋·上海嘉定·九年级统考期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25º、55º，则另一个三角形的最大内角的度数为__________．7．（2023·上海黄浦·统考一模）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．8．（2019秋·上海·九年级上海市育才初级中学校考阶段练习）已知：如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，则AB的长为____________．9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________10．（2021·上海·九年级专题练习）四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是__________．三、解答题11．（2020秋·九年级校考课时练习）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．12．（2018秋·上海·九年级阶段练习）设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长．13．（2022·上海·九年级专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．(1)已知，，，求的度数；(2)已知，，，，，求四边形的周长．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2023•崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是（）A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形2．（2021秋•昭平县期末）下列和右图相似的图形是（）A． B． C． D．3．（2022秋•黄浦区期中）下列图形中，一定相似的是（）A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B．有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．两个长方形 D．有一个内角为80°的两个菱形4．（2022秋•奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个等腰直角三角形 B．各有两边长是4和5的两个直角三角形 C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形 D．各有一个角是40°的两个等腰三角形5．（2023•长宁区一模）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形6．（2022秋•浦东新区期中）下列各组中两个图形不相似的是（）A． B． C． D．二．填空题（共9小题）7．（2019秋•徐汇区期末）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是.（用a的代数式表示）．9．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为．10．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为．11．（2016秋•普陀区期末）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．12．（2019秋•杨浦区期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝度．13．（2017秋•杨浦区校级月考）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为．14．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于