2021年新七年级数学暑假课程（华师大版）第7讲 有理数的乘除法-【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假课程（华师大版）（解析版）

第7讲有理数的乘除法【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【基础知识】考点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．考点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．考点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．考点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．考点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．考点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.考点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．考点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．考点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【考点剖析】考点一：有理数的乘法运算例1．（台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（） A． B． C． D． 【思路】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可【答案】D．【解析】解：原式=××=.【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．例2．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．例3.运用简便方法计算：(1)(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)【思路】(1)根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．【解析】解：(1)（分配律）(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]（交换律）＝-1×(-50)＝50（结合律）(3)（逆用乘法的分配律）【总结】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．举一反三：【变式1】（玄武区一模）计算16.8×+7.6×的结果是．【答案】7．解：原式=8.4×=（8.4+7.6）×=16×=7．【变式2】；【答案】（考点二：有理数的除法运算例3．．计算：(1)(-32)÷(-8)（2）【解析】(1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)=4……用法则二进行计算．(2)……用法则一进行计算．【总结】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．举一反三：【变式】计算：（1）【答案】原式考点三：有理数的乘除混合运算例4．（德惠市校级期中）计算：（﹣2）×【思路】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】解：原式=2××3×3=9．【总结】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)【答案】(-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝【变式2】计算：(1)(2)【答案】(1)(2)考点四：有理数的加减乘除混合运算例5．计算（1）；（2）【答案】（1）=6-2+9-5=8（2）法1：原式=法2：由（1）知：，所以【总结】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．举一反三：【变式】【答案】原式考点五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题例6.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．【答案】解：(℃)因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．【真题演练】一、选择题1．（佛山）﹣3的倒数为（） A．﹣ B． C． 3 D． ﹣3【答案】A．2.下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）=6；②（﹣36）÷（﹣9）=﹣4；③×（﹣）÷（﹣1）=；④（﹣4）÷×（﹣2）=16．其中正确的个数（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）=﹣6，故原题计算错误；②（﹣36）÷（﹣9）=4，故原题计算错误；③×（﹣）÷（﹣1）=，故原题计算正确；④（﹣4）÷×（﹣2）=16，故原题计算正确，正确的计算有2个，故选：C．3.下列说法错误的是（）A.一个数与1相乘仍得这个数.B.互为相反数（除0外）的两个数的商为-1.C．一个数与-1相乘得这个数的相反数.D.互为倒数的两个数的商为1.【答案】D【解析】D错误，因为互为倒数的两个数的积是1，而不是商.4.两个数之和为负，商为负，则这两个数应是()A．同为负数B．同为正数C．一正一负且正数的绝对值较大D．一正一负且负数的绝对值较大【答案】D【解析】商为负，说明两数异号；和为负，说明负数的绝对值较大.5.计算：的结果是（）A．-8B．8C．-2D．2【答案】A【解析】6.在算式中的所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（）．A．+B．-C．×D．÷【答案】C【解析】填入“+”时，算式4-|-3+5|＝4-2＝2；填入“-”时，算式4-|-3-5|＝4-8＝-4；填入“×”时，算式4-|-3×5|＝4-15＝-11；填入“÷”时，4-|-3÷5|＝．因此，填入“×”时，计算出来的值最小．7.下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】②③正确．0-(-5)＝5；(-36)÷(-9)＝4．二、填空题8．（镇江二模）（﹣6）×（﹣）=．【答案】2.【解析】（﹣6）×（﹣）=2.9.若，则0，0，0.【答案】＜，＜，＞【解析】由可得：同号，又，所以同负，进而可得：这两个数的商应为正数.10.若|a|＝5，b＝-2，且a÷b＞0，则a+b＝________．【答案】-7【解析】由|a|＝5，知a＝±5．而ab＞0，说明a、b是同号，而b＝-2<0，所以a＝-5，所以a+b＝(-5)+(-2)＝-7．11.在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘所得积最大的是，所得的商最小是【答案】12；-2【解析】选择3和4相乘所得的积最大，选择4和-2，并且4除以-2所得的商最小.12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数，则在这6个乘数中，正的乘数有个.【答案】1,3,5【解析】积为负数，说明其中负因子的个数为奇数个，因为共有偶数个因子，所以正因子的个数也为奇数个，所以为：1,3,513.如果，那么0.【答案】＜【解析】由可得：异号，又与同号，所以而所以14.是一个简单的数值运算程序，当输入-1时，则输出的数值____．【答案】4【解析】(-1)×(-1)+3＝4三、解答题15.计算：(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)(2)(3)(-6)×45+(-6)×55（4）.【解析】(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)＝0(2)(3)(-6)×45+(-6)×55＝(-6)×(45+55)＝-600（4）原式=16．（杭州）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【解析】解：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：原式=6÷（﹣+）=6÷（﹣）=6×（﹣6）=﹣36．17.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的结果是多少？【解析】由题意得a+b＝0，cd＝1，m＝1或m＝-1．当m＝1时，原式；当m＝-1时，原式．综合可知：的结果是0或-2．18.受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．【解析】不需要改做其他项目．理由：(-15)×3+20×3+17×4+(-23)×2＝-45+60+68-46＝37(万元)．因为，所以不需要改做其他项目．【过关检测】一、基础巩固1．下列关系不成立的是()A.eq\f(－a,b)＝eq\f(a,－b)＝－eq\f(a,b) B.－eq\f(－a,b)＝eq\f(a,b)C.eq\f(－a,－b)＝eq\f(a,b) D.－eq\f(－a,－b)＝eq\f(a,b)【答案】D2．若两个有理数的商是负数，则这两个数一定()A.都是正数B.都是负数C.符号相同D.符号不同【答案】D3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则eq\f(a,b)的值为()A.1 B.－1 C.0 D.2【答案】B4．【中考·六盘水】下列运算结果正确的是()A.－87×(－83)＝7221 B.－2.68－7.42＝－10C.3.77－7.11＝－4.66 D.eq\f(－101,102)＜eq\f(－102,103)【答案】B5．下列运算中错误的是()A.eq\f(1,2)÷(－2)＝2×(－2)B.(－4)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(－4)×(－2)C.8÷(－4)＝－2D.0÷(－3)＝0【答案】A6．下列说法错误的是()A.一个数同1相乘，仍得这个数B.一个数同－1相乘，得原数的相反数C.互为相反数的两数的积为1D.一个数同0相乘，得0【答案】A7．【中考·河北】点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b－a<0;乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|;丁：eq\f(b,a)＞0.其中正确的是()A.甲、乙 B.丙、丁 C.甲、丙 D.乙、丁【答案】C8．【常德】已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A.a>b B.|a|＜|b|C.ab>0 D.－a＞b【答案】D9．【重庆】由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为()A.11 B.13 C.15 D.17【答案】B10．下列说法错误的是()A.任何有理数都有倒数B.互为倒数的两个数的积为1C.互为倒数的两数符号相同D.1和1互为倒数【答案】A拓展提升1【中考·杭州】计算6÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\v