2024届山东省德州市高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山东省德州市2024届高三二模数学试题一、选择题1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意知：，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.若随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗B〖解析〗由随机变量，根据正态分布性质可知：，因，可得，再根据正态分布曲线的对称性可知：，所以，故选：B.3.若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗抛物线的焦点坐标为，则有，解得.故选：C.4.已知，，若是的充分不必要条件，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗命题，即，因为是的充分不必要条件，显然当时满足，所以当时恒成立，则在上恒成立，又函数在上单调递增，且，所以.故选：A5.展开式中的系数为（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗现有8个相乘，从每个中三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.所以，总的选取方法数目就是.每个这样选取后相乘结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.故选：C.6.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得：，又因为是的一条对称轴，所以，即，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：时，；时，；时，；时，.故选：B.7.在中，交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可建立如图所示坐标系：由图可得：，又，故直线的方程：，可得，所以，故选：C.8.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，，所以，则，所以，，，两式相减可得：，所以，因为，所以在在单调递增，所以恒成立，所以，所以的最小值为.故选：A.二、选择题9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.的最小正周期为C.的最小值为 D.在上单调递增〖答案〗AC〖解析〗对于A，函数定义域为，有，所以是奇函数，A正确；对于B，有，所以，这表明不是的周期，B错误；对于C，我们有，而之前已计算得到，故的最小值为，C正确；对于D，由于，，故，所以在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.10.已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（）A.若，则B.的最小值为C.若满足的直线恰有一条，则D.若满足的直线恰有三条，则〖答案〗ACD〖解析〗A：当时，因为，所以，故A正确；B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点）当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为，代入双曲线方程为，解得，此时弦长为，由于不一定等于，故B错误；C：若满足的直线恰有一条，由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以，此时，故C正确；D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，所以，所以，又，所以，故D正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（）A.存在使得B.存在使得平面C.若长度为定值，则时三棱锥体积最大D.当时，直线与所成角的余弦值的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由题：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，对A，由上，故A错误；对B，由题意是平面的一个法向量，，故当时，此时平面，故B正确；对C，由上，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设点Q到平面的距离为d，则由得，又由题意可知，故，因为长度为定值，所以为定值，故当时，三棱锥体积最大，故C正确；对D，设直线与所成角为，由上当时，当且仅当即时等号成立，故D对.故选：BCD.三、填空题12.已知集合，若，则实数的值为______．〖答案〗1或2〖解析〗因为集合，若，所以，所以或或或，或或或或，解得：或或或或或或或，当时，，不满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；综上：实数的值为1或2.故〖答案〗为：1或2.13.在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以由余弦定理，得，所以，又，则，所以由余弦定理以及基本不等式得：，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值为，故〖答案〗为：.14.当时，，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗令，则，由，故，即，即“”是“当时，”的必要条件，当时，令，则，故在上单调递增，即，即，则有，令，则，故在上单调递增，即，即，则有，即有，令，则，由，，故，即在上单调递增，则有，即，故“”是“当时，”的充分条件，故实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设的公差为，由题意知，即，即有，因为，可得，，所以；（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，则，，所以．16.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？

青年非青年合计喜欢

20

不喜欢60

合计

200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为，年龄在50岁以下的居民所占比例为，所以分位数位于内，由，所以，样本数据的分位数为45；（2）（i）由题知，列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200根据列联表中的数据，可得：所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，，，所以，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．17.如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．（1）证明：连接，取中点，连接．因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面，所以．所以，在中，，同理，因为，所以．因为为中点，所以，因为，且在同一平面内，所以，又因为平面，平面，所以平面．又因为，平面，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：以为坐标原点，分别以以及与垂直向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．在直角中，因为，所以，在中，，所以，又，所以．设面的一个法向量，则，即，取，则，所以．设面的一个法向量，则，即，取，则，所以．设二面角为，由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为．18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题可知，，且在定义域上单调递增，当时，恒成立，此时在上单调递减，当时，令，则，所以时，，此时单调递减；时，，此时单调递增，当，即时，此时在恒成立，单调递增，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.（2）因为，所以，又，所以，即，故时，恒成立，令，，则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，从而．将两边同时取以为底的对数可得整理可得．令，则，且在上单调递增，因为且，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，又因为，所以．19.已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；（2）设点为直线上一点，且，求的最小值．（1）证明：由题意可知，，所以，所以椭圆方程为，设直线方程为，联立，消可得，，所以，因为过点的切线为，过点的切线为，由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上，法一：联立，消去得，，将代入上式得，所以点在直线上．法二：因为点在两切线上，所以，所以直线的方程为，又直线过点，所以，解得．（2）解：将代入得，，直线的方程为，设直线和交于点，联立，解得，又，所以为线段的中点，因为，所以，又因为，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为12．山东省德州市2024届高三二模数学试题一、选择题1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意知：，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.若随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗B〖解析〗由随机变量，根据正态分布性质可知：，因，可得，再根据正态分布曲线的对称性可知：，所以，故选：B.3.若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗抛物线的焦点坐标为，则有，解得.故选：C.4.已知，，若是的充分不必要条件，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗命题，即，因为是的充分不必要条件，显然当时满足，所以当时恒成立，则在上恒成立，又函数在上单调递增，且，所以.故选：A5.展开式中的系数为（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗现有8个相乘，从每个中三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.所以，总的选取方法数目就是.每个这样选取后相乘结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.故选：C.6.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得：，又因为是的一条对称轴，所以，即，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：时，；时，；时，；时，.故选：B.7.在中，交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可建立如图所示坐标系：由图可得：，又，故直线的方程：，可得，所以，故选：C.8.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，，所以，则，所以，，，两式相减可得：，所以，因为，所以在在单调递增，所以恒成立，所以，所以的最小值为.故选：A.二、选择题9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.的最小正周期为C.的最小值为 D.在上单调递增〖答案〗AC〖解析〗对于A，函数定义域为，有，所以是奇函数，A正确；对于B，有，所以，这表明不是的周期，B错误；对于C，我们有，而之前已计算得到，故的最小值为，C正确；对于D，由于，，故，所以在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.10.已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（）A.若，则B.的最小值为C.若满足的直线恰有一条，则D.若满足的直线恰有三条，则〖答案〗ACD〖解析〗A：当时，因为，所以，故A正确；B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点）当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为，代入双曲线方程为，解得，此时弦长为，由于不一定等于，故B错误；C：若满足的直线恰有一条，由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以，此时，故C正确；D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，所以，所以，又，所以，故D正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（）A.存在使得B.存在使得平面C.若长度为定值，则时三棱锥体积最大D.当时，直线与所成角的余弦值的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由题：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，对A，由上，故A错误；对B，由题意是平面的一个法向量，，故当时，此时平面，故B正确；对C，由上，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设点Q到平面的距离为d，则由得，又由题意可知，故，因为长度为定值，所以为定值，故当时，三棱锥体积最大，故C正确；对D，设直线与所成角为，由上当时，当且仅当即时等号成立，故D对.故选：BCD.三、填空题12.已知集合，若，则实数的值为______．〖答案〗1或2〖解析〗因为集合，若，所以，所以或或或，或或或或，解得：或或或或或或或，当时，，不满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；综上：实数的值为1或2.故〖答案〗为：1或2.13.在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以由余弦定理，得，所以，又，则，所以由余弦定理以及基本不等式得：，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值为，故〖答案〗为：.14.当时，，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗令，则，由，故，即，即“”是“当时，”的必要条件，当时，令，则，故在上单调递增，即，即，则有，令，则，故在上单调递增，即，即，则有，即有，令，则，由，，故，即在上单调递增，则有，即，故“”是“当时，”的充分条件，故实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设的公差为，由题意知，即，即有，因为，可得，，所以；（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，则，，所以．16.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？

青年非青年合计喜欢

20

不喜欢60

合计

200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为，年龄在50岁以下的居民所占比例为，所以分位数位于内，由，所以，样本数据的分位数为45；（2）（i）由题知，列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200根据列联表中的数据，可得：所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，，，所以，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．17.如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．（1）证明：连接，取中点，连接．因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面，所以．所以，在中，，同理，因为，所以．因为为中点，所以，因为，且