解三角形及其应用教师版

解三角形及其应用1.(2024·海南校考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=83,b=6,A=60°,则sinB=().A.23 B.63 C.22 【答案】D【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,则83sin60°=6sinB,故2.(2024·四川模拟)在△ABC中,已知A=7π12,C=π6,AC=22,则AB边的长为(A.22 B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】由A=7π12,C=π6,可得B=π-A-C=π-7π12-π6=π4,由正弦定理可得ACsinB=AB3.(2024·浙江检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a2+c2-ac,则B=().A.π6 B.π3 C.3π4【答案】B【解析】依题意得b2=a2+c2-ac,即a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=124.(2024·湖南模拟)在△ABC中,BC=3,sinB+sinC=103sinA,且△ABC的面积为12sinA,则A=(A.π6 B.π4 C.π3 【答案】D【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为sinB+sinC=103sinA,所以由正弦定理可得b+c=103a=10,又S△ABC=12bcsinA=12sinA,所以由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc5.(2024·黑龙江统考)爱立信球形体育馆位于瑞典斯德哥尔摩,其外形像一个大高尔夫球.某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径,在体育馆外围测得AB=406m,CD=80m,∠ACB=45°,∠ABC=∠ACD=60°(其中A,B,C,D四点共面),据此可估计该体育馆的直径AD为().(参考数据:3≈1.732,7≈2.646)A.98m B.102m C.106m D.122m【答案】C【解析】如图,连接AC,AD,在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=即AC32=40622在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD,即AD2=1202+802-2×120×80×12=11200,所以AD=11200=407≈106(m)6.(2024·上海期中)在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,则最长边c的取值范围是().A.(6,3) B.(2,5)C.(5,22) D.(5,3)【答案】D【解析】因为△ABC是钝角三角形,a=1,b=2,且c是最长边,所以由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0,即c2>a2+b2=5,又c>0,所以c>5.因为c<a+b=3,7.(2024·山东统考)某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离,已知旗杆AM高15m,教学楼BN高21m,在与A,B同一水平面的C处测得的旗杆顶部M的仰角为30°,教学楼顶部N的仰角为60°,∠ACB=120°,则M,N之间的距离为().A.511m B.1137mC.1143m D.1173m【答案】D【解析】如图,过点M作MD⊥BN于点D,则MD=AB.在Rt△ACM中,AM=15,∠ACM=30°,∴AC=3AM=153.在Rt△BCN中,BN=21,∠BCN=60°,∴BC=BN3=73.易知BD=AM=15,DN=BN-BD=6在△ABC中,∠ACB=120°,由余弦定理得AB=A=(=1137,∴DM=AB=1137.在Rt△DMN中,∠MDN=90°,得MN=DM2+DN2=(8.(2024·浙江模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=π3,a=4,且该三角形有两解,则b的取值范围是()A.(23,+∞) B.(23,4)C.(0,4) D.(33,4)【答案】B【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=4×sinπ3sinA=23sinA.因为该三角形有两解,所以π3=B<A<2π3,A≠π2,故sin【方法解读】解三角形之“三角形解的个数”问题在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解9.(2024·福建期中)(多选题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法不正确的是().A.若A>B,则sinA>sinBB.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形C.若sinA-sinB=cosB-cosA,则△ABC为等腰三角形D.若a=3,b=2,A=60°,则符合条件的△ABC有两个【答案】BCD【解析】对于选项A,由正弦定理得asinA=bsinB=2R,即a=2RsinA,b=2RsinB,因为A>B,所以a>b,所以2RsinA>2RsinB,得到sinA>sinB,对于选项B,sin2A+sin2B>sin2C,则由正弦定理得a2+b2>c2,即a2+b2-c2>0,又因为cosC=a2+b2-c22ab,所以cosC>0,即C为锐角,但无法判断对于选项C,由sinA-sinB=cosB-cosA,得sinA+cosA=sinB+cosB,则有2sinA+π4=2sinB+π4,即A=B或A+B=π2,所以选项C错误;对于选项D,因为a=3,b=2,A=60°,所以bsinA=2×32=3<a,又b<a,所以符合条件的△ABC只有1个,所以选项D错误.故选BCD10.(2024·上海模拟)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则C=.

【答案】π【解析】因为(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),变形得a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=1211.(2024·陕西模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.已知a=3,S为△ABC的面积,则S+3cosBcosC的最大值是.

【答案】3【解析】因为a2=b2+c2+3bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=-32,因为0<A<π,所以A=5π6.设△ABC外接圆的半径为R,则2R=asinA=3sin5π6=23,所以b=2RsinB=23sinB,c=23sinC,所以S+3cosBcosC=12bcsinA+3cosBcosC=14bc+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),12.(2024·山西统考)以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在△ABC中,已知A=90°,AC=23,BC=43,现以AB,BC,CA为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为D,E,F,则DE的长为().A.42 B.27 C.33 D.25【答案】B【解析】如图,在Rt△ABC中,AB=BC2-AC2=6,由题意可知BE=12×BCsin60°=12×4332=4,BD=12×ABsin60°=12×632=23,且∠EBC=∠13.(2024·江苏期中)(多选题)下列结论正确的是().A.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形B.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件C.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=cos2xD.在△ABC中,若AB=3,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为34或【答案】BCD【解析】A选项中,因为sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,所以A错误B选项中,由A>B,得a>b,则由正弦定理得sinA>sinB,反之亦成立,所以B正确;C选项中,将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度,得到y=sin2x+π4=sin2x+π2=cos2x的图象,所以C正确;D选项中,由正弦定理得ABsinC=ACsinB,即3sinC=1sin30°,得sinC=32,则C=60°或C=120°,所以A=90°或A=30°,所以△ABC的面积为S=12×3×1×sin90°=32或S=12×3×114.(2024·湖北联考)(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,a2+b2-c2=2absinC,tanA-tanBtanA+tanBA.C=πB.△ABC外接圆的半径为1C.c=2D.△ABC的面积为3+【答案】ABC【解析】因为a2+b2-c2=2absinC,所以由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=sinC,故tanC=1.因为C为△ABC的内角由tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,得sinAcosA-sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinC-sinBsinC,则sin(A-B)sin(A+B)=sin(A+B)-sinBsin(A+B),整理得2sinBcosA=由正弦定理得c=asinCsinA=3×22因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=32×22+12×22=6+24,所以△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12×3×2×6+15.(原创)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,2sinB+3bcosA-32ab=0,△ABC的面积为3,则b+c=()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】因为a=2,2sinB+3bcosA=3b,所以asinB+3bcosA=3b,由正弦定理可得sinA·sinB+3sinBcosA=3sinB,即2sinA+π3=3,得sinA+π3=32.因为π3<A+π3<4π3,所以A+π3=2π3,得A=π3,所以S△ABC=12bcsinA=由余弦定理知a2=4=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,所以b+c=4.16.(原创)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足1tanA+1tanB=c3b【答案】1【解析】由1tanA+1tanB=c3bcosA,得cosAsinA+cosBsinB=sinC3sinB由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时等号成立,所以a2bc的最小值为17.(原