4.5.1　函数的零点与方程的解

4.5.1函数的零点与方程的解第四章

§4.5函数的应用(二)1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.学习目标一、函数的零点与方程的解问题1

观察下列三组方程与函数：方程函数x2－2x－3＝0y＝x2－2x－3x2－2x＋1＝0y＝x2－2x＋1x2－2x＋3＝0y＝x2－2x＋3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系.提示方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点.问题2问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？提示不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.知识梳理1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使

的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：f(x)＝0f(x)＝0x轴注意点：(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；(2)求零点可转化为求对应方程的解；(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解.√√反思感悟探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练1

求下列函数的零点：解当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.(2)f(x)＝(lgx)2－lgx.解令(lgx)2－lgx＝0，则lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10，∴函数f(x)的零点是1,10.二、函数零点存在定理问题3探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？提示利用图象可知，零点－5∈(－6，－4)，零点1∈(0,2)，且f(－6)·f(－4)<0，f(0)·f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的.知识梳理函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条

的曲线，且有

，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个c也就是方程f(x)＝0的解.注意点：(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且

；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，

是函数有零点的充分不必要条件；(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.连续不断f(a)f(b)<0f(c)＝0f(a)·f(b)<0f(a)·f(b)<0例2

(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点解析由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.√√√反思感悟确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.A.(0,1) B.(1,10) C.(10,100) D.(100，＋∞)解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内单调递增，√∴在(1,10)内，函数f(x)存在零点.三、函数零点个数的问题问题4你现在能说出问题1中的三个函数的零点的个数吗？是怎么判断的？提示第一个函数有两个零点，第二个函数有一个零点，第三个函数没有零点.可以直接求解或利用二次函数的判别式判断个数，对于一般的函数可利用函数图象判断与x轴的交点个数.例3

判断下列函数的零点的个数.(2)f(x)＝lnx＋x2－3.解方法一

函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点.从而方程lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝lnx＋x2－3有一个零点.方法二

由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个.反思感悟判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.解析作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点.31.知识清单：(1)函数的零点定义.(2)函数的零点与方程的解的关系.(3)函数零点存在定理.(4)函数零点个数的判断.2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法.3.常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题.课堂小结随堂演练1.函数f(x)＝log2x的零点是A.1 B.2 C.3 D.41234√解析令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.解析易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增.√123412343.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则A.方程f(x)＝0一定有一实数解

B.方程f(x)＝0一定无实数解C.方程f(x)＝0一定有两实根

D.方程f(x)＝0可能无实数解√解析∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管有f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解.1234解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.4.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有___个.3课时对点练基础巩固1234567891011121314151.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是A.若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C.若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0解析对于选项A，可能存在；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立.16√2.下列函数不存在零点的是123456789101112131415解析令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；16√只有选项D中函数无零点.1234567891011121314153.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)√解析f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4).161234567891011121314154.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于A.0 B.1 C.－1 D.不能确定解析因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.√16123456789101112131415解析当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.√16综上所述，函数f(x)的零点为0.1234567891011121314156.(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有√16√解析根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，选项A中与x轴没有交点，即函数没有零点；选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；选项C，D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点.123456789101112131415解析因为函数f(x)＝x2＋x－1的两个零点分别为x1和x2，所以x1和x2是x2＋x－1＝0的两个实数根，所以x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，1611234567891011121314158.已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是__________.解析由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，16即为函数g(x)的零点.1234567891011121314159.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点.(1)f(x)＝－x2＋2x－1；解令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.16(2)f(x)＝x4－x2；解令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.123456789101112131415(3)f(x)＝4x＋5；16(4)f(x)＝log3(x＋1).解令4x＋5＝0，则4x＝－5，因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解.所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点.解令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.123456789101112131415解∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点，∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解，∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.∴g(x)＝－x3－2x＋4.∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0，∴y＝g(x)在区间(1,2)内有零点.又∵y＝g(x)在R上是单调函数，∴y＝g(x)只有一个零点.综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1,2).1610.函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间.123456789101112131415综合运用A.2 B.3 C.4 D.2或3或4√161234567891011121314151612345678910111213141512.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上A.至少有一实数根

B.至多有一实数根C.没有实数根

D.必有唯一的实数根√解析由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根.1613.已知函数y＝f(x)的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是12345678910111213141516x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88A.函数y＝f(x)在区间[1,6]上有3个零点B.函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点C.函数y＝f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点D.函数y＝f(x)在区间[1,2]上无零点√解析由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.由函数零点存在定理，知函数y＝f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至少存在1个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.虽然f(1)·f(2)>0，但函数y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在零点.1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_______.(用“<”连接)12345678910111213141516a<b<c解析画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log