新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式12基本不等式课件湘教版必修第一册

2.1.2基本不等式第2章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解基本不等式a2+b2≥2ab,(a≥0,b≥0).(数学抽象)2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(数学运算)课前篇自主预习情境导入某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均数

作为项链的质量来计算.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢?知识梳理知识点:基本不等式1.定理:对任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.2.推论:对任意a,b≥0,必有,当且仅当a=b时等号成立.

算术平均数

几何平均数

上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.名师点析

基本不等式定理和推论的区别与联系

基本不等式a2+b2≥2ab适用范围a,b∈Ra≥0,b≥0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数“=”成立的条件a=ba=b微思考(1)基本不等式中的定理和推论之间有怎样的联系?(2)当a>0,b>0时,由a2+b2≥2ab你能得到哪些变形式?课堂篇探究学习探究一对基本不等式的理解例1(多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(

)A.a2+1>a答案

ABC要点笔记应用基本不等式时要注意:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.变式训练1下列结论正确的是(

)答案

B探究二利用基本不等式证明不等式例2已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,分析不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用基本不等证明∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,反思感悟

利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.探究三利用基本不等式求最值例3(1)已知x>0,则

+x的最小值为(

)A.6 B.5 C.4 D.3(1)答案

A反思感悟

利用基本不等式求最值的常用方法(1)直接利用基本不等式求最值.(2)函数法:若利用基本不等式时等号取不到,则无法利用基本不等式求最大(小)值,则可将要求的式子看成一个函数,利用函数求最大(小)值.素养形成基本不等式在求解恒成立与存在性(有解)问题中的应用由于利用基本不等式可以求某些特定式子的最值,因此基本不等式可以求解一类含参数的恒成立问题与存在性问题,求解的一般思路是:若能够将参数进行分离,则分离参数后转化为最值问题求解,若不能分离参数,则直接将参数看作已知量求解.典例(1)(2021北京海淀高一期末)对任意的正实数x,y,不等式x+4y≥m恒成立,则实数m的取值范围是(

)A.{m|0<m≤4} B.{m|0<m≤2}C.{m|m≤4} D.{m|m≤2}(2)若存在实数x>0,使不等式x2-ax+1≤0成立,则实数a的取值范围是(

)A.{a|a≤2} B.{a|a≥2}C.{a|a>2} D.{a|a<2}答案

(1)C

(2)B

(3){a|a≥1}当且仅当x=4y时等号成立,所以m≤4.故选C.(2)存在实数x>0使不等式x2-ax+1≤0成立,即存在实数x>0使不等式ax≥x2+1成立.当堂检测1.下列说法正确的个数是(

)①a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0;②a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;A.1 B.2 C.3 D.0答案

B解析

根据不等式成立的条件可知只有②③正确,故选B.答案

D3.(2020陕西新城西安中学高