第26讲圆与圆的位置关系（三大题型归纳分层练）

第26讲圆与圆的位置关系目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01两圆位置关系的判断 3题型02相交弦问题 7题型03圆与圆的综合性问题 10分层练习 12夯实基础 12能力提升 20创新拓展 29两圆位置关系的判断1．代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：位置关系图示d与r1，r2的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|注意点：利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法．题型01两圆位置关系的判断【解题策略】判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系【典例分析】课本例5已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．解方法一将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，①,x2＋y2－4x－4y－2＝0.②))①－②，得x＋2y－1＝0，③由③，得y＝eq\f(1－x,2).把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．方法二把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5.把圆C2的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10，圆C2的圆心是(2,2)，半径r2＝eq\r(10).圆C1与圆C2的圆心距为eq\r(－1－22＋－4－22)＝3eq\r(5).圆C1与圆C2的两半径长之和r1＋r2＝5＋eq\r(10)，两半径长之差r1－r2＝5－eq\r(10).因为5－eq\r(10)<3eq\r(5)<5＋eq\r(10)，即r1－r2<3eq\r(5)<r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交(如图)，它们有两个公共点A，B.【例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．解圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．(4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含．【变式演练】【变式1】(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是()A．4B．6C．16D．36答案C解析圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴eq\r(2＋12＋0－42)＝1＋eq\r(a)，解得a＝16.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．答案4解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝eq\r(3＋12＋－1－22)＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．【变式2】（2324高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆.(1)求圆的方程；(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由.【答案】(1)(2)和圆相交，理由见解析，【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解；（2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长.【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得：，所以圆的方程为：（2）由（1）得圆的标准方程为：.∴，，，∵所以圆和圆相交【变式3】（2324高二上·安徽铜陵·期中）已知圆经过，两点．(1)求圆的半径；(2)判断圆（且）与圆的位置关系．【答案】(1)2(2)圆与圆外离【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果.（2）比较两圆心距与即可判断.【详解】（1）由题可得，解得，所以圆的一般方程为，则标准方程为，故圆的半径为2．（2）由（1）可知圆的圆心．半径，又圆N的圆心，半径，所以，，又因为，所以，所以圆与圆外离题型02相交弦问题【解题策略】(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解【典例分析】【例2】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，①,x2＋y2＋6y－28＝0.②))由①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．又圆C1的圆心(－3,0)，r＝eq\r(13)，∴C1到直线AB的距离d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2)，即两圆的公共弦长为5eq\r(2).(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故所求圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq\r(\f(89,2)).故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))2＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.【变式演练】【变式1】（2324高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为.【答案】【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.【详解】圆：和圆：，两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意.故答案为：【变式2】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)解析方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3，))所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为eq\r(3－32＋3＋12)＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，))所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.【变式3】（2324高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2．(1)求圆的标准方程；(2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解，（2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解.【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为，由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值．圆心到直线的距离．即．．圆的方程为．（2）由圆：和圆：，由于两圆的圆心距为，故两圆相交，两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为．圆心到直线的距离为．弦长题型03圆与圆的综合性问题【解题策略】通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．【典例分析】【例3】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则eq\r(a－12＋b2)＝r＋1.①又所求圆过点M的切线为直线x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3).②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【变式演练】【变式1】（2324高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为．【答案】【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程.【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为，两圆圆心距为，故，因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为.故答案为：【变式2】（2324高二上·全国·期中）以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是．【答案】或【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程．【详解】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为，设所求圆的半径为，可得或，解得或，所求圆的方程为或.故答案为：或【变式3】（2324高二上·陕西渭南·期末）（1）已知直线经过点，在两坐标轴上的截距都不等于零，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程；（2）求以为圆心，且与圆相外切的圆的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直线的截距式与待定系数法即可得解；（2）利用待定系数法与两圆外切列式求得，从而得解.【详解】（1）依题意，设直线的方程为，由该直线过点可得，解得，所以该直线的方程为，即．（2）设所求圆的方程为，因为两个圆的圆心距，又两个圆外切时满足，故，所以所求圆的方程为【夯实基础】一、单选题1．（2223高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【答案】B【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可.【详解】的圆心为，半径为1，的圆心为，半径为1，可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.故选：B2．（2324高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可.【详解】两个圆的方程相减，得，故选：C3．（2324高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程.【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则，于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，，因此以为直径的圆方程为，圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，所以直线AB的方程为.故选：A4．（2324高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】A【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为；，则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离，且满足，可知两圆相交.故选：A.二、多选题5．（2324高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（

）A．若圆和圆相交，则B．若圆和圆外切，则C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线D．当时，圆和圆相交弦长为【答案】ABD【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；则，对于选项A：若圆和圆相交，则，即，解得，故A正确；对于选项B：若和外切，则，即，解得，故B正确；对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交，所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误；对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交，且圆，，两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD6．（2324高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（

）A．圆的半径为16B．圆截轴所得的弦长为C．圆与圆：相外切D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D.【详解】由圆，可得圆的标准方程为，所以圆的半径为4，故A错误；令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，，则，是的两个根，所以，，所以，故B正确；两圆圆心距，故C正确；由圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则，解得或，即实数的取值范围是，故D错误.故选：BC.三、填空题7．（2324高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程．【答案】（答案不唯一）【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，故，故圆与圆外切，将与相减得，即两圆内公切线方程为，两圆圆心所在直线方程为，即，由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行，设为，圆心到的距离为，解得，故两圆的外公切线所在直线方程为和.故答案为：（或之一也可以）8．（2324高二上·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为.【答案】【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再利用点线距离公式与弦长公式即可得解.【详解】因为圆与圆，两圆方程相减得，因为圆的圆心为，半径为，则到此直线距离为，所以两圆相交，直线为两圆的公共弦所在直线，则所求公共弦长为．故答案为：．9．（2324高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有条．【答案】2【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数.【详解】化成标准方程为，圆心，半径，化成标准方程为，圆心，半径，两圆圆心距离，，则两圆相交，因而公切线只有两条．故答案为：2．四、解答题10．（2324高二下·上海·期中）已知圆．(1)求直线被圆截得弦长；(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.【详解】（1）由可得，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得弦长为.（2）设，则，解得，；因为圆与圆相切于原点，且圆过点，所以，，两边平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圆的方程为.11．（2324高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为．(1)求实数m的取值范围；(2)若直线与圆C相切，求实数m的值；(3)若圆C与圆相切，求实数m的值．【答案】(1)(2)(3)或.【分析】（1）将化为标准方程，再列不等式求解；（2）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；（3）根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.【详解】（1），可化为，所以；（2）由（1）知，圆心C(1,2)，半径，因为圆和直线相切，所以有，所以.（3）因为与圆C相切，所以或，解得或，故实数m的值是或.【能力提升】一、单选题1．（2324高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。【详解】根据题意可知，圆外离，，又．故选：D2．（2223高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离【答案】B【分析】根据两圆的半径关系和两圆心距离进行比较即可得出结果.【详解】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心，所以，，所以，故两圆外切，故选B.3．（2324高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4，则PQ为直径的圆的方程为：.将两圆方程相减可得公共弦方程为：.则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：.故选：D4．（2324高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可.【详解】由题意知：，所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，即直线是两圆的一条公切线；对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，即直线是两圆的一条公切线；对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，即直线是两圆的一条公切线；对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，即直线不可能是两圆的公切线；故选：D.二、多选题5．（2223高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆，则（

）A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则【答案】AD【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断A；两圆方程作差得到公共弦方程，即可判断B；由或即可判断C；两圆内切，即可求出，从而判断D.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，故A正确；当时，圆，则，此时，即两圆相交，则公共弦方程为，整理可得，故B错误；若圆与圆无公共点，则或，即可得或，解得或，故C错误；若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆相内切，则，即，解得，故D正确.故选：AD6．（2324高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（

）A．若圆关于直线对称，则B．的最小值为C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则【答案】BC【分析】对于A，根据直线过圆心可得；对于B，由直线时弦可解；对于C，对曲线方程整理，结合圆系方程可得；对于D，由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D即可求解.【详解】直线过定点，圆，即，圆心为，半径．对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误．对于B选项，圆的圆心为，半径为4，圆心到直线的距离的最大值为，所以的最小值为，故B正确．对于C选项，当时，直线：，曲线：，即，所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确．对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以，圆的方程为，整理得，直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为，将点坐标代入上式得，解得，所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误．故选：BC【点睛】结论点睛：过直线与圆交点的圆系方程为；圆和圆的公共弦所在直线方程为.三、填空题7．（2324高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为．【答案】【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程.【详解】由可得圆心为，半径为，由可得圆心为，半径为，两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为，有，故两圆相交，两圆方程作差为，化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为.故答案为：.8．（2324高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为．【答案】【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值.【详解】圆，化成标准方程为，圆心坐标为半径，圆，圆心坐标为半径，由两圆相内切，则圆心距，解得.故答案为：.9．（2324高二下·湖南岳阳·开学考试）已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为.【答案】【分析】根据题意可知点在圆外，可求出切点弦方程，再利两圆公共弦方程设出的外接圆方程，从而可求解.【详解】由题意得，所以点在圆外，由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程知识可得，即直线：，的外接圆与圆的交线为，则可得外接圆方程为：，将代入，得，解得，即外接圆方程为，即.故答案为：.四、解答题10．（2324高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标.【答案】内切，公共点为【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，则两圆内切，联立，则，则公共点坐标为.11．（2223高二上·山西太原·期中）已知直线过点，且被圆截得的弦的长为.(1)求直线的方程；(2)若直线的斜率存在，圆过两点，且圆心在上，求圆的方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与不存在两种情况，利用弦长公式与点线距离公式即可得解；（2）利用两圆相减得到公共弦所在直线的结论，假设圆的方程，从而由圆的一般方程可得圆心，将其代入，由此可求得圆的方程.【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，易得与圆的交点为，此时弦长为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线方程，即，因为圆，所以圆心，半径，设圆心到直线的距离为，因为，所以由弦长公式得，得，所以，解得，所以，直线方程为，即，综上：直线的方程为或.（2）由（1）得直线的方程为，圆，根据题意知直线是圆与圆的公共弦所在直线，而公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，故设圆的方程为，即，则其圆心坐标为，因为圆心在上，所以，解得，所以圆的方程为12．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．解(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，所以eq\f(|3k－4－k＋1|,\r(k2＋1))＝2，即eq\f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.(2)依题意，设D(a，a＋2)．又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD|＝5，所以eq\r(a－32＋a＋2－42)＝5，解得a＝－1或a＝6.所以D(－1,1)或D(6,8)，所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.【创新拓展】一、单选题1．（2324高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点.【详解】，圆心，半径由，得，圆心，半径，圆心距为，，故两圆相交，直线与圆及圆共有3个公共点，情形一，与圆在下方相切时，则，得，情形二，与圆在上方相切时，则，得，情形三，过两圆的交点时，两圆相减得，代入圆得：，则两交点分别为，代入直线，得，或则所有符合条件的a的和为.故选：D二、多选题2．（2324高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（

）A． B．圆与圆相交C．直线的方程为 D．直线l的方程为【答案】BD【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半