新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题06函数的概念(原卷版+解析)

专题06函数的概念【命题方向目录】命题方向一：函数的概念命题方向二：同一函数的判断命题方向三：给出函数解析式求解定义域命题方向四：抽象函数定义域命题方向五：函数定义域的应用命题方向六：函数解析式的求法方向1．待定系数法（函数类型确定）方向2．换元法或配凑法（适用于了型）方向3．方程组法方向4．求分段函数的解析式方向5．抽象函数解析式命题方向七：函数值域的求解方向1．观察法方向2．配方法方向3．图像法（数形结合）方向4．基本不等式法方向5．换元法（代数换元与三角换元）方向6．分离常数法方向7．判别式法方向8．单调性法方向9．有界性法方向10．导数法命题方向八：分段函数的应用方向1．求值问题方向2．求参数问题方向3．解不等式问题【2024年高考预测】2024年高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习．【知识点总结】1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应关系，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．（2）函数的实质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（3）函数表示法：函数书写方式为，．（4）函数三要素：定义域、值域、对应关系．（5）相等函数：两个函数只有在定义域和对应关系都相同时，两个函数才相等．2、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【方法技巧与总结】1、直线与函数的图象至多有1个交点．2、在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3、分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．4、函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．【典例例题】命题方向一：函数的概念例1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（

）A． B． C． D．【通性通解总结】利用函数概念判断命题方向二：同一函数的判断例4．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与例5．（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，例6．（2023·上海奉贤·统考一模）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，与是同一个函数的是（

）A． B．C． D．【通性通解总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．命题方向三：给出函数解析式求解定义域例7．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）函数的定义域为__________．例8．（2023·上海徐汇·统考三模）函数的定义域为__________.例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．变式4．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为______.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．【通性通解总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．命题方向四：抽象函数定义域例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为______.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.变式7．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则的定义域为________.变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.【通性通解总结】1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．命题方向五：函数定义域的应用例13．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．例14．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．例15．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．变式11．（2023·高三课时练习）若函数f(x)=的定义域为R，则的取值范围为_______.变式12．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.【通性通解总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．命题方向六：函数解析式的求法方向1．待定系数法（函数类型确定）例16．（2023·全国·高三专题练习）若是上单调递减的一次函数，且，则______.例17．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.变式13．（2023·全国·高三专题练习）某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________．方向2．换元法或配凑法（适用于了型）变式14．（2023·全国·高三专题练习）若，则f(x)＝________.变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的解析式为______．变式16．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．变式17．（2023·全国·高三专题练习），则_______．变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______变式20．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于___.变式22．（2023·全国·高三专题练习）设若，则_________.变式23．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A．0 B． C． D．1方向3．方程组法变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为________．变式25．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则___________.变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.变式29．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（

）A． B． C． D．变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为___________.方向4．求分段函数的解析式变式33．（2023·上海徐汇·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________．变式34．（2023·黑龙江七台河·高三校考期中）设函数，且，，求的解析式．变式35．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）已知和是定义域为的二次函数，函数图象过点，，且，，(1)求的解析式(2)，用表示中较大者，记为，①求②写出的函数解析式，并指出的最小值（不用写理由）变式36．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）给定函数(1)判断的单调性并证明(2)在同一坐标系中画出的图像(3)任意的，用表示的较小者，记为，请写出的解析式.方向5．抽象函数解析式变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．变式38．（2023·高一课时练习）已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为________.变式39．（2023·高一课时练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．变式40．（2023·高一课时练习）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式_______变式41．（2023·河南·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______．①定义域为；②；③的导函数．【通性通解总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．命题方向七：函数值域的求解【通性通解总结】方向1．观察法例19．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________例20．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．例21．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________变式42．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．变式43．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．方向2．配方法变式44．（2023·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则_________．变式45．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.变式46．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．方向3．图像法（数形结合）变式47．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.变式48．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____变式49．（2023·陕西铜川·校考一模）若，则函数的值域是__________．变式50．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为___________.变式51．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____.变式52．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______________.方向4．基本不等式法变式53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是______.变式54．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．变式55．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______变式56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为___________．方向5．换元法（代数换元与三角换元）变式57．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是______．变式58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的，则其值域为_____________.变式59．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为_________.变式60．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为____________变式61．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______．变式62．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________．方向6．分离常数法变式63．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．变式64．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）变式65．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________．变式66．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________方向7．判别式法变式67．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（

）A． B． C． D．变式68．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.变式69．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______________．变式70．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________.方向8．单调性法变式71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．变式72．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.变式73．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．方向9．有界性法变式74．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_________变式75．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．变式76．（2023·全国·高三专题练习）实数，满足，则的最大值为___________．变式77．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是________________.方向10．导数法变式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.变式79．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，定义域为，则该函数的最小值为__________．变式80．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最小值是________.变式81．（2023·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）函数，的值域是______.命题方向八：分段函数的应用方向1．求值问题例22．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______.例23．（2023·四川德阳·统考一模）设函数，则______．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则___________.变式82．（2023·全国·高三专题练习）函数满足，且在区间上，则的值为____．方向2．求参数问题变式83．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（

）A． B． C． D．变式84．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的值可能为（

）A． B． C． D．变式85．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式86．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（

）A． B． C． D．变式87．（2023·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知是偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C．或3 D．或变式88．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式89．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5方向3．解不等式问题变式90．（2023·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（）A．B．C．D．变式91．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．变式92．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式93．（2023·全国·高三专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．变式94．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式95．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．或【通性通解总结】1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．【过关测试】一、单选题1．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（

）A． B． C． D．3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．4．（2023·河北衡水·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（

）．A． B． C． D．6．（2023·江苏盐城·统考三模）一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一的也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称是函数的反函数，记作.在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式.例如函数的反函数为.设，则函数的值域为（

）A． B． C． D．7．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．2二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的有（

）A．函数与函数表示同一函数B．已知函数，若，则C．若函数，则D．若函数的定义域为，则函数的定义域为10．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（

）A． B．C． D．12．（2023·吉林白山·统考三模）存在函数，对任意都有，则函数不可能为（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2023·高三课时练习）已知，则函数的导数为______．14．（2023·全国·高三专题练习）设，其中，为实数，，，若，则______．15．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______16．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为____（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）设函数

(1)将函数写成分段函数；(2)画出函数的图像；(3)写出函数的定义域和值域.18．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．(1)已知满足.(2)已知，对任意的实数x，y都有.19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的值域；(2)证明：；21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且(1)证明：函数的图像关于直线对称；(2)若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围．专题06函数的概念【命题方向目录】命题方向一：函数的概念命题方向二：同一函数的判断命题方向三：给出函数解析式求解定义域命题方向四：抽象函数定义域命题方向五：函数定义域的应用命题方向六：函数解析式的求法方向1．待定系数法（函数类型确定）方向2．换元法或配凑法（适用于了型）方向3．方程组法方向4．求分段函数的解析式方向5．抽象函数解析式命题方向七：函数值域的求解方向1．观察法方向2．配方法方向3．图像法（数形结合）方向4．基本不等式法方向5．换元法（代数换元与三角换元）方向6．分离常数法方向7．判别式法方向8．单调性法方向9．有界性法方向10．导数法命题方向八：分段函数的应用方向1．求值问题方向2．求参数问题方向3．解不等式问题【2024年高考预测】2024年高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习．【知识点总结】1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应关系，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．（2）函数的实质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（3）函数表示法：函数书写方式为，．（4）函数三要素：定义域、值域、对应关系．（5）相等函数：两个函数只有在定义域和对应关系都相同时，两个函数才相等．2、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【方法技巧与总结】1、直线与函数的图象至多有1个交点．2、在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3、分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．4、函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．【典例例题】命题方向一：函数的概念例1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；对于C选项，当时，不存在，不是函数；对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.故选：A例2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，故选：A．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；D是函数图象，值域为，故不符合题意.故选：B变式1．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.所以的最大值为.

故选：B.变式2．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；对于B,令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；对于C,令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；对于D,,,则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确，故选：D【通性通解总结】利用函数概念判断命题方向二：同一函数的判断例4．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【解析】对于选项A，因为而一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同一函数．对于选项B，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．对于选项C，因为，所以，所以两个函数的定义域均为，又，所以它们是同一函数．对于选项D，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．故选：C．例5．（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选：B.例6．（2023·上海奉贤·统考一模）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【解析】A选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.B选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.C选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.D选项，由于，所以与的定义域、值域都为，对应关系也相同，所以与是相同函数.故选：D变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，与是同一个函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；对于B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；对于D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.【通性通解总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．命题方向三：给出函数解析式求解定义域例7．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）函数的定义域为__________．【答案】【解析】对于函数，有，解得.故函数的定义域为.故答案为：.例8．（2023·上海徐汇·统考三模）函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数中，，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．【答案】【解析】由，得，故函数的定义域为：．故答案为：变式4．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________.【答案】或【解析】由有意义可得，所以或，当时，，，当时，，，故答案为：或.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为______.【答案】【解析】解法1：由函数，则满足，可得，即函数的定义域为，对于函数，令，即，解得，即函数的定义域为.解法2：由，，可得，令，解得，所以的定义域为.故答案为：.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设有，由得，故选A.【通性通解总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．命题方向四：抽象函数定义域例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【解析】因为函数定义域为，由得定义域为则函数的定义域满足，解得定义域为.故答案为：.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.【答案】【解析】令，得，从而，所以函数的定义域为.故答案为：例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【解析】因为的定义域为，要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：变式7．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则的定义域为________.【答案】【解析】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，则函数中，所以，即的定义域为.故答案为：.变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.【答案】【解析】对于，因为，所以由的单调性得，即，所以对于，有，即，由的单调性得，解得，所以的定义域为.故答案为：.【通性通解总结】1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．命题方向五：函数定义域的应用例13．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．【答案】【解析】由，可知，解得，故答案为：.例14．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．【答案】【解析】的定义域满足：，解集为，故且，解得.故答案为：例15．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】因为函数的定义域是.所以不等式恒成立．所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；当时，则有，即，解得.综上，实数a的取值范围为.故答案为:变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.【答案】【解析】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，所以，解得.故答案为：.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．【答案】【解析】有函数解析式知要使定义域为R，则恒成立，结合二次函数的性质即可求参数a的范围.当时，，即定义域为R；当，要使的定义域为R，则在上恒成立，∴，解得，综上，有，故答案为：变式11．（2023·高三课时练习）若函数f(x)=的定义域为R，则的取值范围为_______.【答案】【解析】恒成立，恒成立，变式12．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图象与x轴没有交点，（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.综上：实数的取值范围是.故答案为：【通性通解总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．命题方向六：函数解析式的求法方向1．待定系数法（函数类型确定）例16．（2023·全国·高三专题练习）若是上单调递减的一次函数，且，则______.【答案】【解析】因为是上单调递减的一次函数，所以可设，所以，又因为，所以恒成立，所以，因为，所以，.所以.故答案为：例17．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．【答案】9【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴，解得∴f(x)＝2x＋7，从而得f(1)＝9.故答案为：9例18．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.【答案】【解析】根据题意可知，又恒相等，化简得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式为.故答案为：.变式13．（2023·全国·高三专题练习）某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________．【答案】300【解析】由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.答案：300.方向2．换元法或配凑法（适用于了型）变式14．（2023·全国·高三专题练习）若，则f(x)＝________.【答案】且【解析】令，则，因为，所以，又且，所以且，所以且，故答案为：且变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的解析式为______．【答案】【解析】设，则，，∵，∴，，即，．故答案为：变式16．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．【答案】/2.5【解析】由题意得，，令，由，得，∴．故答案为：.变式17．（2023·全国·高三专题练习），则_______．【答案】【解析】令，于是有，故答案为：变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.【答案】，【解析】又当且仅当，即时等号成立.设，则，所以所以故答案为：，变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______【答案】【解析】令，则，且，所以，所以，故答案为：.变式20．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.【答案】【解析】根据题意，对，有又是定义在R上的单调增函数R上存在常数a使得，，解得故答案为：.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于___.【答案】7【解析】，令，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，，，，则故答案为：7变式22．（2023·全国·高三专题练习）设若，则_________.【答案】【解析】令，，，变式23．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.方向3．方程组法变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为________．【答案】【解析】由，①得，即，②得：，所以，令，则，所以.故答案为：.变式25．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.【答案】【解析】因为定义在上的函数满足，将换成可得：，将其代入上式可得：，所以，故答案为：.变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.【答案】f(x)=2x【解析】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，∴f(x+1)=2x2(x+1)，f(x)=2x，故答案为：f(x)=2x.变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则___________.【答案】/【解析】因为①，所以②，②①得，．故答案为：．变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.【答案】【解析】以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式．∵，①∴，②①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴故答案为：变式29．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，，因为①，则②，所以①+②得，所以．故选：A．变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________【答案】【解析】由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1）与已知方程，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得，令，则，所以，所以.故答案为：.变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．【答案】．【解析】∵定义在上的单调函数，对任意都有，令，则，在上式中令，则，解得，故，由得，即，在同一坐标系中作出函数和的图像，

可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为．故答案为：.变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】是定义在上的连续单调函数，存在唯一，使得，故令，，，在上单调递增，且，，故的解集为.故答案为：方向4．求分段函数的解析式变式33．（2023·上海徐汇·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________．【答案】【解析】由题意可知为等腰直角三角形，,当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时，即当时，直线的左侧为等腰直角为三角形，此时，当直线与正方形的交点在上时，即，直线的左侧为五边形，则，所以S表示为t的函数解析式为，故答案为：.变式34．（2023·黑龙江七台河·高三校考期中）设函数，且，，求的解析式．【解析】因为函数解析式为，则，则，由可得，，解得，所以.变式35．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）已知和是定义域为的二次函数，函数图象过点，，且，，(1)求的解析式(2)，用表示中较大者，记为，①求②写出的函数解析式，并指出的最小值（不用写理由）【解析】（1）设，因为函数图象过点，，，，可知对称轴为，则，解得，所以.（2）①由（1）可知，当时，即，解得或；当时，即，解得；所以，所以.②由①可得，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；综上所述：的最小值是.变式36．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）给定函数(1)判断的单调性并证明(2)在同一坐标系中画出的图像(3)任意的，用表示的较小者，记为，请写出的解析式.【解析】（1）判断:在定义域上单调递增，证明如下，，，即，所以在定义域上单调递增.（2）作图如下，（3）当时，，所以当时，，所以，当时，，所以所以.方向5．抽象函数解析式变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．【答案】（答案不唯一）【解析】如：，则，，又，则，此时在区间上单调递增，满足题设.故答案为：（答案不唯一）变式38．（2023·高一课时练习）已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为________.【答案】【解析】由已知得，，，，又，故答案为：变式39．（2023·高一课时练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数满足，所以x，故答案为：x,答案不唯一变式40．（2023·高一课时练习）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式_______【答案】【解析】令，代入得，又，则，∴，故答案为：．变式41．（2023·河南·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______．①定义域为；②；③的导函数．【答案】（答案不唯一）【解析】若，其定义域为，满足①；，，所以，满足②；，满足③.故答案为：.【通性通解总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．命题方向七：函数值域的求解【通性通解总结】方向1．观察法例19．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________【答案】【解析】因为，所以，又，所以当时，单调递减，，所以函数的值域为.故答案为：例20．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．例21．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________【答案】【解析】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，的值域为.故答案为：.变式42．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，故函数的值域.故选：C.变式43．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的值域为，，故排除；函数的值域为，故排除；函数的值域为，故满足条件；函数的值域为，，故排除，故选：．方向2．配方法变式44．（2023·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则_________．【答案】【解析】，故，解得．故答案为：变式45．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.【答案】【解析】令，则，所以.故答案为：.变式46．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则且又因为，所以，所以，即函数的值域为，故选：B.方向3．图像法（数形结合）变式47．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.【答案】【解析】由题设，所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围，如下图示，由图知：，即，当三点共线且在之间时，左侧等号成立；当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；所以，即，所以函数值域为.故答案为：变式48．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____【答案】【解析】表示点与点连线的斜率，的轨迹为圆，表示圆上的点与点连线的斜率，由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，则设过的圆的切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得：，结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，即的值域为.故答案为：.变式49．（2023·陕西铜川·校考一模）若，则函数的值域是__________．【答案】【解析】，设，，则.由于，则，且.设，由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.由图知，在中，有，，所以，所以，所以.所以，，故所求值域为．故答案为：．变式50．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为___________.【答案】/【解析】分别作，的图象，分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，设为与的交点，，即.当且仅当时，取等号.故得的最小值为.故答案为：.变式51．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____.【答案】[，]【解析】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.令x﹣2=cosθ

且θ∈[0，π]∴=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.故答案为：变式52．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______________.【答案】【解析】，其中，则，又，因此，值域为.故答案为：方向4．基本不等式法变式53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是______.【答案】【解析】因为，因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号，所以，因为，所以，则函数的值域为，故答案为：.变式54．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．【答案】【解析】函数的定义域为，当时，，当且仅当即时等号成立，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，所以，所以函数的值域为，故答案为：．变式55．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______【答案】【解析】，令，因为在单调递减，在单调递增，所以，当时，，当时，所以，即值域为：.故答案为：变式56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为___________．【答案】．【解析】，即；，；当且仅当，即时，取最小值2；又最大值应在两个区间端点的某一处取到，；；．所以．所以值域为．故答案为:方向5．换元法（代数换元与三角换元）变式57．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是______．【答案】【解析】令，则，令，则，所以，所以，所以，所以函数的值域是.故答案为：变式58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的，则其值域为_____________.【答案】【解析】设，即，函数在区间单调递增，所以.故答案为：变式59．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为_________.【答案】【解析】令，则，容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，所以函数值域为.故答案为：变式60．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为____________【答案】【解析】设,则,所以原函数可化为:,由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.所以值域为:.故答案为:.变式61．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______．【答案】/【解析】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．故答案为：.变式62．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________．【答案】【解析】由可得，即函数的定义域为所以设，，则，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为，故答案为：.方向6．分离常数法变式63．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．【答案】【解析】由，又，则，则，所以，故函数的值域为．故答案为：．变式64．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【答案】D【解析】，∴y，∴该函数的值域为．故选：D．变式65．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________．【答案】【解析】由，可得且，函数的定义域为且，，所以且，所以函数的值域为．故答案为：．变式66．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________【答案】【解析】，，，，即的值域为.故答案为：.方向7．判别式法变式67．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则有，当时，代入原式，解得．当时，，由，解得，于是的最大值为，最小值为，所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.变式68．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.【答案】【解析】，因为所以函数的定义域为令，整理得方程：当时，方程无解；当时，不等式整理得：解得：所以函数的值域为.故答案为：变式69．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______________．【答案】【解析】由解析式知：函数的定义域为，且，∴整理可得：，即该方程在上有解，∴当时，，显然成立；当时，有，整理得，即，∴综上，有函数值域为.故答案为：.变式70．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________.【答案】【解析】将函数变形为关于的方程，分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围，从而值域可求.因为，所以，所以，当，即时，此时；当，即时，此时，所以，综上可知：，所以的值域为，故答案为：.方向8．单调性法变式71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即函数的定义域为，又函数在上递减，所以函数在上递减，所以函数的最大值为，最小值为，即函数的值域为，故选：C.变式72．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.【答案】/【解析】因为，令，则，令，，因为函数在上单调递增，所以，即，则，即函数的最大值为，当且仅当时取等号.故答案为：变式73．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：令，解得：，即函数在为增函数，所以，即函数的值域为，故选：D.方向9．有界性法变式74．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_________【答案】【解析】化简函数的解析式为，结合二次函数的性质，即可求解.由题意，函数，因为，所以，则，可得，故函数的值域是.变式75．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C．变式76．（2023·全国·高三专题练习）实数，满足，则的最大值为___________．【答案】【解析】令，，则，，所以其中所以当时，故答案为：变式77．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是________________.【答案】【解析】由题意，因为，所以，所以，所以函数的值域为，故答案为：.方向10．导数法变式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.【答案】【解析】由题意，，，在上，故函数单调递增，所以，，，故的值是.故答案为：变式79．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，定义域为，则该函数的最小值为__________．【答案】1【解析】因为，，所以，令，得所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增所以.故答案为：.变式80．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最小值是________.【答案】【解析】由，令得，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值是.故答案为：.变式81．（2023·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）函数，的值域是______.【答案】【解析】由题意在中，，∴函数在单调递增∵，∴函数，的值域是故答案为：.命题方向八：分段函数的应用方向1．求值问题例22．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______.【答案】【解析】，．故答案为：．例23．（2023·四川德阳·统考一模）设函数，则______．【答案】2【解析】由题，因为，所以，故答案为：2.例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则___________.【答案】【解析】根据题意，当时，，所以，当时，，所以.故答案为：.变式82．（2023·全国·高三专题练习）函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.由得函数的周期为4，所以因此方向2．求参数问题变式83．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】①当时，由，可得，若时，则，此时无解，若时，由，解得；②当时，由，可得或.若时，则，由可得，方程无解，若时，由可得或，由可得或.综上所述，满足的的取值集合为.故选：BCD.变式84．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】根据题意，函数，当时，，其中当时，，此时，解可得，符合题意；当时，，此时，解可得或，符合题意；当时，必有，此时，变形可得或，若，解可得，若，无解；综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；故选：ACD．变式85．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根据题意，当时，，不符合题意；当时，，解得；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意．故选:B．变式86．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，解得或（舍去），当x<0时，，解得（舍去），故解集为．故选：A．变式87．（2023·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知是偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C．或3 D．或【答案】B【解析】当时，由，得，解得（舍去）或；根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时，由，得(舍)或，综上，故选:B.变式88．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：由图可知，当或时，两图象相交，若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；同理当,值域也不是；当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；综上可知，实数的取值范围是.故选：B变式89．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】时，，解得时，，，，无解.由，则有，时，，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示，时，，无解.故选：.方向3．解不等式问题变式90．（2023·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，由得：，解得：或，；当时，由得：，解得：，；不等式的解集是.故选：A.变式91．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则即为，当时，，故无解，当时，即为，在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，由图可得当且仅当时，，综上所述，的解为，又，所以，当时，，故，解得：，所以，当时，，故，解得：，所以，综上所述，不等式的解集是.故选：D.变式92．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为.①当时，.②当时，.③当时，.综上所述：.故选：D.变式93．（2023·全国·高三专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；当时，，不等式可化为，解得，又，所以.综上，使不等式成立的的取值范围是.故选:A.（方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集.由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.在中，令，得，所以点的横坐标为.在中，令，得（舍去）或，所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.故选：A.变式94．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D变式95．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】当时，，则，则是增函数，当时，，则是增函数，又，∴函数在R上是增函数，∵，∴，则，即，解得，则成立的充要条件是∴使成立的一个必要不充分条件的a的范围对应的集合应真包含，故排除ABD，选C.故选：C．【通性通解总结】1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．【过关测试】一、单选题1．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由题意可得，故选：D.2．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以，故，故选C.