新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类能力拓展04活用三次函数的图象和性质(7种考向)(原卷版+解析)

能力拓展04活用三次函数的图象和性质【命题方向目录】命题方向一：三次函数的零点问题命题方向二：三次函数的最值、极值问题命题方向三：三次函数的单调性问题命题方向四：三次函数的切线问题命题方向五：三次函数的对称问题命题方向六：三次函数的综合问题命题方向七：三次函数恒成立问题【方法技巧与总结】1、基本性质设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：性质1：=1\*GB3①定义域为．=2\*GB3②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．=3\*GB3③单调性和图像：图像性质2：三次方程的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【典例例题】命题方向一：三次函数的零点问题例1．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例2．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.变式1．（2023·甘肃天水·统考模拟预测）设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3命题方向二：三次函数的最值、极值问题例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.例5．（2023·高三课时练习）已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.例6．（2023·江苏·高二专题练习）已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（

）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4变式2．（2023·湖南·高三校联考开学考试）三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·高二课时练习）已知三次函数无极值，且满足，则______.命题方向三：三次函数的单调性问题例7．（2023·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）已知三次函数在是增函数，则的取值范围是A．或 B． C． D．以上皆不正确例8．（2023·全国·高三专题练习）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例9．（2023·湖北十堰·高二统考期末）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为____________.命题方向四：三次函数的切线问题例10．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（

）A． B． C．为奇函数 D．图象关于对称例11．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明:.例12．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.(1)求切线的倾斜角的取值范围；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.变式4．（2023·安徽·高三校联考期末）已知函数在处取得极值．（1）求m的值；（2）若过可作曲线的三条切线，求t的取值范围．变式5．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．变式6．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处取得极值．(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．命题方向五：三次函数的对称问题例13．（2023·北京西城·高二校考期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（

）①函数对称中心②的值是③)函数对称中心④的值是A．①② B．①④ C．②③ D．③④例14．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4例15．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（

）A． B． C． D．命题方向六：三次函数的综合问题例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8例17．（2023·陕西西安·高三西安中学校考期中）已知函数，，给出下列四个结论，分别是：①；②在上单调；③有唯一零点；④存在，使得．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④命题方向七：三次函数恒成立问题例18．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）已知三次函数，若函数在点处的切线方程是．（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．例19．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是______.例20．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（

）A． B．C．的值不可能是 D．的值可能是变式7．（2023·高二单元测试）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.（1）当时，求的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【过关测试】1．（2023·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会山地滑雪比赛，滑雪场中某一段滑道的示意图如下所示，A点､B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（A､B分别在该三次函数的极值处）.综合考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成45°的夹角.则A､B两点在水平方向的距离约为（

）A．20 B．30 C．25 D．272．（2023·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为A． B． C． D．3．（2023·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（

）A．0 B．4 C． D．4．（2023·山东枣庄·高二统考期末）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（

）A．B．C．若，则D．的解集为5．（2023·浙江温州·高二校联考期末）若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．36．（2023·广西桂林·高二统考期中）已知三次函数的图象如图所示，则（

）A．5 B．－5 C．2 D．－27．（多选题）（2023·高二单元测试）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是的对称中心D．8．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A． B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减9．（多选题）（2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的可能取值为（

）A．3 B．1 C． D．10．（多选题）（2023·山东泰安·高二统考期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的解集为11．（多选题）（2023·广东东莞·高二校联考期中）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是（）x-10245f（x）13132A．函数在和上单调递减B．函数在的最小值为1C．函数的极大值点的个数为2D．若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是12．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则______．（且）13．（2023·安徽滁州·高二校考期中）对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．14．（2023·全国·高三校联考开学考试）对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图象上的点，则函数的最大值是______.15．（2023·广东·高二校联考期末）写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．16．（2023·北京朝阳·高二统考期中）已知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图像如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．17．（2023·河北衡水·高二统考期末）三次函数在处的切线方程为，则______18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）某学生在研究函数时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数后得到一个新函数，此时除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③.写出一个符合条件的函数解析式__________.19．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）对于三次函数．定义：①设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称．已知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）20．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知三次函数.（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围.21．（2023·北京房山·高二北师大良乡附中校考阶段练习）已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.(1)求的单调区间；(2)求a，b，c的值；(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.22．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知三次函数(为常数).（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若，讨论函数在的单调性.23．（2023·四川绵阳·高二统考期末）已知三次函数在和处取得极值，且在处的切线方程为.（1）若函数的图象上有两条与轴平行的切线，求实数的取值范围；（2）若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围.24．（2023·高二课时练习）在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.（1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.25．（2023·高二单元测试）已知三次函数.（1）若函数在区间上具有单调性，求a的取值范围；（2）当时，若，求的取值范围.26．（2023·北京·高三北师大实验中学校考期中）已知三次函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；（3）当时，若，求的取值范围.27．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知三次函数，(1)若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；(2)在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值．28．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线y＝f(x)相切与点(1，f（1）).(1)求实数a，b，c的值；(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.29．（2023·重庆·高二重庆一中校考期末）已知三次函数.(1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；(2)若在区间上的最小值为-2，最大值为1，且，求函数的解析式.30．（2023·四川成都·高二四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）已知三次函数（1）若，求的递增区间（2）若在是增函数，求m的取值范围31．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知三次函数的最高次项系数为，三个零点分别为，，．（1）若方程有两个相等的实根，求的值；（2）若函数在区间内单调递减，求的取值范围．32．（2023·广东茂名·高三校联考阶段练习）已知任意三次函数都有对称中心，且的对称中心为，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围.33．（2023·江西新余·新余市第一中学校考二模）已知三次函数的导函数，，为实数.(1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；(2)若在区间上的最小值，最大值分别为，1，且，求函数的解析式.

能力拓展04活用三次函数的图象和性质【命题方向目录】命题方向一：三次函数的零点问题命题方向二：三次函数的最值、极值问题命题方向三：三次函数的单调性问题命题方向四：三次函数的切线问题命题方向五：三次函数的对称问题命题方向六：三次函数的综合问题命题方向七：三次函数恒成立问题【方法技巧与总结】1、基本性质设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：性质1：=1\*GB3①定义域为．=2\*GB3②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．=3\*GB3③单调性和图像：图像性质2：三次方程的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【典例例题】命题方向一：三次函数的零点问题例1．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数求导得：，则，由解得，则有，，当或时，，当时，，则在，上单调递增，在上单调递减，因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，于是得，解得，综上得：，实数a的取值范围是.故选：A例2．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，，此时两个函数的图象无交点；当时，由得，可得，令，其中，则直线与曲线有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，且当时，，作出直线与曲线如下图所示：由图可知，当时，即当时，指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.故选：A.例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.【解析】（1），因为在和处取得极值，所以和是方程＝0的两个根，则，解得，经检验符合已知条件，所以；（2）由题意知，当或时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，，因此，为使曲线与轴有一个交点，结合的单调性，得：或，∴或，即当或时，使得曲线与轴有一个交点.变式1．（2023·甘肃天水·统考模拟预测）设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由且知，当时，，当或时，，则函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，又，则，则，所以，又，所以函数有三个零点.故选：D．命题方向二：三次函数的最值、极值问题例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，而的最大值为，∴，解得：.（2），∴，由得：，，则在，上单调递减，在上单调递增，又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或，而，当，即时，，得，此时，的零点为；当，即时，，得（舍）.综上的零点为.例5．（2023·高三课时练习）已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上成立，而的最大值为，∴，解得：.（2），∴，由得：，，则在，上单调递减，在上单调递增，又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或，而，当，即时，，得，此时，最大值点；当，即时，，得（舍）.综上在上的最大值点为.例6．（2023·江苏·高二专题练习）已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（

）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4【答案】C【解析】，由题意得导函数无变号零点，所以恒成立，，解得，故选：C.变式2．（2023·湖南·高三校联考开学考试）三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，由题意得，解得，，，令，得或.当时，；当时，.所以，函数在区间上的最小值为.故选：D.变式3．（2023·高二课时练习）已知三次函数无极值，且满足，则______.【答案】【解析】由题设，则，即，所以，当且仅当时等号成立，又，故，可得，所以.故答案为：命题方向三：三次函数的单调性问题例7．（2023·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）已知三次函数在是增函数，则的取值范围是A．或 B． C． D．以上皆不正确【答案】D【解析】由于函数在上递增，故导函数恒为非负数，即恒成立，其判别式，解得，故选.例8．（2023·全国·高三专题练习）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对函数求导，得因为函数在上是减函数，则在上恒成立，即恒成立，当，即时，恒成立；当，即时，，则，即，因为，所以，即；又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以.故选：A．例9．（2023·湖北十堰·高二统考期末）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为____________.【答案】【解析】由题意得在上恒成立，则，，所以，设，则.设，.由，解得，易得当时，.故的最小值为.故答案为：．命题方向四：三次函数的切线问题例10．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（

）A． B． C．为奇函数 D．图象关于对称【答案】BD【解析】设三次函数在上切线经过与，故切线斜率为，，故选项A错误；，故选项B正确；，故选项C错误；故图象关于对称，即选项D正确.故选：BD.例11．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明:.【解析】（1）则在点处的切线方程为整理得（2）构造函数，即过点可做曲线的三条切线等价于函数有三个不同的零点.，故函数在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以，即可得例12．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.(1)求切线的倾斜角的取值范围；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，则，解得，所以，则，故，，，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.（2）设曲线与过点，的切线相切于点，则切线的斜率为，所以切线方程为因为点，在切线上，所以，即，由题意，该方程有三解设，则，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，所以实数的取值范围是.变式4．（2023·安徽·高三校联考期末）已知函数在处取得极值．（1）求m的值；（2）若过可作曲线的三条切线，求t的取值范围．【解析】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以．经验证符合题意；（2）设切点坐标为，由，得，所以方程为，将代入切线方程，得．令，则，则，解得．当或时，，所以在，上单调递增；当时，，所以在上单调递减．所以的极大值为，的极小值为．因为有三条切线，所以方程有三个不同的解，与的图象有三个不同的交点，所以．变式5．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【解析】（1），由在点处的切线方程为，得，，故，故，（2）由（1）得，过点向曲线做切线，设切点为，则切线方程为．因为切线过，故，整理得到：，∵过点可做曲线的三条切线，故方程有3个不同的解.记，．∴当时，有极大值，当时，有极小值．故当，即时，函数有3个不同零点．∴实数的取值范围是．变式6．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处取得极值．(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．【解析】（1）证明：由，得：，由题意可得，所以，．此时，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数在处取得极大值．设切点为，则切线方程为，即，即为，将点的坐标代入方程可得，即，所以，即点为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．所以切线方程为.（2）因为切线方程为，把点的坐标代入切线方程可得，因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根．设，，令，可得和．当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，函数在处取得极大值，且，函数在处取得极小值，且，因为方程有三个根，则，解得，因为，，由零点存在定理可知，函数有三个零点，综上所述，．（3）证明：假设，则，则，因为，所以．由（2）可得，两式相减可得．因为，故．把代入上式可得，，所以，，所以．又由，这与矛盾．所以假设不成立，即证得．命题方向五：三次函数的对称问题例13．（2023·北京西城·高二校考期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（

）①函数对称中心②的值是③)函数对称中心④的值是A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【解析】,令，解得，，由题意可知：函数的对称中心为；因为函数的对称中心为，所以有，设，所以有，得，，即的值是99.故选：C例14．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】因为，所以，，由，得，解得，而，故函数关于点对称，故，所以，所以故选：D例15．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，令，解得，又．函数的图象关于点成中心对称．因为，所以，又，所以函数在上单调递增，所以.故选：A．命题方向六：三次函数的综合问题例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8【答案】A【解析】由得，因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，此时的另外一个根，所以，因为方程有3个实数根，它们分别是，，2，所以，所以且，所以则所以，因为，所以，所以的最小值是5.故选：A．例17．（2023·陕西西安·高三西安中学校考期中）已知函数，，给出下列四个结论，分别是：①；②在上单调；③有唯一零点；④存在，使得．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】，假设①错误，则，因此二次函数是开口向下的抛物线，因此④一定正确，当时，即时，②成立，当时，，当时，，所以③有唯一零点正确；假设②错误，则在上不单调，所以有，即，两根为：，显然④正确，要想①正确，二次函数是开口向上的抛物线，所以函数从左到右先增后减再增，要想③正确，只需或，比如当时可以使①③正确；假设③错误，则在上单调，且，因此，所以④也错误；假设④错误，则，因此②在上单调递增，显然此时有，当时，，当时，，所以③有唯一零点正确，故选：C命题方向七：三次函数恒成立问题例18．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）已知三次函数，若函数在点处的切线方程是．（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．【解析】（1），，由题意知，解得：，，.（2）由（1）知，令得，所以在和上分别单调递增，在上单调递减，而，，，，在区间上，，对于区间上任意两个自变量，，都有．例19．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】令，由题可知，，令，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴，故答案为：.例20．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（

）A． B．C．的值不可能是 D．的值可能是【答案】A【解析】因为，所以，又因为是的对称中心，所以，所以，故A正确；所以，所以，所以，故B错误；所以，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，，所以在上单调递增，所以，所以，所以，取等号时，又，所以，取等号时，所以，所以，故CD均错误；故选：A.变式7．（2023·高二单元测试）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.（1）当时，求的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数，当时，因为，∴，令，解得，则对称中心的纵坐标为，故对称中心为，所以，所以，，…则.（2）∵，，即，又，∴在上恒成立.令.∴.∵，令，得或（舍去）.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.∴.∴，即的取值范围为.【过关测试】1．（2023·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会山地滑雪比赛，滑雪场中某一段滑道的示意图如下所示，A点､B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（A､B分别在该三次函数的极值处）.综合考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成45°的夹角.则A､B两点在水平方向的距离约为（

）A．20 B．30 C．25 D．27【答案】B【解析】设三次函数为，可得，设，可得，因为为极值点，所以，令，可得为函数极值点，将代入，可得，所以，则，即，即，即，可得，解得.故选：B2．（2023·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：结合导函数和原函数的关系即可得求得结论.有图可知，所以即解0，当时，等价于0，故满足条件的为，当时,等价于0,故满足条件的为，所以综合可得的解集为故选A.3．（2023·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（

）A．0 B．4 C． D．【答案】B【解析】由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1，设对称中心为，则，可解得，由，故，故选：B4．（2023·山东枣庄·高二统考期末）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（

）A．B．C．若，则D．的解集为【答案】C【解析】由图可知，在上单调递减且为上凸函数，（2）（3），故A正确；由图可知，、1分别为的两个极值点，，，则，故B正确；由，得，取，可得，则，可得，则极大值，故C错误；由，得或，即或，得或．的解集为，，，故D正确．故选：C．5．（2023·浙江温州·高二校联考期末）若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】因为，所以，由题意可得有两个不同的实数根、，其中，则或，据此分类讨论：①若，当时，或，当时，此时共有三个不同的实数根.②若，当时，或，当时，，此时共有三个不同的实数根.②若，没有极值点，不合题意.综上可得，方程的不同实数根的个数为.故选：D

6．（2023·广西桂林·高二统考期中）已知三次函数的图象如图所示，则（

）A．5 B．－5 C．2 D．－2【答案】D【解析】求导得：，结合图像可得为导函数的零点，即，则，变形得，所以．故选：D．7．（多选题）（2023·高二单元测试）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是的对称中心D．【答案】BCD【解析】由题意知.令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减.又，.所以，在处有极大值，在处有极小值.所以的极大值点为-2，A项错误；又极大值，极小值，作出的图象，有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确；，令，解得，又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确；因为点是的对称中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正确.故选：BCD.8．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A． B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减【答案】ABD【解析】，令，得，因为函数图象的对称中心为，因此，解得，A正确；显然，，且当或时，，当时，，于是在和上都是增函数，在上是减函数，D正确；函数既有极大值，又有极小值，B正确；函数极小值，由三次函数的性质知，只有一个零点，C错误．故选：ABD.9．（多选题）（2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的可能取值为（

）A．3 B．1 C． D．【答案】CD【解析】定义域为R，且，，因为三次函数有三个相异的零点，所以有两个相异的根，所以，解得：，设三次函数三个相异的零点分别为，则则①，②，③，①－②得：，即，因为，所以④，同理②－③得：⑤，④-⑤得：，因为，所以，因为，所以，解得：，则，解得：，代入得：，解得：，又，所以，从而a的可能取值为，故选：CD10．（多选题）（2023·山东泰安·高二统考期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的解集为【答案】BC【解析】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、，设，则，可得，由奇函数的定义可得，即，所以，，可得，则，由题意可得，可得，则，由图可知，函数的单调递增区间为，故不等式的解集为，所以，，对于A选项，，，所以，，A错；对于B选项，，所以，，B对；对于C选项，由题意可知，，由导数的定义可得，C对；对于D选项，由，可得，解得或，因此，不等式的解集为，D错.故选：BC.11．（多选题）（2023·广东东莞·高二校联考期中）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是（）x-10245f（x）13132A．函数在和上单调递减B．函数在的最小值为1C．函数的极大值点的个数为2D．若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是【答案】ABC【解析】根据导函数图象可以看出在和上，所以在和上单调递减，A正确；在和上，所以在和上单调递增，结合，可知在的最小值为1，B正确；函数的极大值点为0与4，即极大值点的个数为2，C正确；若方程有3个不同的实数根，及与有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，D错误.故选：ABC12．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则______．（且）【答案】【解析】，，由，得，且，∴的对称中心是点，因此．故当n为奇数时，．当n为偶数时，．综上所述，．故答案为：.13．（2023·安徽滁州·高二校考期中）对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．【答案】【解析】∵函数，∴，∴．令，解得，且，所以函数对称中心为，故答案为．14．（2023·全国·高三校联考开学考试）对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图象上的点，则函数的最大值是______.【答案】【解析】，，由题意，则，又，得，所以，令，则，即求，时的最大值，当时，有最大值故答案为.15．（2023·广东·高二校联考期末）写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．【答案】（答案不唯一）【解析】对于三次函数，显然定义域为R，，则为奇函数，满足①；令，则，解得或，有3个不同的零点，满足②；，当时，，则在上单调递减，满足③；故.故答案为：（答案不唯一）.16．（2023·北京朝阳·高二统考期中）已知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图像如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．【答案】【解析】二次函数的导函数是一次函数，三次函数的导函数是二次函数，∵一次函数过点，，∴，，∵二次函数过点，，，∴，∴，∴，记为常数，∴，，，∴.故答案为：17．（2023·河北衡水·高二统考期末）三次函数在处的切线方程为，则______【答案】【解析】∵，∴，当时，得切线的斜率为，所以，，又过，∴，∴，故答案为．18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）某学生在研究函数时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数后得到一个新函数，此时除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③.写出一个符合条件的函数解析式__________.【答案】（答案不唯一）【解析】因为为奇函数，为奇函数，所以为常函数或为偶函数，当时，，则，此时，所以不合题意，当时，，因为，所以为奇函数，，由，得或，由，得，所以的增区间为和，减区间为，所以为先增后减再增，因为，所以满足题意，故答案为：（答案不唯一）19．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）对于三次函数．定义：①设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称．已知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）【解析】（1）依题意，得：，．由，即．∴，又，∴的“拐点”坐标是，（2）由(1)知“拐点”坐标是.而===，由定义(2)知：关于点对称．一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）（3）或写出一个具体的函数,如或.20．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知三次函数.（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围.【解析】（1），，由题意知，解得：，，，.（2）由（1）知，令得，所以在和上分别单调递增，在上单调递减，而，，，，在区间上，，对于区间上任意两个自变量，，都有，．21．（2023·北京房山·高二北师大良乡附中校考阶段练习）已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.(1)求的单调区间；(2)求a，b，c的值；(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.【解析】（1）根据图象可知时，，即单调递减；和时，，即单调递增；故答案为：单调递减区间是；单调递增是和.（2）由已知可得：和是的两个根，由（1）可得的极大值在处取得，故解得：故答案为：（3）由（2）知，的极小值为：结合的单调性可作其草图，如下所示函数有三个零点等价于与有三个交点，所以.故答案为：22．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知三次函数(为常数).（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若，讨论函数在的单调性.【解析】（1）当时，函数，，即切线的斜率，，切线方程为即；（2）导函数的对称轴为，①当即时，，在上单调递增；②当即时，又，令，则，，因为，所以当或时，；当时，；所以在，上单调递增；在上单调递减.23．（2023·四川绵阳·高二统考期末）已知三次函数在和处取得极值，且在处的切线方程为.（1）若函数的图象上有两条与轴平行的切线，求实数的取值范围；（2）若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围.【解析】（1）,由题得,且,即解得,.于是,即,故切线方程为.因为切点在切线上,所以,将代入,解得,..由题得有两个不相等的实根,,解得.（2）由题得在上有两个不同的解,即在上有两个不同的解.令,,则,由得或,由得,因为,所以在上单调递增,在上单调递减,.,,,由图象知.24．（2023·高二课时练习）在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.（1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.【解析】选①，（1）依题意，设，则，由已知得，解得，，，，所以函数的解析式是；（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，当时，，当时，，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.选②，（1）依题意，设，则，于是得：，化简得，因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，所以函数的解析式为；（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，当时，，当时，，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.25．（2023·高二单元测试）已知三次函数.（1）若函数在区间上具有单调性，求a的取值范围；（2）当时，若，求的取值范围.【解析】由可得：（1）由已知可得当时，令得.与在区间上的情况如下：x020