备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十一　两条直线的位置关系

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。五十一两条直线的位置关系(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)(2024·潍坊模拟)已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为()A.210 B.10 C.112 D.310【解析】选A.设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得x=3+52=4y=-6+22=-2.(5分)已知直线l1:2x-y+1=0,l2:x+ay-1=0,且l1⊥l2,则点P(1,2)到直线l2的距离d等于()A.55 B.255 C.35【解析】选D.由l1⊥l2可得2×1-1·a=0,即a=2,故d=|1+2×2-1【加练备选】(2024·深圳模拟)直线l1:mx-y+1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,若l1⊥l2,则实数m的值为()A.0 B.1C.0或1 D.13【解析】选C.l1⊥l2⇔m(3m-2)-m=0,即m2-m=0,解得m=0或m=1.3.(5分)(2024·广州模拟)设λ∈R,则“λ=1”是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行,则3(1-λ)-λ(λ-1)=0,解得λ=1或λ=-3,经检验λ=1或λ=-3时两直线平行.故“λ=1”能得到“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”,但是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”不一定能得到“λ=1”.4.(5分)直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为()A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0C.2x-3y+12=0 D.2x-3y-12=0【解析】选B.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0.令x+3=0,y-1=0所以N(-3,1).设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则|-6+3-6解得c=12或c=-6(舍去).故所求直线方程为2x+3y+12=0.5.(5分)(多选题)已知A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等,则直线l的方程为()A.x+y=0 B.x-y=0C.x+y-6=0 D.x-y+1=0【解析】选ACD.因为A(2,4)与B(3,3)的中点为(52,72),且kAB=4-32-3一类是过A,B的中点的直线,另一类是与AB平行的直线,显然x+y-6=0、x-y+1=0过点(52,7直线x+y=0的斜率为-1与AB平行,故A正确;直线x-y=0的斜率为1与AB垂直,且不过点(52,726.(5分)(多选题)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则()A.直线l2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l1⊥l2C.当m=2时,l1∥l2D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1【解析】选ACD.因为(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0,所以2x-y+5+m(x-y+2)=0,所以2x-所以直线l2过定点(-3,-1),选项A正确;当m=1时,直线l2:3x-2y+7=0,k2=32又因为l1:4x-3y+4=0,所以k1=43,k1k2当m=2时,直线l2:4x-3y+9=0,而l1:4x-3y+4=0,所以两直线斜率相等,在y轴上的截距不等,所以两直线平行,此时两直线之间的距离d=|9-7.(5分)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(A.524cm B.C.924cm D.【解析】选B.如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直中庭下边界且过鼻尖的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(12,4),B(-3直线AB的方程:y-42整理为x-y+72原点O到直线距离为721+1=78.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为()A.2x+4y-3=0 B.x-2y-3=0C.2x-y-3=0 D.4x-2y-3=0【解析】选D.由|AC|=|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线,因为AB的中点为M(1,12),斜率kAB=-1所以AB垂直平分线的斜率k=2.因此△ABC的欧拉线的方程为y-12=2(x-1),即4x-2y-3=09.(5分)(2024·南昌模拟)已知点P(0,2),直线l:x+2y-1=0,则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是.

【解析】直线l:x+2y-1=0的斜率为-12,故只需所求直线方程斜率不是-1可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y=x+2.答案:y=x+2(答案不唯一)10.(5分)已知直线l1:(m-2)x-3y-1=0与直线l2:mx+(m+2)y+1=0相互平行,则实数m的值是.

【解析】因为直线l1与直线l2相互平行,则(m-2解得m=-4.答案:-411.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以|10+5λ即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或12所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.【解析】(2)由2x+y-5=0,x设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立,其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|=10.【能力提升练】12.(5分)(多选题)(2024·重庆模拟)若直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值为()A.23 B.-23 C.29【解析】选ABD.因为直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,所以存在l1∥l3,l2∥l3,l3过l1与l2的交点三种情况.当l1∥l3时,有32=1-3m≠44当l2∥l3时,有12=-1-3m≠0当l3过l1与l2的交点,则联立3x+y=4x-y=0,解得x=1y综上:m=-29或m=23或m=-13.(5分)已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使PM+PN取得最小值,则最小值为,此时点P的坐标为.

【解析】如图所示:点N关于x轴的对称点为Q(2,-1),由对称性可知PN=PQ,所以,PM+PN=PM+PQ≥MQ=(-1当且仅当M,P,Q三点共线时,等号成立,直线MQ的斜率为kMQ=3+1-1-2=-43,直线MQ的方程为y+1=-43(联立4x+3y-5=0y=0故当点P的坐标为(54,0)时,PM+PN取得最小值5答案:5(5414.(10分)(2024·宁波模拟)已知两条直线l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a-1)y+3=0.(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,求a的值.【解析】(1)因为l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,所以l1∥l2,所以a(a-1(2)从①直线l过坐标原点,②直线l在y轴上的截距为2,③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1.这三个条件中选择一个补充在下面问题中,并作答.若a=0,直线l与l2垂直,且,求直线l的方程.

【解析】(2)因为a=0,直线l2:2x-y+3=0,其斜率为2,又直线l与l2垂直,所以直线l的斜率为-12选条件①.由直线l过坐标原点,则直线l的方程为y=-12x,即x+2y=0选条件②.由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=-c2,则-c2=2,即所以直线l的方程为x+2y-4=0.选条件③.由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=-c2,令y=0,则x=-c所以12×|-c2|×-c=1,解得c=±2,直线l的方程为x+215.(10分)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,求点P的坐标.【解析】设点P的坐标为(a,b