北师大版2019选择性必修第一册专题3.3空间向量及其运算的坐标表示(6类必考点)(原卷版+解析)

专题3.3空间向量及其运算的坐标表示TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：空间直角坐标系】 1【考点2：空间向量运算的坐标表示】 2【考点3：空间向量垂直的坐标表示】 4【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】 6【考点5：空间向量长度的坐标表示】 8【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 11【考点1：空间直角坐标系】【知识点：空间直角坐标系】1．（2021秋•房山区期末）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（）A．（﹣2，﹣2，4） B．（﹣1，﹣1，2） C．（2，1，3） D．（4，2，6）2．（2021秋•潍坊月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，2，4）关于xOy平面的对称点B的坐标为（）A．（1，﹣2，4） B．（﹣1，2，4） C．（1，2，﹣4） D．（﹣1，﹣2，4）3．（2019春•和平区期末）已知M为z轴上一点，且点M到点A（﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（3，0，0） B．（0，﹣2，0） C．（0，0，6） D．（0，0，﹣3）【考点2：空间向量运算的坐标表示】【知识点：空间向量运算的坐标表示】设，.向量表示坐标表示数量积a1b1＋a2b2＋a3b31．（2022春•江苏月考）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点A．（1，﹣6，3） B．（5，4，﹣3） C．（﹣1，6，﹣3） D．（2，5，﹣3）2．（2021秋•河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）3．（2021秋•包河区校级期中）已知i→，j→，k→是空间直角坐标系O﹣xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且OA→=3A．（1，﹣1，1） B．（4，1，1） C．（1，4，2） D．（4，1，2）4．（2021秋•乌兰察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）5．（2022春•浦东新区校级期末）已知点A（1，﹣2，0），向量a→=(−1，2，2)且AB→=2a6．（2021秋•虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若AC→=2CB→，则【考点3：空间向量垂直的坐标表示】【知识点：空间向量垂直的坐标表示】设，.向量表示坐标表示垂直＝0(≠0，≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．（2021秋•迎江区校级月考）已知向量a→=(λ，−2，0)，b→=(1+λ，1，λ2)A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2（多选）2．（2020秋•海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．设有三点A（1，2，﹣1）、B（0，3，1）、C（4，﹣1，2），求：（1）△ABC的面积S；（2）与向量AB→、AC【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】【知识点：空间向量平行（共线）的坐标表示】设，.向量表示坐标表示共线，，1．（2021秋•昌平区校级期中）已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若PQ→=3MN→A．（﹣3，﹣2，﹣5） B．（3，4，1） C．（﹣4，﹣1，0） D．（2，5，6）2．（2021秋•安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，则y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．43．（2021秋•屯溪区校级期中）已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．24．（2021秋•金东区校级期中）已知AB→=(2，−3，2)，C(2，12，−1)，D（x，y，0），且ABA．3，1 B．4，−52 C．3，﹣1【考点5：空间向量长度的坐标表示】【知识点：空间向量长度的坐标表示】设，.向量表示坐标表示模1．（2022春•宁德期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则|BCA．5 B．34 C．41 D．52．（2021秋•临沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→A．5 B．10 C．5 D．103．（2021秋•定远县校级期中）若点A（2，3，2）关于Ozx平面的对称点为A′，点B（﹣2，1，4）关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于（）A．30 B．36 C．5 D．214．（2021秋•平顶山期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC=π3，AE→=2BA．25 B．5 C．14 D．145．（2021秋•宣城期末）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AC=π3，点E、A．6 B．5 C．2 D．26．（2022春•永昌县校级月考）若向量a→=(1，−2，3)，b→A．27 B．5 C．26 D．7．（2021春•普陀区校级期末）设空间向量a→=（﹣1，2，m），b→=（2，n，﹣4），若a→∥b【考点6：空间向量夹角的坐标表示】【知识点：空间向量夹角的坐标表示】设，.向量表示坐标表示夹角1．（2021秋•渭滨区期末）已知a→=(1，0，1)，b→=(x，1，−2)，且a→A．5π6 B．2π3 C．π32．（2021秋•禅城区校级期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0），若a→A．−2 B．2 C．﹣1 3．（2022春•成都期中）已知a→=(cosα，−1，sinα)，b→=(sinα，−1，cosα)，则向量A．90° B．60° C．30° D．0°4．（2022春•乌苏市校级期中）已知空间向量a→=（2，4，﹣2），b→=（﹣1，0，2），（Ⅰ）若a→∥c→，求（Ⅱ）若b→⊥c→，求cos＜a5．（2021秋•辽源期末）已知：a→=（x，4，1），b→=（﹣2，y，﹣1），c→=（3，﹣2，z），a→（1）a→，b→，（2）a→+c6．（2022春•萧县校级月考）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设OA→=a→，（Ⅰ）用a→，b→，c→（Ⅱ）若|a填上序号：①＜a→，b→＞=＜b②＜a→，b→＞=＜c→，③＜a→，b→＞=＜c→，a→＞=π专题3.3空间向量及其运算的坐标表示TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：空间直角坐标系】 1【考点2：空间向量运算的坐标表示】 2【考点3：空间向量垂直的坐标表示】 4【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】 6【考点5：空间向量长度的坐标表示】 8【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 11【考点1：空间直角坐标系】【知识点：空间直角坐标系】1．（2021秋•房山区期末）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（）A．（﹣2，﹣2，4） B．（﹣1，﹣1，2） C．（2，1，3） D．（4，2，6）【分析】利用中点坐标公式直接求解．【解答】解：∵A（3，2，1），B（1，0，5），∴AB的中点M的坐标为M（2，1，3）．故选：C．2．（2021秋•潍坊月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，2，4）关于xOy平面的对称点B的坐标为（）A．（1，﹣2，4） B．（﹣1，2，4） C．（1，2，﹣4） D．（﹣1，﹣2，4）【分析】关于xOy平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数．【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以点P关于平面xOy对称的点是（1，2，﹣4），故选：C．3．（2019春•和平区期末）已知M为z轴上一点，且点M到点A（﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（3，0，0） B．（0，﹣2，0） C．（0，0，6） D．（0，0，﹣3）【分析】设M（0，0，t），由点M到点A（﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等，列方程求出t＝6，由此能求出点M的坐标．【解答】解：∵M为z轴上一点，∴设M（0，0，t），∵点M到点A（﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等，∴(0+1)2+(0−0∴点M的坐标为M（0，0，6）．故选：C．【考点2：空间向量运算的坐标表示】【知识点：空间向量运算的坐标表示】设，.向量表示坐标表示数量积a1b1＋a2b2＋a3b31．（2022春•江苏月考）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点A．（1，﹣6，3） B．（5，4，﹣3） C．（﹣1，6，﹣3） D．（2，5，﹣3）【分析】直接利用向量的坐标运算的应用求出结果．【解答】解：设B（x，y，z），由于点A（3，﹣1，0），若向量AB→故：x−3=2y+1=5故B（5，4，﹣3）．故选：B．2．（2021秋•河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）【分析】运用空间向量坐标的线性运算即可得出答案．【解答】解：由a→=（1，2，3），可得2a→+故选：D．3．（2021秋•包河区校级期中）已知i→，j→，k→是空间直角坐标系O﹣xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且OA→=3A．（1，﹣1，1） B．（4，1，1） C．（1，4，2） D．（4，1，2）【分析】由题意先求出OA→，AB【解答】解：由题意可知，OA→设B（x，y，z），则AB→解得x＝4，y＝1，z＝1，所以点B的坐标为（4，1，1）．故选：B．4．（2021秋•乌兰察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）【分析】推导出c→=4【解答】解：∵向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），∴c→=4故选：B．5．（2022春•浦东新区校级期末）已知点A（1，﹣2，0），向量a→=(−1，2，2)且AB→=2a【分析】设B（x，y，z），得AB→=(x−1，y+2，z)，又a→=(−1，2，2)且【解答】解：设B（x，y，z），∵A（1，﹣2，0），∴AB→=(x−1，y+2，z)，又a→∴（x﹣1，y+2，z）＝2（﹣1，2，2）＝（﹣2，4，4），则x−1=−2y+2=4z=4，可得x＝﹣1，y＝2，∴点B的坐标为（﹣1，2，4）．故答案为：（﹣1，2，4）．6．（2021秋•虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若AC→=2CB→，则【分析】设C的坐标为（x，y，z），根据向量的坐标运算即可求出．【解答】解：设C点的坐标为（x，y，z），∵A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），∴AC→=（x+1，y﹣2，z+3），CB→=（2﹣x，﹣4﹣∵AC→∴（x+1，y﹣2，z+3）＝2（2﹣x，﹣4﹣y，6﹣z）＝（4﹣2x，﹣8﹣2y，12﹣2z）∴x+1=4−2xy−2=−8−2y解得x＝1，y＝﹣2，z＝3，∴C（1，﹣2，3）．故答案为：（1，﹣2，3）．【考点3：空间向量垂直的坐标表示】【知识点：空间向量垂直的坐标表示】设，.向量表示坐标表示垂直＝0(≠0，≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．（2021秋•迎江区校级月考）已知向量a→=(λ，−2，0)，b→=(1+λ，1，λ2)A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2【分析】利用向量垂直的性质列方程直接求解．【解答】解：∵向量a→=(λ，−2，0)，b→=(1+λ，1，λ∴a→⋅b→解得实数λ＝1或λ＝﹣2．故选：B．（多选）2．（2020秋•海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由|AB→|＝6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），|AB→|＝6且l∴4+16+x2=6∴x=4y=−3或x=−4∴x+y＝1或x+y＝﹣3．故选：AC．3．设有三点A（1，2，﹣1）、B（0，3，1）、C（4，﹣1，2），求：（1）△ABC的面积S；（2）与向量AB→、AC【分析】（1）由已知求得AB→，AC→，可得AB⊥AC，再求出AB、（2）利用向量数量积为0列式求解向量AB→、AC【解答】解：（1）∵A（1，2，﹣1）、B（0，3，1）、C（4，﹣1，2），∴AB→=(−1，1，2)，|AB→|=AB→⋅AC→=−3−3+6=0可得△ABC的面积S=1（2）设与向量AB→、AC→同时垂直的向量为由m→⋅AB→=−x+y+2z=0∴与向量AB→、AC→同时垂直的单位向量为【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】【知识点：空间向量平行（共线）的坐标表示】设，.向量表示坐标表示共线，，1．（2021秋•昌平区校级期中）已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若PQ→=3MN→A．（﹣3，﹣2，﹣5） B．（3，4，1） C．（﹣4，﹣1，0） D．（2，5，6）【分析】设Q（a，b，c），则PQ→=（a+1，b﹣2，c﹣3），MN→=（1，1，1），由PQ→【解答】解：点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），设Q（a，b，c），则PQ→=（a+1，b﹣2，c﹣3），∵PQ→=3MN→，∴（a+1，b∴a+1=3b−2=3c−3=3，解得a＝2，b＝5，∴Q的坐标是（2，5，6）．故选：D．2．（2021秋•安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，则y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可求解．【解答】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），∴AB→=(−1，2，−2)，∵AB→∥AC∴−12=2y−1=∴y﹣2z＝﹣17．故选：B．3．（2021秋•屯溪区校级期中）已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【分析】利用向量坐标运算法则先求出ka→−b→，2a→+b→【解答】解：向量a→=（1，1，0），∴ka→−b→=（k∵ka→−b∴k−13解得k＝﹣2．故选：B．4．（2021秋•金东区校级期中）已知AB→=(2，−3，2)，C(2，12，−1)，D（x，y，0），且ABA．3，1 B．4，−52 C．3，﹣1【分析】由AB→∥CD【解答】解：因为C(2，12，−1)，D（x所以CD→=（x﹣2，y又AB→所以2x−2=−3y−1故选：C．【考点5：空间向量长度的坐标表示】【知识点：空间向量长度的坐标表示】设，.向量表示坐标表示模1．（2022春•宁德期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则|BCA．5 B．34 C．41 D．5【分析】写出点A在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，再计算|BC→【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则B（3，4，0），C（3，0，5），∴BC→∴|BC→|=故选：C．2．（2021秋•临沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→A．5 B．10 C．5 D．10【分析】求出AC→=AB【解答】解：∵AB→=（﹣1，2，3），∴AC→则|AC故选：A．3．（2021秋•定远县校级期中）若点A（2，3，2）关于Ozx平面的对称点为A′，点B（﹣2，1，4）关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于（）A．30 B．36 C．5 D．21【分析】求出A′（2，﹣3，2），B′（2，1，﹣4），由中点坐标公式求出M（2，﹣1，﹣1），由此能求出|MA|．【解答】解：点A（2，3，2）关于Ozx平面的对称点为A′，则A′（2，﹣3，2），点B（﹣2，1，4）关于y轴的对称点为B′，则B′（2，1，﹣4），点M为线段A′B′的中点，则M（2，﹣1，﹣1），则|MA|=(2−2故选：C．4．（2021秋•平顶山期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC=π3，AE→=2BA．25 B．5 C．14 D．14【分析】B1E→=B1A→+AE→=C1D【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC=π3，∴B=C1C=2BC∴B1E→2=（2BC→+3CD→+DD1→）2＝4BC＝4+9+1+6+2+3＝25，∴|B1E|＝|B1E→故选：B．5．（2021秋•宣城期末）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AC=π3，点E、A．6 B．5 C．2 D．2【分析】先利用空间向量的线性运算得到EF→【解答】解：EF→=EA→+∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，∠A点E、F满足AE→=1∴EF→2=14AB＝1+1+1+12×2×2×12∴|EF故选：D．6．（2022春•永昌县校级月考）若向量a→=(1，−2，3)，b→A．27 B．5 C．26 D．【分析】利用空间向量的坐标运算求解即可．【解答】解：∵a→=(1，−2，3)，∴a→+2∴|a→+2b→故选：C．7．（2021春•普陀区校级期末）设空间向量a→=（﹣1，2，m），b→=（2，n，﹣4），若a→∥b【分析】先利用空间向量共线定理，得到b→=λa→，由此求出m和n的值，得到【解答】解：因为空间向量a→=（﹣1，2，m），b→=（2，n，﹣4），且所以b→即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），可得2=−λn=2λ−4=λm，解得m＝2，所以a→=（﹣1，2，2），则a→所以|a故答案为：9．【考点6：空间向量夹角的坐标表示】【知识点：空间向量夹角的坐标表示】设，.向量表示坐标表示夹角1．（2021秋•渭滨区期末）已知a→=(1，0，1)，b→=(x，1，−2)，且a→A．5π6 B．2π3 C．π3【分析】通过空间向量的数量积求解x，然后求解向量的夹角．【解答】解：a→=(1，0，1)，b→可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，向量a→与b→的夹角为θ，cosθ=−32⋅所以θ=5π故选：A．2．（2021秋•禅城区校级期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0），若a→A．−2 B．2 C．﹣1 【分析】根据空间向量坐标求得|a→|=3+1=2，|【解答】解：因为a→=(3，0，1)，b→=(k，2，0)则|a所以cos〈a可知k＜0，解得：k=−2故选：A．3．（2022春•成都期中）已知a→=(cosα，−1，sinα)，b→