圆锥曲线的方程专题五讲义高三数学一轮复习

人教A版数学圆锥曲线的方程专题五知识点一根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数典例1、已知椭圆E经过点和点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.

随堂练习：已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.典例2、已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．

随堂练习：已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.典例3、已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

随堂练习：设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.知识点二过圆上一点的圆的切线方程,根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的最值问题典例4、已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：，过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值.

随堂练习：已知椭圆的焦点在轴，且右焦点到左顶点的距离为．（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；（2）与轴不垂直且不重合的直线与椭圆相交于不同的，两点，直线与轴的交点为，点关于轴的对称点为．①求面积的最大值；②当面积取得最大值时，求证：．典例5、已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．

随堂练习：已知椭圆经过两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点（异于点），求的最大值.典例6、已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．（1）求椭圆C的方程．（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．

随堂练习：已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点（不与定点重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）求证直线经过定点；（3）求的面积的最大值人教A版数学圆锥曲线的方程专题五答案典例1、答案：（1）（2）或解：（1）设椭圆E方程为，（t，且）将点代入椭圆方程得到,解得，所以椭圆的标准方程为.（2）不妨设直线l的方程为,因为该直线与圆相切，所以，所以，将直线方程代入椭圆方程并消去x得：，则,，所以，联立，解得，即或，则直线l的方程为或.随堂练习：答案：（1），（2）.解:（1）由条件可得所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为所以，所以所以方程为（2）设联立可得所以由得因为所以可解得典例2、答案：（1）；（2）．解:（1）设椭圆的方程为，焦距为，将代入的方程可得，解得.由题意得，解得，因此的方程为；（2）设、、、，由，得（或），与、相交，只需当时，，解得.当时，，由韦达定理可得，所以，与的中点相同，所以，，即，整理可得，解得，满足条件.随堂练习：答案：（1）;（2）.解:（1）选①：由已知，将代入椭圆方程得：故椭圆方程为：选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，∴，又，即，∴，则，∵，∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，∴的轨迹方程为.（2）联立与椭圆方程可得：，且，若交点为，则，，∴直线被椭圆截得的弦长为，而短轴长为2，∴，解得.典例3、答案：（1）（2）不存在，理由见解析解：（1）由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.（2）设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则，故.直线的方程为，即.令，得，则，所以因为，所以，解得.因为，所以不存在满足条件的.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）由题意可得，，当时，，所以得：，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，，，，过点且斜率为的直线方程为，联立方程，可得，设，，则，，故，又，，，，所以，整理可得，解得.典例4、答案：（1）（2）4解：（1）设，则，所以，即.，则由椭圆定义，，则，故椭圆的标准方程为；（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线：，联立方程得，设，，由题意，，由韦达定理，，则，，，，，又，当且仅当即时取等号.随堂练习：答案：（1）椭圆方程为焦点坐标分别为，；（2）①；②证明见解析．解:（1）因为，所以．又，所以．所以椭圆方程为焦点坐标分别为，．（2）（ⅰ）方法一：设，，，所以，．联立得．，，，即．点到直线的距离为．所以．当且仅当即时等号成立．（ⅱ）因为．而所以，所以．方法二：（ⅰ）设直线（），所以，．联立方程化简得．所以．所以．点到的距离为：．．当且仅当，即等号成立．（ⅱ）．因为，所以．典例5、答案：（1）（2）解：（1）由题，由椭圆定义，的周长为，所以所以椭圆的方程为.（2）当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，当直线与轴重合时，，所以；当直线斜率存在且不为0时，设，由韦达定理所以同理所以综上所述，的取值范围是.随堂练习：答案：（1）（2）最大值为解:（1）椭圆过点，，解得：椭圆的标准方程为（2）由题易知直线的斜率不为，可设：由得：，则设，，则，又，以为直径的圆的圆心坐标为，半径为故圆心到直线的距离为，即（当且仅当，即时取等号）当时，直线与椭圆有交点，满足题意，且的最大值为典例6、答案：（1）（2）横坐标的取值范围为，的最大值为2解：（1）由题意，可得，，得，解得：．椭圆C的标准方程为．（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．直线PA与直线的交点为；直线PB与直线的交点为．∵线段MN的中点坐标为，∴圆的方程为．令，则．∵，∴，∴．∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，∴，解得．设交点坐标分别为，，则．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．直线PA与直线的交点为；直线PB与直线的交点为．若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．∵，∴，代入得到，解得．该圆的直径为；圆心到x轴的距离为；该圆在x轴上截得的弦长为．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．∴，直线PA的方程为同理：直线PB的方程为．直线PA与直线的交点为；直线PB与直线的交点为．∴．圆心到x轴的距离为．若该圆与x轴相交，则，即．∵，∴，∴，解得．该圆在x轴上截得的弦长为．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为．由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．令，分别可得，．∴点M的坐标为，点N的坐标为．若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，∵，∴．．∵，∴，代入得到，∴．∴．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．解法5：设直线OP与交于点T．∵轴，∴有，．∴，，即T是MN的中点．又设点P的坐标为，则直线OP方程为．令，得，∴点T的坐标为．而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，则，即．∵，∴，∴，解得或．∵，∴，∴．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）设椭圆（）的离心率为，可知，又因为，所以．由定点在椭圆上可得，故，．所以椭圆的方程为．（2）当直线与轴垂直时，设（），则．由