2022-2023学年人教版八年级数学下学期重要考点题型汇编练习03 勾股定理(题型汇编)(含详解)

专题03勾股定理的性质应用

【思维导图】

◎考点题型1:用勾股定理解三角形

例.（2022.全国.八年级课前预习）直角△ABC的两直角边3c=12,AC=16,则△ABC的斜边A3的长是

)

A.20B.10C.9.6D.8

变式1.（2021・山东沂源•七年级期中）已知△ABC中，AB=AC=\0,8。是AC边上的高线，DC=2,那

么B。等于（)

变式2.（2022•全国•八年级）已知，RAABC中，N4=90。，AB=4,BC=5,AC边的长为（）

A.3B.V4TC.3或aD.不

变式3.（2021•山东章丘•八年级期中）直角三角形的边长分别为“，b,c,且NC=90。，若/=9,乂=16,

那么c2的值是（）

A.5B.7C.25D.49

◎考点题型2:求两点间的距离

例.（2022•甘肃玉门•八年级期末）点尸（-3,4）到坐标原点的距离是（）

A.3B.4C.-4D.5

变式1.（2022•河北•宽城满族自治县教研室八年级期末）如图，数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是

1,8CL45,垂足为B,且8c=2,以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点则点。表示的数为（）

C.73D.75

变式2.（2021・湖南永兴•八年级期末）关于点尸（-3,4）,下列说法正确的个数有（）（1）点尸

到x轴的距离为4；

（2）点P到），轴的距离为-3；

（3）点P在第四象限;

（4）点尸到原点的距离为5；

（5）点P关于x轴的对称点的坐标是（-3,-4）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

变式3.（2021•广东•高州市长坡中学八年级期中）在直角坐标系中，点A（3,2）到原点的距离是（）

A.非B.VTTC.>/13D.2

◎考点题型3:勾股数问题

例.（2022•福建省福州第十六中学八年级期末）在下列四组数中，不易勾股数的一组是（）

A.15,8,7B.4,5,6C.24,25,7D.5,12,13

变式I.（2022.甘肃会宁•八年级期末）下列各组数，是勾股数的是（）

A.-B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

变式2.（2021•江苏江都•八年级阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（）

A.夜，夜,2B.（）.3,0.4,（）.5C.5,12,13D.9,12,13

变式3.（2021•陕西莲湖•八年级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）

A.5,12,13B.32,42,52C.1,GD.7,24,26

◎考点题型4：以直角三角形的三边长为边的三角形的面积

例.（2021•福建福安•八年级期中）图中字母A所代表的正方形的面积为（).

D.6

变式1.（2021・四川东坡•八年级期中）如图，黑色部分长方形的面积为（

A.24B.30C.40D.48

变式2.（2021・江西乐平•八年级期中）如图，分别以直角三角形的三条边向外部作了三个正方形A、B、C,

已知正方形A的面积是67cm2,正方形C的面积是lOOcnP,那么，正方形8的面积是（）

变式3.（2021•浙江•温州市南浦实验中学八年级期中）如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,分别以AB,BC,

AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25,169,则正方形M的面积为（）

◎考点题型5:勾股定理与网格问题

例.（2021•广东清新•八年级期中）如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2,连接小正

方形的三个顶点，得到AABC,则△ABC的面积为（)

C.8D.10

变式1.（2021•广西・南宁市第八中学八年级阶段练习）如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形

网格的格点上，则BC边长的高为（

B.#

变式2.（2021.辽宁铁东.八年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的4x4网格中，将连接任意两

个格点的线段称作“格点线”，则"格点线''的长度不可能为（）

B.MC.7BD.V5

变式3.（2020•陕西•西安市黄河中学八年级阶段练习）如图,网格中的每个小正方形的边长为1,四边形的

顶点A,B,C,。都在格点上，则下面5条线段长度为JI5的是（）

B.BCC.CDD.AD

◎考点题型6：勾股定理与折叠问题

例.（2021•山东・滕州市大坞镇大坞中学九年级阶段练习）已知，如图长方形ABC。中，AB=3,AD=9,将此

长方形折叠，使点8与点。重合，折痕为E凡则AABE的面积为（）

C.6D.12

变式1.（2021•浙江浙江•八年级期中）如果将长为6cm,宽为5cm的矩形纸片折叠一次，那么这条折痕的长

不可能是（）

A.8cmB.55/2cmC.5.5cmD.3cm

变式2.（2019・河南卧龙•七年级期末）如图，在△A8C中，AB=\0,AC=6,8C=8,将△ABC折叠，使点。

落在A8边上的点E处，AO是折痕，则△8OE的周长为（）

变式3.（2021•江苏江都•八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形纸片，Z4CB=90°MB=5cm,AC=3cm,

现将AABC折叠，使边AC与A3重合，折痕为AE,则CE的长为（）

◎考点题型7:利用勾股定理求两条线段的平方的和或差

例.（2018•全国•八年级单元测试）在RsABC中，斜边BC=10,贝ijBC2+AB?+AC2等于（）

A.20B.100C.200D.144

变式1.(2021•贵州六盘水•八年级阶段练习)在△ABC中，ZC=90°,AB=3,则AB2+BC2+4?的值为

()

A.6B.9C.12D.18

变式2.(2021•全国•八年级课时练习)在RtAABC中，ZC=90°,43=10,则2A歹+AC：+BC?=

().A.100B.200C.300D.400

变式3.（2021.江苏滨海.八年级期中）如图，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以AB为一条边

向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（)

◎考点题型8：利用勾股定理证明线段平方关系

例.（2021.江苏兴化.八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边

形A8CZ）,点E为对角线BQ上任意一点，连接AE、CE.若AB=5,BC=3,则AE2-CE2等于()

A.7B.9C.16D.25

变式1.（2021•全国•八年级课时练习）如图，在中,AB>AC,AHA.BC于H,M为AH上异于A

的一点，比较AB-AC与M8-MC的大小，则AB-AC（)MB-MC.

大于B.等于C.小于D.大小关系不确定

变式2.（2019•江苏•常熟市第一中学八年级阶段练习）在AABC中，NA、DB、NC的对应边分别是a、b、

c,若Z4+NC=90。，则下列等式中成立的是（）

A.a2+b2=c2B.b1+c2=a2C.a2+c2=b2D.c2-a2=b2

变式3.（2020•江苏东台•八年级阶段练习）在AABC中，ZBAC=90°,则下列结论成立的是（）

A.BC-AC+BCB.AC2=AB2+BC2C.AB2=AC2+BC2D.BC2=AB2+AC2

◎考点题型9:勾股定理的证明方法

例.（2022•全国•八年级）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学

史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法.利用图形中有关面积的

等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定

理的图形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式1.（2021.山东梁山.八年级期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而

成，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面积分别为S/,S2,S3,若S/+S2+S3=45,则

S2的值是（）

变式2.（2021•河北•临漳县教育体育局教研室八年级期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定

理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）

变式3.（2019•山东・青岛大学市北附属中学八年级阶段练习）如图1是边长分别为。力的两个正方形，经如

图2所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和.利用这个方法可以

推得或验证勾股定理.现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（）

B.割③补①C.割①补④D.割③补

②

◎考点题型10:以弦图为背景的计算题

例.（2021•北京・北方工业大学附属学校八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌

而成的正方形图案，已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x

>y）,则下列四个说法：①/+产=49,©x-y=2,③2q+4=49,④x+y=9.

其中说法正确的是（）

B.①②③C.②④D.①②④

变式1.（2022•北京房山•八年级期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，

它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定.“弦图”是由四个

全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为〃、b,大正

方形边长为3,小正方形边长为1,那么油的值为（）

变式2.（2022•山西襄汾・八年级期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长

得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数

学小组制作了一面“赵爽弦图锣“，其中NABC=90。，AC=1女m,AB=5cm,则阴影部分的面积是

A.169B.25C.49D.64

变式3.（2021•吉林辉春•八年级期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中

间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直

角三角形的两直角边分别是“、b（/»“），则（a+b）2的值为（）.

◎考点题型11:用勾股定理构造图形解决问题

例.（2021.吉林朝阳.八年级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁

高12cm.若这支铅笔长为18cm,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

变式L（2021・贵州六盘水•八年级期中）如图，一圆柱高12cm,底面半径为3cm,一只蚂蚁从点A沿圆柱

表面爬到点3处吃食物，要爬行的最短路程（4取3）是（）

A.15cmB.21cmC.24cmD.Jl51cm

变式2.（2021•河南舞钢•八年级期中）如图，圆柱的底面周长是24cm,高是5cm,在圆柱的侧面上，过上

底面的点A和下底面上的点C镶嵌一圈金属线，则这圈金属线的最小长度是（）

B.>/601cmC.C19cmD.30cm

变式3.（2021・福建・古田县新城初级中学八年级阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点8,

绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点。处，点。到地面的距离CD长为2m,点。到旗杆

AB的水平距离为8m,若设旗杆的高度AB长为xm,则根据题意所列方程是（）

(x-2)2+82=x2B.(x+2)2+82=JC2

BC

C.x2+82=（x-2）2D.x2+8=（JC+2）2

◎考点题型12：勾股定理与无理数

例.（2021•重庆市实验学校八年级期中）如图，点C所表示的数是（）

变式1.（2021・四川安岳•八年级期末）如图，点尸表示的数是一1,点A表示的数是2,过点A作直线/垂直

于玄，在直线/上取点B,使AB=1,以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C,则点C所表示的数为

-

变式2.（2021•浙江诸暨・八年级期中）如图，在数轴上，点A,B表示的数分别为0,2,8CLAB于点B,

且BC=1.连接AC,在AC上截取C£>=BC,以点A为圆心，AQ的长为半径画弧，交线段AB于点E,则

B.V5+1C.2D.75-1

变式3.（2021•山西省灵石县教育局教学研究室八年级期中）如图，长方形0ABe的。4长为2,A8长为1,

04在数轴上，点O与原点重合，以原点为圆心，对角线。8的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点

表示的实数是（)

,g£

।।1|。A1II1_A.2.5B.—2^/2C.6D.—y/5

-6-5-4-312-I0123456

◎考点题型13：梯子滑落高度

例.（2021•广东普宁•八年级期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙A。上，测得AO=4m,若梯子的顶端

沿墙下滑1m,这时梯子的底端也下滑1m,则梯子A8的长度为（）

k5mB.6mC.3mD.7m

OBD

变式1.（2021•河南•郑州外国语学校经开校区八年级阶段练习）如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部

C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m,为保证安全，梯子的底部和墙基的距离A8至少为4m,要使

云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）

8mB.9mC.10mD.12m

变式2.（2021.浙江浙江•九年级期末）如图，AC1BC,一架云梯A8长为25米，顶端4靠在墙AC上,

此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端8在

水平方向滑动的距离8。为（)

B.6米C.8米D.10米

变式3.（2021•广东•汕头市龙湖实验中学八年级期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根。的

距离为5m,梯子的顶端B到地面的距离为12m,现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A到墙根

O的距离等于6m,同时梯子的顶端B下降至B',那么BB'（)

小于ImB.大于1mC.等于ImD.小于或等于1m

◎考点题型14：求旗杆高度

例.（2021•山东牡丹,八年级阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B,绳子末端刚好接触到

地面,然后拉紧绳子使其末端到点。处，点力到地面的距离CD长为2m,点D到旗杆AB的水平距离为8m,

若设旗杆的高度AB长为xm,则根据题意所列的方程是（).

0

8H-8m-HC

A.（X-2）2+82=X2B.（X+2）2+82=X2

C.X2+82=（X-2）2D.X2+82=（X+2）2

变式1.（2021•河南三门峡•八年级期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系

索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”译文为"今有一竖立着的木柱，在木柱的上

端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8

尺处时，绳索用尽.问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为

（）

(x+3)2=82B.x2-(x-3)2=82

C.(x+3)2-/=82D./-a-3)2=8

变式2.（2021•黑龙江・哈尔滨德强学校八年级阶段练习）如图，要从电线杆离地面3.6m处向地面拉一条长

为4.5m的钢缆.则地面钢缆固定点A到电线杆底部点8的距离是（）

B.2.2mC.2.4mD.2.7m

变式3.（2021・全国•八年级专题练习）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，

当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）

A.12米B.10米C.8米D.6米

◎考点题型15:求小鸟飞行距离

例.（2021•江苏・江阴市璜塘中学八年级阶段练习）如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树

相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）

A.10米B.B米C.16米D.20米

变式1.（2021•河南•郑州外国语学校经开校区八年级阶段练习）如图，校园内有两棵树，相距8m,一棵树

高13m,另一棵树高7m,一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）

变式2.（2021.宁夏・银川市第十八中学八年级期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高A3=

15米，CO=7米，两树间的距离8。=6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C）,

则这只鸟飞行的最短距离AC=（）

变式3.（2018•山西•八年级阶段练习）如图，矩形ABCD是一个长为20m、宽为15m的长方形草地示意图，

现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（）

◎考点题型16：求大树折断前的高度

例.（2021.广东.深圳市新华中学八年级阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于

离地面6米B处折断倒下,倒下后的树顶C与树根A的距离为8米,则这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.12米C.14米D.16米

变式1.（2022・全国•八年级）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，

问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问

折断处离地面（）尺.

B.3.6C.4.5D.4.55

变式2.（2021.河南通许.九年级期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系

索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”译文为”今有一竖立着的木柱，在木柱的上

端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木

柱根部8尺处时，绳索用尽.问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可

列方程为（

8—

A./一（x+3）2=82B.x2-（x-3）2=82C.（x+3）-x2=82D.（x-3）2-x2=82

变式3.（2021・福建・古田县新城初级中学八年级阶段练习）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五

尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，

其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（）

A.5尺B.12尺C.13尺D.15尺

◎考点题型17:水杯中的筷子问题

例.（2021.陕西泾阳.八年级期中）如图，将--根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm,高24cm的装满水

的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为/7cm,则〃的取值范围是（）

A.4,24B.h.AOC.24领巾26D.16轰以24

变式1.（2022・全国•八年级）如图，玻璃杯的底面半径为3cm,高为8cm,有一只长12cm的吸管任意斜放

于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（)cm

B.2C.3D.4

变式2.（2021・山东邹城・八年级期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中

央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深

度是（）尺

B.10C.13D.12

变式3.（2022•全国•八年级）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,

设筷子露出在杯子外面长为//cm,则/z的取值范围是（）

A.0</?<12B.12</?<13C.ll</z<12D.12</?<24

◎考点题型18：航海问题

例.（2021•河南・南阳市第十三中学校八年级阶段练习）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口。向

东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口。向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、

C.14海里D.15海里

变式1.（2021•安徽黄山•八年级期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h.甲客轮用

1.5h到达点A,乙客轮用2h到达点反若4,8两点的直线距离为100km,甲客轮沿着北偏东30。的方向航

行，则乙客轮的航行方向可能是（）

A.南偏西30°B.北偏西30°C.南偏东60°D.南偏西60°

变式2.（2021•辽宁建昌•八年级期末）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于5,C

两处的小船，测得船B在点4北偏东75。方向900米处，船C在点4南偏东15。方向1200米处，则船8与

A.1500mB.1200mC.1000mD.800m

变式3.（2021・广西象州•八年级期中）如图，一艘轮船以8nmile/h的速度从港口A出发,向东北方向航行,

另一艘轮船以6nmile/h的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，出发2h后，两船的距离是（）

/B

C.12nmileD.lOnmile

南C

◎考点题型19：求河宽度

例.（2021•全国•八年级专题练习）如图，公路ACBC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测

得AC=L2km,BC=1.6km,则C两点间的距离为（)

一^—飞:汽A.2.0kmB.1.2kmC.1.0kmD.0.5km

变式1.（2021・山西潞城・八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路ATJB（NC=90。）绕过两

地间的一片湖，在A,B间建好桥后，就可直接从A村到8村.已知AC=5km,BC=12km,那么，建好

桥后从A村到B村比原来减少的路程为（）

2kmB.4kmC.10kmD.14km变式2.（2021•全国•八年级专题练习）如

图，为修铁路需凿通隧道AC,测得ZA+NB=90,AB=5km,BC=4km,若每天凿0.2km,则把隧道AC

B.12天C.9天D.6天

变式3.（2019•全国全国•八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏

离欲到达B点200m,结果他在水中实际游了520m,则该河流的宽度为（）

200m

-~------

：:A.480mB.380m

:：520m

।»

A

C.580mD.500m

◎考点题型20：求台阶上地毯长度

例（2022•全国•八年级）如图，在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要（）

17mB.18mC.25mD.26m

变式1.（2021・全国•八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A

和3是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到3点去吃可口的食物.则这只蚂蚁沿着台阶面爬行

的最短路程是（）

C.9D.15

变式2.（2021•甘肃・广河县回民第二中学八年级期中）在高5m,长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖

面图如图所示，地毯的长度至少需要（）

A.13mB.5mC.12mD.17m

变式3.（2022・全国•八年级）如图，在一个高为3〃?，长为5〃?的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（）

1mB.8/nC.9tnD.10/w

◎考点题型21：求台风是否受影响

例.（2022.重庆.八年级期末）如图，一艘船以40k,皿的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报,

某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200k/n的圆形区域（包括边界）都属台风影响区,

当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km,此时台风中心与轮船既定航线的最近距离

BA=300km,如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（）小时它就会进入台风影

响区

A.10B.7C.6D.12

变式1.（2020・湖北・武汉经济技术开发区第一初级中学八年级阶段练习）M城气象中心测得台风中心在M

城正北方向240km的P处，以每小时45km的速度向南偏东30。的PB方向移动，距台风中心150km

的范围内是受台风影响的区域，则M城受台风影响的时间为（）小时.

A.4B.5C.6D.7

变式2.（2011•湖北武汉•中考真题）如图，铁路MN和公路PQ在点。处交汇，ZQON=30°.公路PQ上A

处距。点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN匕沿。N方向

以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（

A.12秒B.16秒C.20秒

◎考点题型22：选址

例.（2020.陕西•西安电子科技大学附中八年级阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距25km,C、D

为两村庄，已知D4=10km,CB=15km,于A,。8,45于8,现要在AB上建一个服务站E,使

得C、。两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（)km.

A

10km

A.5B.10C.15D.25

变式1.（2020・广西环江•八年级期中）如图，高速公路上有A,B两点相距10km,C,O为两村庄，己知

DA=4km,CB=6km.八4_1_4?于A,于区，现要在A8上建一个服务站E,使得C,。两村庄

到E站的距离相等，则EB的长是（）.

AEB

4km

6)0nA.4kmB.5kmC.6kmD.V20km

D

变式2.（2021•全国•八年级）A、B、C分别表示三个村庄，AB=1700米，8C=800米，AC=1500米，某

社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）

A.AB的中点B.BC的中点

C.AC的中点D.NC的平分线与AB的交点

变式3（2020・山东任城•七年级期末）一条河流的8。段长8km,在8点的正北方1km处有一村庄A,在。点

的正南方5km处有一村庄E,在8。段上有一座桥C,把C建在何处时可以使C到A村和E村的距离和最小,

那么此时桥C到A村和E村的距离和为（

75

A.10B.屈C.12D.8

专题03勾股定理的性质应用

【思维导图】

◎考点题型1:用勾股定理解三角形

例.（2022.全国.八年级课前预习）直角△ABC的两直角边3c=12,AC=16,则△ABC的斜边A3的长是

)

A.20B.10C.9.6D.8

【答案】A

【解析】

略

变式1.（2021•山东沂源•七年级期中）己知AABC中，A8=AC=1O,8。是AC边上的高线，DC=2,那

么BO等于（）

【解析】

【分析】

由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长.

【详解】

解：'：AB=AC=\O,DC=2,

：.AD=AC-DC=^,

BD=\IAB2-AD2=V102-82=6

故选：c.

【点睛】

本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.

变式2.（2022•全国•八年级）已知，RRABC中，ZA=90°,AB=4,BC=5,AC边的长为（）

A.3B.屈C.3或D.不

【答案】A

【解析】【分析】

根据勾股定理求解即可.

【详解】

VZA=90°,AB=4,BC=5,

，AC=\IBC2-AB2=B-42=3•

故选：A.

【点睛】

此题考查了勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边

的平方和等于斜边的平方.

变式3.（2021•山东章丘•八年级期中）直角三角形的边长分别为a,b,c,且NC=90。，若屏=9,乂=16,

那么c2的值是（）

A.5B.7C.25D.49

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理，即可求解.

【详解】

解：•••直角三角形的边长分别为a,b,c,且NC=90。，

:.c2=a2+b2（）+16=25,

故选C.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，掌握直角三角形中，直角边的平方和等于斜边长的平方，是解题的关键.

◎考点题型2：求两点间的距离

例.（2022•甘肃玉门•八年级期末）点尸（-3,4）到坐标原点的距离是（）

A.3B.4C.-4D.5【答案】D

【解析】

【分析】

利用两点之间的距离公式即可得.

【详解】

22

解：点P（-3,4）到坐标原点（0,0）的距离是＞/（_3-0）+（4-0）=5，

故选：D.

【点睛】

本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距圈公式是解题关键.

变式1.（2022.河北.宽城满族自治县教研室八年级期末）如图，数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是

1,BCA.AB,垂足为8,且8C=2,以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D,则点。表示的数为（)

6D.右

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据勾股定理求出AC的长，再根据同圆的半径相等可知AO=AC,再根据条件:点A对应的数是原

点，可求出。点坐标.

【详解】

解：VBCLAB,

48c-90°，,AC=yjAB2+BC2=712+22=石，

•••以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点。，

，AO=AC=石，

.••点。表示的数是：逐.

故选D.

【点睛】

此题考查实数与数轴，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出AC.

变式2.（2021・湖南永兴•八年级期末）关于点尸（-3,4）,下列说法正确的个数有（)

（1）点P到x轴的距离为4；

（2）点尸到y轴的距离为-3；

（3）点P在第四象限；

（4）点P到原点的距离为5；

（5）点尸关于x轴的对称点的坐标是（-3,-4）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知点所在象限，画出图形，进而分析得出答案.

【详解】

解：如图所示：

(I)点P到x轴的距离为4,故(1)正确:

(2)点尸到y轴的距离为3,故(2)错误;

(3)点P在第二象限，故(3)错误；(4)点P到x轴的距离为4,点P到y轴的距离为3,根据勾股定理

可得，点P到原点的距离为5,故(4)正确；

(5)点P关于x轴的对称点的坐标是(-3,-4),故(5)正确.

所以正确的个数有3个.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了点的坐标，正确确定P点位置是解题关键.

变式3.(2021・广东•高州市长坡中学八年级期中)在直角坐标系中，点A(3,2)到原点的距离是()

A.V5B.而C.V13D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理求解即可.

【详解】

解：如图，ABLx轴于点8,

0A=4OB-+AB-=，

.,.点A（3,2）到原点的距离是JB,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

◎考点题型3：勾股数问题

例.（2022.福建省福州第十六中学八年级期末）在下列四组数中，不举勾股数的一组是（）

A.15,8,7B.4,5,6C.24,25,7D.5,12,13【答案】B

【解析】

【分析】

利用勾股数的定义（勾股数就是可以构成个直角三角形三边的一组正整数），最大数的平方=最小数的平

方和，直接判断即可.

【详解】

解：A、8?+72=15?，故A不符合题意.

B、4,+52H6"故B符合题意.

C、72+242=252,故C不符合题意.

D、52+122=132,故D不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要是考查了勾股数的判别，熟练掌握勾股数的定义，是求解该题的关键.

变式1.（2022•甘肃会宁•八年级期末）下列各组数，是勾股数的是（）

A.—,—t—B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

【答案】D

【解析】

【分析】

根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解

【详解】

解：A、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；

B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；

C、62+72*82.则不是勾股数，故本选项不符合题意；

D、52+122=132,是勾股数，故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题

的关键.

变式2.（2021•江苏江都•八年级阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（）A.72,72,2

B.0.3,0,4,0.5C.5,12,13D.9,12,13

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股数的定义，对选项逐个判断即可，勾股数是指满足〃+从=,2的正整数.

【详解】

解：A和B不是正整数，不符合题意；

C、52+122=132,且为正整数，为勾股数，符合题意；

D、k+122=225x132,不是勾股数，不符合题意；

故选：C

【点睛】

此题考查了勾股数的判断，解题的关键是掌握勾股数的定义.

变式3.（2021•陕西莲湖•八年级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）

A.5,12,13B.32,42,52C.1,正，6