专题2-7 导数压轴大题归类（原卷版）

专题2-7导数大题求参归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01恒成立求参：常规型 1题型02恒成立求参：三角函数型 2题型03恒成立求参：双变量型 2题型04恒成立求参：整数型 3题型05恒成立求参：三角函数型整数 4/题型06“能”成立求参：常规型 5题型07“能”成立求参：双变量型 5题型08“能”成立求参：正余弦型 6题型09零点型求参：常规型 7题型10零点型求参：双零点型 8题型11零点型求参：多零点综合型 8题型12同构型求参：x1，x2双变量同构 9题型13虚设零点型求参 10高考练场 10题型01恒成立求参：常规型【解题攻略】利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.【典例1-1】（2024上·北京·高三阶段练习）设，函数．(1)讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围；(3)若，求a．【典例1-2】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数.(1)当时，求的最大值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若对恒成立，求实数a的取值范围．【变式1-2】（2024上·山西·高三期末）已知函数，.(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．题型02恒成立求参：三角函数型【解题攻略】三角函数与导数应用求参：正余弦的有界性三角函数与函数的重要放缩公式：.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)求证：时，；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．【典例1-2】（2023上·全国·高三期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；(3)设实数a使得对恒成立，求a的最大整数值.【变式1-1】（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【变式1-2】（2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数为其导函数．(1)求在上极值点的个数；(2)若对恒成立，求的值．题型03恒成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数，(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)设函数，当有两个极值点时，总有成立，求实数的值．【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.(1)讨论函数在上的极值；(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数.(1)若，求函数的极值点；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.【变式1-2】（2023下·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.题型04恒成立求参：整数型【解题攻略】恒成立求参的一般规律①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号【典例1-1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知．(1)若恒成立，求实数的取值范同：(2)设表示不超过的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）【典例1-2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，为自然对数底数．(1)证明：当时，；(2)若不等式对任意的恒成立，求整数的最小值．【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知函数，.(1)若，求函数值域；(2)是否存在正整数a使得恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求k的值；(2)若，且时，恒有，求k的最大值．（参考数据：）题型05恒成立求参：三角函数型整数【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）已知．（1）证明：；（2）对任意，，求整数的最大值．（参考数据：）【典例1-2】（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，.（1）若，求函数在上的单调区间；（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b.【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数．(1)讨论在区间内极值点的个数；(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）设函数，(1)求在区间上的极值点个数；(2)若为的极值点，则，求整数的最大值./题型06“能”成立求参：常规型【解题攻略】形如的有解的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可.【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.注：为自然对数的底数.【典例1-2】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数，是的导函数.(1)若，求的单调区间；(2)若存在实数使成立，求的取值范围.【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在，使得，求实数的最小值．【变式1-2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在，使得，求的取值范围.题型07“能”成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数，（1）相等关系记的值域为A,的值域为B,①若，，有成立，则有；②若，，有成立，则有；③若，，有成立，故；（2）不等关系(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数，其中a≠0.(1)若，讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【典例1-2】（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(2)求的单调区间；(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．【变式1-2】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．题型08“能”成立求参：正余弦型【典例1-1】（2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习）函数.（1）求证：函数在区间内至少有一个零点；（2）若函数在处取极值，且，使得成立，求实数的取值范围.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+2﹣2cosx（1）求函数f（x）在[，]上的最值：（2）若存在x∈（0，）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围【变式1-1】（2020·四川泸州·统考二模）已知函数.（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；（2）求证：当m＞2时，对任意x0∈(0,π]，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．（1）若在处的切线为，求的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．题型09零点型求参：常规型【解题攻略】零点常规型求参基础：分类讨论思想与转化化归思想数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处）3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。【典例1-1】（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．(1)求的解析式；(2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．【典例1-2】（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数是偶函数．(1)求的值；(2)若函数无零点，求的取值范围；(3)设，（其中实数）．若函数有且只有一个零点，求的取值范围．【变式1-1】（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知．(1)试判断函数的单调性；(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．【变式1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求的最小值；(2)若函数有且只有一个零点，求的取值范围．题型10零点型求参：双零点型【解题攻略】利用导数解决有两个零点，求实数的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单调性.【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线过原点的切线的方程．(2)若有两个零点，求实数的取值范围．【典例1-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，且恒成立．(1)求实数的最大值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．【变式1-1】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数.(1)当时，求的图象在处的切线方程;(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.【变式1-2】（2023下·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.题型11零点型求参：多零点综合型【解题攻略】三个以及三个以上零点，较复杂，综合度较大。1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。【典例1-1】（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）已知函数，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【典例1-2】（2022上·广西钦州·高三校考阶段练习）已知在区间，上的值域，.（1）求的值；（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【变式1-1】（2020·浙江·模拟预测）已知函数.（1）求函数的最值；（2）已知函数，设函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【变式1-2】（2022上·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数.(1)求函数的极值点；(2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.题型12同构型求参：x1，x2双变量同构【解题攻略】双变量同构型，较多的是含有绝对值型。1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解【典例1-1】（2019·河南郑州·统考二模）已知函数.（1）曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）若，时，，都有，求的取值范围.【典例1-2】（2020上·河南三门峡·高二统考期末）已知函数.（Ⅰ）若在处的切线方程为，求a的值；（Ⅱ）若，，都有恒成立，求实数a的取值范围.【变式1-1】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围.【变式1-2】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围..题型13虚设零点型求参【解题攻略】虚设零点转化技巧：（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。【典例1-1】（2023·河南安阳·统考二模）已知函数，．(1)若曲线有两条过点的切线，求实数m的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值集合．【典例1-2】（2023·天津河北·统考一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.【变式1-1】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.【变式1-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.高考练场1.（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若在上恒成立，求的取值范围．2.（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数.(1)讨论在区间上的单调性；(2)若在上恒成立，求的取值范围.3.（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．4.（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数(1)若，讨论的单调性.(2)当时，都有成立，求整数的最大值.5.（2023·