《高等数学Ⅰ》课程教学大纲

《高等数学Ⅰ》课程教学大纲一、课程基本情况课程代码：114112123001，114112123002课程名称(中/英文)：高等数学Ⅰ/AdvancedMathematicsⅠ课程类别：基础课/必修课学分：10学分总学时：160学时理论学时：160学时实验/实践学时：0学时适用专业：金属材料工程适用对象：本科先修课程：初等数学教学环境：普通教室/多媒体教室开课学院：数学与物理教学部二、课程简介（课程任务与目的、对接培养的岗位能力，300字左右。）1.课程任务与目的《高等数学Ⅰ》是工科各专业的学科基础课之一，讲述函数与极限、一元函数微积分学、常微分方程、空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数等有关概念以及应用。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分学、空间解析几何、常微分方程及无穷级数的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决工程问题的能力，使学生了解微积分学、微分方程、空间解析几何、无穷级数等知识在工程中的具体应用，掌握应用高等数学知识对工程问题的分析方法，为学习后继课程及从事本领域相关工作奠定必要的数学基础。在教学过程中注重激发学生的学习兴趣，培养学生自主学习能力以及积极探索、勇于创新的科学精神。坚持知识传授与价值引领相结合，立足数学教学规律的普遍性，积极主动融入课程思政元素，不断加强世界观、人生观、价值观教育，激发学生的爱国情、强国志、报国行。引导学生践行社会主义核心价值观，培养学生成为德才兼备、全面发展的社会主义建设者和接班人。2.对接培养的岗位能力在课程教学过程中，注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和计算能力，注重提高学生的数学素养和运用数学知识解决复杂工程问题的能力。三、课程教学目标1.课程对毕业要求的支撑[毕业要求指标点1.1]表述能力：能够应用数学、自然科学知识的基本概念、基本理论和基本方法正确表述本专业的工程问题。[毕业要求指标点1.2]建模能力：能够针对本专业工程领域复杂问题的具体对象建立力学、数学模型并求解。[毕业要求指标点2.1]工程识别能力：能够根据所掌握的数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、判断本专业复杂工程问题的关键环节和主要影响因素。2.课程教学目标对应毕业要求指标点，具体内容如下教学目标1：正确理解函数、极限、连续性、导数、微分、函数的极值、不定积分、定积分、常微分方程、偏导数与全微分、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等概念。掌握基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理，不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理，常微分方程，偏导数与全微分，重积分、曲线积分与曲面积分，无穷级数等性质及公式。（支撑毕业要求指标点1.1）教学目标2：熟练掌握各类运算法则和方法(如求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，不定积分、定积分的计算、几种常见的常微分方程的解法，偏导数和全微分的运算法则，重积分、线积分、面积分的计算，函数展开成幂级数的方法等)。（支撑毕业要求指标点1.2）教学目标3：掌握工程中用定积分、常微分方程、多元函数积分学等求解常见的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题。（支撑毕业要求指标点2.1）四、教学课时安排（一）学时分配第一学期知识点教学内容总学时学时完成课程教学目标讲课实验实践函数与极限函数、极限与连续的概念与性质1414(1)(2)导数与微分导数与微分的概念与性质、导数与微分的基本公式1212(1)(2)微分中值定理与导数的应用微分中值定理、洛必达法则、泰勒定理、利用导数研究函数的性态及描绘函数的图像1414(1)(2)(3)不定积分不定积分的基本公式、不定积分的换元积分法、分部积分法及有理函数的积分1212(1)(2)定积分定积分的概念及计算方法、变上限的定积分、反常积分1212(1)(2)定积分的应用元素法、利用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积以及曲线的弧长88(1)(2)(3)合计7272第二学期微分方程微分方程的概念、几种常见的一阶微分方程及高阶微分方程的解法1212(1)(2)(3)空间解析几何与向量代数向量的运算、空间曲面与空间曲线的概念及性质、利用向量研究平面与空间直线1414(1)(2)多元函数微分法及其应用偏导数与全微分的概念、运算法则及其应用1818(1)(2)(3)重积分二重积分及三重积分的概念及计算方法1212(1)(2)(3)曲线积分与曲面积分两类曲线积分及曲面积分的概念及计算方法、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用1818(1)(2)(3)无穷级数常数项级数的概念及敛散性判定方法、幂级数的和函数求法及函数的幂级数展开式1414(1)(2)合计8888总计160160五、教学内容及教学设计知识点1函数、极限、连续1.教学内容(1)在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解。(2)理解复合函数的概念，了解反函数的概念。(3)会建立简单实际问题中的函数关系式。(4)理解极限的概念，了解极限的定义(不要求学生做利用、定义求极限的习题)。(5)掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。(6)了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握用两个重要极限求极限。(7)了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，掌握用等价无穷小求极限。(8)理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。(9)了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。(10)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。2.教学重点极限概念；极限的四则运算法则；利用两个重要极限求极限；函数的连续性。3.教学难点极限的定义、极限存在准则。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点2导数与微分1.教学内容(1)理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。(2)了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。(3)掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。(4)理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。(5)了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法(不要求学生求函数的阶导数的一般表达式)。(6)掌握求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。2.教学重点导数的定义、初等函数导数的求法(一阶及二阶)。3.教学难点复合函数求导法、高阶导数的求法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点3微分中值定理与导数的应用1.教学内容(1)理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理，掌握用洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限。(2)了解泰勒(Taylor)定理以及用多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求)。(3)理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。(4)会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。(5)了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(6)了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。2.教学重点罗尔定理；拉格朗日定理；洛必达法则；用导数判断函数的单调性及极值。3.教学难点泰勒公式。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点4不定积分1.教学内容(1)理解原函数与不定积分的概念及性质。(2)掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元积分法与分部积分法(淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练)。2.教学重点不定积分的基本公式；不定积分的换元积分法与分部积分法。3.教学难点不定积分的换元积分法；有理函数积分的一般方法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点5定积分1.教学内容(1)理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求)，了解定积分的性质和积分中值定理。(2)理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。(3)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。(4)了解两类反常积分及其收敛性的概念。(5)了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)的思想。2.教学重点变上限函数及其求导定理；牛顿–莱布尼兹公式；定积分的换元积分法、分部积分法。3.教学难点定积分的概念，定积分的换元积分法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点6定积分的应用1.教学内容1.掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。2.教学重点几何量和物理量的积分表达式。3.教学难点元素法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点7微分方程1.教学内容(1)了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。(2)掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。(3)会解齐次微分方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。(4)会用降阶法求下列三种类型的微分方程：，，。(5)理解二阶线性微分方程解的结构，了解高阶线性微分方程解的结构。(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。(7)会求一些常用的的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。(8)会通过建立微分方程模型解决一些简单的实际问题。2.教学重点可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程解法，一些常用的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。3.教学难点伯努利方程，一些常用的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，微分方程模型的建立。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点8空间解析几何与向量代数1.教学内容(1)理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。(2)掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。(3)掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两个向量垂直、平行的条件。(4)掌握平面的方程和空间直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。(5)理解空间曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。(6)了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。(7)了解空间曲线的参数方程和一般方程。(8)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。2.教学重点空间直线、平面方程；常用的二次曲面方程。3.教学难点曲面方程；空间曲线方程。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点9多元函数微分法及其应用1.教学内容(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。(3)理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。(4)了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法。(5)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。(6)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数(对于求抽象复合函数的二阶偏导数，只要求作简单训练)。(7)会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数(对求二阶偏导数不作要求)。(8)了解空间曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。(9)理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。2.教学重点二元函数的偏导数、全微分的概念及计算；二元复合函数的求导法则；二元函数的极值及其求法；条件极值与拉格朗日乘数法。3.教学难点复合函数(抽象函数)、隐函数的二阶偏导数求法；方向导数与梯度的概念，拉格朗日乘数法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点10重积分1.教学内容(1)理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标，球面坐标)。(3)了解科学技术问题中建立重积分的元素法(微元法)，会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。2.教学重点二重积分、三重积分的计算法。3.教学难点三重积分的计算法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点11曲线积分与曲面积分1.教学内容(1)理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分(对于空间曲线积分的计算只作简单训练)。(2)掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件，了解第二类平面曲线积分与路径无关的物理意义。(3)了解两类曲面积分的概念、相互联系及其计算方法。(4)掌握高斯(Gauss)公式，了解斯托克斯(Stokes)公式(斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求)。(5)了解场的基本概念，了解散度、旋度的概念和某些特殊场(无源场、无旋场与调和场)，会计算散度与旋度。(6)了解科学技术问题中建立曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。2.教学重点两类曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式、高斯公式。3.教学难点第二类曲面积分的计算，高斯公式，斯托克斯公式。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。知识点12无穷级数1.教学内容(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。(3)了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求作简单训练)。(5)掌握利用与的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数展开成幂级数。(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。(7)了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数。2.教学重点正项级数的比较、比值判别法；交错级数的莱布尼兹判别法；幂级数收敛半径及收敛区间的求法；函数展开成幂级数；简单的幂级数和函数的求法。3.教学难点正项级数的比较判别法；用间接法将函数展开为幂级数；幂级数的和函数的求法。4.教学方案设计(含教学方法、教学手段)讲授法、启发式教学、讲练结合，鼓励使用混合式教学等方式进行教学改革。六、学生成绩评定根据课程类型、课程性质、课程内容及特点，确定适合的考核方式及成绩比例，重点考核学生获取知识的能力、应用所学知识分析问题和解决问题能力、实践动手能力和创新能力等；考核方式采用多种形式（测验、答辩、论文等）、多个阶段（平时测试、作业测评、期末考核等）等全过程的考核。1.课程考核方式及比例本课程考核学生获取知识的能力、应用所学知识分析问题和解决问题能力、实践动手能力和创新能力等；考核方式采用出勤、作业评测、课堂表现、平时阶段测验等多种形式、多个阶段等全过程的考核，使学生成绩评定更加合理多样，优化课程评价体系，进一步提升本课程教学效果。学生成绩评定表考核方式平时成绩期中考试期末考试出勤作业课堂表现阶段测验答辩项目小论文其他√√√√成绩比例%510510702.课程考核方式评价权重本课程考核由形成性评价（30%）、结果性评价（70%）构成，其中形成性评价包括课堂表现、作业及章节测试三个部分，分别占总成绩的10%、10%和10%，结果性评价以期末考试为主。各考核方式与课程目标对应的关系如表3所示。具体考核细则如下：《高等数学I(1)》课程目标考核方式及成绩构成毕业要求课程目标考核内容考核与评价方式及成绩比例折合综合成绩分值形成性评价（30%）结果性评价（70%）课堂表现（10%）作业（10%）章节测试（10%）1.11（1）函数、极限、连续的概念及性质；（2）导数与微分的概念及性质、导数的几何意义及物理含义；（3）不定积分、定积分的概念及性质、定积分的几何意义。30303030301.22（1）求函数和数列极限的方法与运算法则；（2）导数和微分的运算法则；（3）不定积分、定积分的计算。50505050502.13（1）一元函数微分学的应用（函数的性态、极值与最值问题等）；（2）运用定积分求面积、体积及一些物理量。2020202020各环节原始分合计100100100100100各环节成绩占综合成绩比例10%10%10%70%100%《高等数学I(2)》课程目标考核方式及成绩构成毕业要求课程目标考核内容考核与评价方式及成绩比例折合综合成绩分值形成性评价（30%）结果性评价（70%）课堂表现（10%）作业（10%）章节测试（10%）1.11（1）微分方程的基本概念及性质；（2）平面与空间直线的概念，曲面与空间曲线的方程；（3）偏导数与全微分的概念、性质；（4）重积分、线积分、面积分的概念及性质；（5）无穷级数的概念及性质。30303030301.22（1）几种常见的常微分方程的解法；（2）平面与空间直线的方程、位置关系；（3）偏导数和全微分的运算法则；（4）重积分、线积分、面积分的计算；（5）函数展开成幂级数的方法。50505050502.13（1）运用微分方程求解几何或物理问题；（2）多元函数微分学的应用（几何应用、多元函数的极值）。2020202020各环节原始分合计100100100100100各环节成绩占综合成绩比例10%10%10%70%100%3.课程成绩评价标准（1）形成性评价平时成绩评定依据是课堂表现、作业和章节测试，评分标准见下表形成性评价评分标准课程目标评价环节优秀[90-100分）良好[80-89分）中等[70-79分）及格[60-69分）不及格[0-59分）课程目标1、2、3课堂表现课堂状态、课堂互动、回答问题等积极、踊跃、正确。课堂状态、课堂互动、回答问题等比较积极、踊跃、正确率较高。课堂状态、课堂互动、回答问题等比较积极、踊跃、正确率不足。课堂状态、课堂互动、回答问题等一般，正确率较低。课堂状态、课堂互动、回答问题等不积极、不踊跃、正确率很低。作业独立按时完成，熟练掌握高等数学的理论知识和计算方法，错题占比10%以内，书面整洁美观。独立按时完成，较熟练掌握高等数学的理论知识和计算方法，错题占比10%至20%，书面整洁美观。独立完成作业