作业02计数原理（5大题型巩固提升练能力培优练拓展突破练仿真考场练）原卷版

完成时间：月日天气：作业02计数原理（5大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）一、两个计数原理1．分类计数原理和分步计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性．2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么．(2)思考如何完成这件事．(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类．(4)选择计数原理进行计算．二、排列与组合的综合应用1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则．2.解决排列、组合综合问题要注意以下几点(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题．(2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接．(3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净．三、二项式定理及其应用1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解．角度1二项展开式的“赋值问题”“赋值法”在二项展开式中的应用(1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征．(2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等，视具体情况而定．(3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可．角度2二项展开式的特定项问题二项式特定项的求解策略(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)确定二项展开式中的系数最大项或最小项：利用二项式系数的性质．一．计数原理的应用（共3小题）1．（2023春•宿迁期中）将3个教师分到6个班级任教，每个教师教2个班的不同分法有种．2．（2023春•高新区校级月考）两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接、两点；则不同的最短连接线有条．3．（2024春•连云港期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：①六位奇数；②个位数字不是5的六位数；③不大于4310的四位偶数．二．排列及排列数公式（共2小题）4．（2024春•邗江区期中）已知且，，则下列等式中正确的是A． B． C． D．5．（2024春•高邮市校级月考）若，则的值为．三．组合及组合数公式（共4小题）6．（2024春•赣榆区期中）A． B． C． D．7．（2023春•仪征市校级月考）A． B． C． D．8．（2023春•金坛区校级月考）我们知道：，相当于从两个不同的角度考察组合数：①从个不同的元素中选出个元素并成一组的选法种数是；②对个元素中的某个元素，若必选，有种选法，若不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子：，，．9．（2023春•广陵区校级期中）计算：（1）；（2）．四．排列、组合及简单计数问题（共13小题）10．（2024春•苏州期中）一只蚂蚁从点出发沿着水平面的网格线爬行到点，再由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，则它可以爬行的不同最短路径条数有A．40 B．60 C．80 D．12011．（2024春•海门区校级期中）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为A．720 B．1440 C．2400 D．288012．（2024春•东海县校级月考）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有A．60种 B．120种 C．150种 D．240种13．（2024春•东海县校级月考）美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若某两幅画至少有一幅参展，则不同的参展方案有多少种？A． B． C． D．14．（2024春•广陵区校级月考）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到，，，四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则A．所有可能的安排方法有64种 B．若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种 C．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种 D．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去医院，则不同的安排方法有18种15．（2024春•建邺区校级期中）在20件产品中，有18件合格品，2件次品．现从这20件产品中任意抽出3件，至少有1件次品的抽法有种．（请用具体数字作答）16．（2024春•镇江期中）为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为（用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为（用数字作答）．17．（2024春•鼓楼区校级期中）3名男生，4名女生，全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有种．18．（2024春•启东市期中）将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法数为．19．（2024春•海门区校级月考）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体．现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求，处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有种．20．（2024春•淮安期中）话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示）（1）唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法．（2）八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法．（3）悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法．21．（2024春•镇江期中）小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天．（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案；（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案；（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案．22．（2024春•启东市期中）某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译人，且满足，能从事俄语翻译6人．（1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？（2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？五．二项式定理（共15小题）23．（2024春•东海县期中）设，且，若能被3整除，则A．0 B．1 C．2 D．324．（2024春•沛县期中）的展开式中所有不含的项的系数之和为A． B． C．1 D．24325．（2024春•梁溪区校级期中）已知，若，则A．240 B． C．280 D．26．（2024春•南通期中）已知，则A．展开式各项的二项式系数的和为 B．展开式各项的系数的和为 C． D．27．（2024•姜堰区校级模拟）对于的展开式，含项的系数为．28．（2024•泰州四模）若的展开式中存在常数项，则的值可以是．（写出一个值即可）29．（2024春•淮安期中）已知三位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是．30．（2024春•广陵区校级期中）在的展开式中，若的系数为，则；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是．31．（2024春•宿迁期中）在的展开式中，把，，，，叫做三项式的次系数列．（1）求的值；（2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”．对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得．利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）．32．（2024春•东海县期中）已知，．（1）当，时，记的展开式中的系数为，1，2，3，，，求的值；（2）当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值．33．（2024春•邗江区校级期中）在的展开式中，含项的系数是．（1）求的值；（2）若，求的值．34．（2024春•广陵区校级期中）在的展开式中：（1）求二项式系数最大的项；（2）若第项是有理项，求的取值集合．（3）系数的绝对值最大的项是第几项．35．（2024春•广陵区校级期中）（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数．（2）已知，求的值．36．（2024春•锡山区校级期中）已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求（6）被8整除的余数．37．（2024春•赣榆区期中）已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．

一．填空题（共2小题）1．（2023春•广陵区校级期中）已知直线中的，，是取自集合，，0，1，中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是．2．（2022秋•玄武区校级期末）在的展开式中，含的系数是，；若对任意的，，恒成立，则实数的最小值是．二．解答题（共10小题）3．（2023春•泰兴市月考）请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题．①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大．已知在的展开式中，________．（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；（2）求展开式中的所有有理项．4．（2023春•广陵区校级期中）已知．（1）设，求中含项的系数；（2）化简：；（3）证明：．5．（2022春•亭湖区校级期中）在的展开式中，前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求展开式中含有的项的系数；（Ⅱ）求展开式中的有理项．6．（2022•句容市校级开学）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？（4）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？7．（2022春•沛县月考）在100件产品中有98件合格品，2件次品．产品检验时，从100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？8．（2022春•惠山区校级期中）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．9．（2024春•淮安期中）某同学在研究二项式定理的时候发现：，其中为的系数，它具有好多性质，如：①；②；③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题：（1）计算：；（请用数字作答）（2）若，且，证明：；（3）设数列，，，，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于的一次函数．10．（2022春•鼓楼区校级月考）（1）在集合，2，3，4，，中，选出三个不同的数字，组成一个三位数，其中能被3整除的三位数有几个？（2）在集合，2，3，4，，中，选出，，个不同的元素，共有种选法：若选出的元素中含有2，此时的选法总数记为：若选出的元素中不含有2，则选法总数记为．求出，，；猜想，，所满足的等量关系并加以证明；（3）在集合，2，3，4，，中，任取，，个元素构成集合，当的所有元素之和为偶数时，记满足条件的集合的个数为；当的所有元素之和为奇数时，记满足条件的集合的个数为．求，并将结果化简．11．（2022春•灌南县期中）已知数列的首项为1，记．（1）若数列是公比为3的等比数列，求的值；（2）若数列是公差为2的等差数列，①求证：；②求证：是关于的一次多项式．12．（2022春•鼓楼区校级月考）在二项式的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．一．选择题（共5小题）1．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有