【7】（参考答案）2023高考数学基础强化训练七

2023高考数学基础强化专题训练(七)

解析几何

基础知识

椭圆的基本量

1.如图(1),过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB=,称为通径.

2.如图(2),P为椭圆上的点，Fi，尸2为椭圆的两个焦点，且则△HP/2

的面积为.

3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.

4.设P,4,B是椭圆上不同的三点，其中4,8关于原点对称，则直线网与尸8的斜

率之积为定值________.

0

1.—2.Z?2,tanz3.a+ca-c4.—,

a2a1

直线与椭圆

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于M或)，)的一元方程：加+法

+c=0(或ay2+Z?y+c=0).

(1)若可考虑一元二次方程的判别式』，有：

①4>0元直线与圆锥曲线;

②4=0元直线与圆锥曲线;

③4Vo宛直线与圆锥曲线.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为网�)的直线/与圆锥曲线C相交于4(孙川)，8(小以)两点，则A8=.

1.(1)①相交②相切③相嘀

2.4+出|X2-X1|=院一川

双曲线的基本量运算

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.

2.如图，尸为双曲线上的点，F|,尸2为双曲线的两个焦点，且/尸1尸尸2=仇则△尸1尸尸2

的面积为.

3.焦点到渐近线的距离为.

4.设P,A,8是双曲线上的三个不同的点，其中A,8关于原点对称，则直线布与

PB的斜率之积为.

.2b2h2b2

1.1a2.-----8T3.b4.出—

tan

抛物线

设A8是过抛物线炉=2〃八3>0）焦点尸的弦，若A3,#）,8。2,J2），贝小

1

（I）XIX2=4，y\y2=—p\

（2）4尸=1，a，所=1+北a，弦长48=k+及+0=焉（a为弦AB的倾斜

角）；

小」-」=2

⑶FA十尸8一p；

（4）以弦48为直径的圆与准线相切；

（5）以A尸或3F为直径的圆与y轴相切；

（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.

直线与I员I锥曲线

1.已知椭圆C：5+E=lm>b>0）上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点S,B1

的连线分别与x轴交于P,。两点，。为椭圆的中心，则OP・OQ=〃

2.已知椭圆C：+£=l（a>b>0）上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点8“&

的连线的斜率分别为M，5则秘2=一1.

3.过抛物线V=2pNp>0）的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,且4（内，y）,8（孙

丫2），则工/2=4，）V2=­P2.

4.过抛物线）2=2px（p：>（））的顶点0作两条互相垂直的直线交抛物线于4,8两点，则直

线48过定点（2p,0）.

1.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

已知抛物线炉=4%的焦点为尸，直线/过点尸且与抛物线交于A,8两点，过点A作抛物线

准线的垂线,垂足为M,NMAF的角平分线与抛物线的准线交于点P,线段A8的中点为Q.若

忸阴=16,则俨。|=

A.2B.4C.6D.8

【?彳案】D

【的析］设/“：J'=«(x-l),JUI'/-1*=>42r-(2A:+4)x+Jt2=0=>

所以|/必二|”|+回1=2+.口+与=2+笠*=16,解得A'=；,即。（7,±2"）

由对梆性，仅研究A=李时，此时即

所以，伊|叫"，小00宅=（1+~>^^=（8+40）（2一工卜4,即J/=2>5

厢"（-1.2母°（7,2处即闻=8

2.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

（多选题）已知科，尸2分别为椭圆C：弓+尸=1的左、右焦，不过原点O且斜率为1的直

线/与椭圆。交于P,Q两点,则下列结论正确的有

A.椭圆。的离心率喈B.椭圆C的长轴长为2

C.若点M是线段尸。的中点，则MO的斜率为一；D.△OP。狗面积的最大值为坐

【捽案】ACD

【肝析】A./=2,/=in，=lne=£=4=①，SOfJ

a422

B.。=应=2。=2近，故错

6?I

C.心气=-了nA”-?故对

4m

I:y=x+m|x?+Je=--

D.=3x2+4〃JX+2M-2=0=

12nr-2

g=—^—

53=扣卜"70卜*叶楞卫^=y-9（"叫

当〃l=g时，S“也，取最大值孝，故对

3.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

己知人，人分别为双曲线。：1£=l(a>0,>0)的左，右焦点，过点B且斜率为1的

直线/与双曲线。的右支交于P,Q两点,若△BPQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率

为.

［答案］:向购

2

【M析】设PF】=m、0Fi=n,由双曲线定义可得/¥；:%+也。石=勿+〃

①尸耳=0。时，m+2a=m^n,即2。=〃，因为直线斜率为I,所以倾斜角为:，即/。玛丹=£.

44

在三角形QEE中，由余弦定理可洱(2£『=(2乃/+(KE)*-2QF,-gcos/Q6£

即/+历-3=0,解得e=叵严，此时宜线于双曲线的两支相交，舍；

-J?+Vl4

②。6=户。时，同理可-e=,，此时满足题意；

③时，由对称可得不存在，舍

4.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

已知椭圆c：捺+g=ig>b>o)经过点尸(-75净，°。令.

(1)求椭圆c的方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线/交椭圆于4,B两点,交直线”=4于点O.设直线04,QD,

k+k

3的斜率分别为即知q若玲/0,证明：七色为定值.

2i.解：(1)相点火-6季,点ai,|)代入椭圆方程］+亲•=ig>>>o)

_3_+J_=1,

得T4f，解得=1所以椭圆方程为g+g=］............................4分

I296-=343

后莪=1

(2)由题意直线IB的斜率•定存在，设直线48方程为：y=A(x-l),。坐标为(4,3A).

所以U............................................................................................................6分

24-12

与椭圆方程联立得(3+4犬*-8入+4炉-12=0

8公

△>0恒成立，由韦达定理知8分

4二一12

卬"WF

必一：必一'A（x/l）-1*（Jr2-D-131I

A.+JL=——Z+——1=------------2+-------------1=2k--（—J—+'一）

X]-I^2-1演一1x2-I2$一]/一]

8-

3.不+'-2_=2%_3____3+41_____

2玉七一（玉+X2）+124k2-128A2

3+4炉―3+4炉+

2_x

2k-^------------------------r=11分

24炉一12-8公+3+4公

♦+—_21_,

故一丁-丁T-（定值）.............................................................................................12分

4K----

2

5.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

已知抛物线八,二52的焦点为F.

(1)求抛物线「的准线方程：

(2)若过点尸的直线/与抛物线「交于A,8两点，线段A8的中垂线与抛物线「的准线交于

4

点C,请问是否存在直线/,使得tanZACB=?若存在，求出直线!的方程；若不存在，

请说明理由.

【解析】(1)由已知得产=4y，即抛物线的准线方程为y=7；

(2)由逆意得产(0,1),且/斜率一定存在，设/:y=h+l,

设力（不乂）,85,必），AB中点为M,设ZACF=a/BCF=0.则4加a”,

AMBAIAB

即tan〃CB=tan（a+3）=妈空蚂/=.再后=

'1-tana-tan/7.4MBMAB"

~~CF"CF4CF1

4

若存竦的酸，则tan（a+/?）=],即43?-3/8,CF-/"=0,

所以(4b+/B)(CP-/IB)=0,又因为CT>0,/8>0,即CF=/IB

因此有J+即Nf|=2

y=kx+1,Jx1+Jt,=4A

\=>r-4fcv-4=0=>{2卜]-与卜+J-4.t12=d6A?+1624

x=4y[x吊=-4

所以Jl6犬+16=2无解,即不存在满足题意的直线

函数与导数

1.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）

当把一个任意正实数N表示成N=axl（r（14avl0,“wZ）的时候，就可以得出正实数N的位

数是〃+1,如：235=2.35xl02,则235是一个3位数.利用上述方法，判断1850的位数是

（参考数据：lg2=0.3010,lg3*0.4771）

A.61B.62C.63D.64

答案：C

2.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）

已知Q=sin，,b=3,c=lnl.l,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD,b<c<a

答案：A

3.（盐城市2023届高三年级第一学期期中考试）

（多选题）对于函数风。若在区间/上存在刈，使得的）=刈，则称式工）是区间/上的“3

函数”.下列函数中，是区间/上的函数”的有

A.7=（0,+oo）B.«x）=ln（x+l）,Z=（-l,+oo）

C.J（x）=sinx,1=[0,+oo）D.y（x）=lg（sinx）,/=（一2%，一冗）

答案：ABD

4.（江苏省连云港市2022・2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）（多选题）

已知曲线/（劝=；/+，-女在点尸（孙/«））处的切线为《，贝IJ

4

A.当°=0时，/（%）的极大值为孑

B.若玉=1,4的斜率为2,贝lja=l

C.若/（x）在R上单调递增，则aNT

D.若存在过点尸的直线4与曲线/（x）相切于点。（马，/（£）），则芍+2马=3

答案：AB

5.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

（多选题）已知函数«r）=hu-一，，则下列结论正确的有

A.当时，y=/U）有2个零点

B.当时，凡0W0恒成立

C.当4=3时，X=1是丁=凡。的极值点

D.若汨，X2是关于X的方程«r）=o的2不等实数根，则为X2>e

［谷案】BC

【杆析】/（x）=0n竽=%易知g（x卜竽在（0,«）熠，在（△,+«）减，好图，故力错，B对,

,I】一2zzx'|_T2

C./(x)=lnx-ax2n/*(jr)=-2ax=-------=------,故对

D./(x)=0n〃(x)=誓-a=0,即不妨设0＜玉＜y/e＜x2

若x吊＜e,则玉＜工，则人(玉)＜力(工］,则则呼＜广3,

X2\*X3)\X2)X3

Wlnx,-＜0

设则乎一一二<0,

4/+e*

设二竽一73，则〃「(')=：_(-、/>0，即〃)(，)在(『,+8)上单调递增,

又〃«e2)=o,所以〃j(z)>o故x吊>e,即中2<0错

6.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

已知函数丁=/)的定义域为R,当x>0时，/)=2'—1,且函数y=/x+l)

关于点4—1,0)对称，则满足4〃-3)+於2)W0的取值范围是.

【捽案】［-3,1］

【解析】y=/(x+l)关于r(-l,0)对称，则/卜)为奇函数，目由题意可得/(x)单调递增,

听以/(213)+/，)&0=/任)0/(3-2工)=/03-2工=>-3。41

7.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)

设函数/(x)=siar—x+于P.

⑴若相斗求函数/㈤在［0,+8)上的最小值；

(2)若对任意的x£［0,+oo),有兀Q20,求〃?的取值范围

【杆析】(I)/(x)=sinx-x+gpn/(x)=cosx-l+(r)=-sinx+x=>/*(x)=-cosx+1

因为/”(x)N0,所以广(X)在［0,内)单调递增，

又因为/"(0)=0,所以/・。)之0,所以/'(X)在口位)单调递增，

所以/'(X)在［0,+8)上的最小值为/'(0)=0;

(2)/(x)=sinx-x+yjr5/'(jr)=cosjr-l+mx2=/■(»)=-sinx+2/nx

=>/*(x)=-cosx+2w

①—40时,/'(x)wo,即/(X)在［0,y)单调递减，

又因为/(0)=0,所以/(x)40,与已知矛盾，舍；

②析23时，/e(x)=-cosx+2/n21-cosx20,所以/"(x)在［0,+<»)单增,

又因为/・(0)=0,所以/・(x)»0,所以/'(x)在［0,x)单调递增，

又因为/'(0)=0,所以/'(同之0,所以/(X)在［0,x)单调递增，

又因为/(0)=0,所以/(力20,满足题怠；

③0<m<；时，/“X)在0,y上单调递胤

又因为/・(0)=2吁1<0,"0=2闭>0,所以存在,《0,3❖/"(/)=0,

当0。々时，/“卜)40,所以/"(x)在［0,，伸诩递减，

又因为/・(0)=0,所以/・(x)40,所以/'(x)在［。用单调递减，

又因为/'(0)=0,所以/'。)40,所以/")在［0可单调递减，

又因为/(0)=0,所以/。)<0,与已知矛盾,舍；

综上所述，用的取值范围为

三角函数

L(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

已知sin(2a-y3)=-3sin£,且。-£=1+桁，aw格,其中JtwZ,则则皎一回)

22tana

A.1B.2C.3D.4

答案：B

2.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

点。为△ABC边45上一点，满足AQ=2,DB=8,记NA8C=a,ZBAC=fi.

（1）当且£=2a时，求8的值；

JT

（2）若a+£=w，求△AC。的面积的最大值.

CDCD

tana=—tana=-----

【答案】（I）由已知得*n8

rCD

tan2a----tan2a=——

AD2

―—且.2tana_CD

又因为tan2a=--------,所以二-,解得。。=46；

l-tan"a2

(2底三角形ABC中，NC/IB=”-a-/?=电，

4

由正弦定理得手=」V，即/C=IOasina,

sinaS”

sin—

4

所以S.“A=；/C・/OsinA=10板sinasin(:-a)

loVisinaa-------sina10(sinacosa-sin2a)=5gin2a+cos2a-l)

2

5Csin(2a+?)-5

当2a+£=：,即a=£时，取最大值5五-5.

42o

排列组合

1.（常州市教育学会学业水平检测2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）

若（1—ar+f（）1—》8的展开式中含x2的项的系数为21,则。=

A.-3B.-2C.-1D.1

【答案】C

【解析】（1-X）8展开式第尸+1项尸，

公的系数l・（一l）2c；-a・（-l）C；+l・（一l）°C；=21,・・・。=-1,选C.

统计概率

1.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）

某收费站统计了2022年中秋节前后车辆通行数量，发现该站中秋节前后车辆通行数量

J~N（1000Q2）,若PG>1200）=a,P（800<<<1200）=Z?,则当8成力+为时下列说法正

确的是（）

A.a=—B.b=-C.a+b=—D.a-b=—

2442

答案：C

2.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）

史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的

活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中

抽取了1（X）0份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下

频数分布表：

成缴分[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

频数40902004001598040

（1）求这1000份试卷成绩的平均数?（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）假设此次测试的成绩X服从正态分布扭），其中从近似为样区平均数，/近似为样

本方差V,已知s的近似值为6.61,以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高

于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？

（3）该市教育局准备从成绩在［90,100］内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从

这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记丫为抽取的3份试卷中测试成绩在［95,100］

内的份数，求丫的分布列和数学期望.

参考数据：若X~N"M）,则P（/LOVXW"+（7）Q0.6827,2a）^0.9545,

p（p-3。VXW"+3。）=0.9973.

【的析】（I）由已知得

—•67.5+--72.5+--77.5+—.82.5+--87.5+--92.5+--97.5=82.15

1000100010001000100010001000

⑵由已知得P(x>p-(r)=P(x>75,54)=1+'("一°+。84135,

答：市委宣传部预期平均成绩大约为万.5分；

（3）由分层抽样得抽取的6分试卷中2份在［95,100）内，4份在［90,95）内，Y的可能取值为0JZ

则?（y=0）=等=，（丫=1）=鲁="（丫=2）=等J

666

即Y的分布列为:

Y012

P£3£

555

所以员y）=i.

立体几何

1.（2022・2023苏州市高三上学期期中调研试卷）（多选题）

在棱长为2的正方体中，M,N分别是棱48,AD的中点，线段MN上有动点P,棱CG

上点E满足GC=3GE.以下说法中，正确的有

A.直线GP与是异面直线

B.直线C/〃平面5OE

C.三棱锥C-GMZV的体积是1

D.三棱锥C-GMN的体积是3

答案：ABC

2.(江苏省南京市南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷)

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=2,AD=4,点E为线段49的中点，将

△CDE沿着CE折起到△CPE位置，M为EC的中点.

(1)求证：平面5PM_L平面A3CE；

(2)当平面CPE_L平面A8C七时，求二面角4一/＜一£的余弦值.

P

E

[VPiJ(I)由已知得三角形PEC和三角形BEC均为等边三角形

因为M是EC中点，所以1ECtPM1EC

又因为BAIcPM=M,BMu而u而PBW,所以CE1面P6”

又因为CfuID/BCE,所以而H6CEJL面尸8V；

(2)以A1为原点，MB所在直线为x轴，ME所在宜线为y怕，ZP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

由已知得A(5/5QO),P(O,O,G1C(O,TO),即丽=卜6,0,9,反^卜逝一叫

-.,、n-BP=Q-岛+岳=0

设面3PC的法向量n=(atb,c),贝叫_____n

ii'BC=0-y/ia-b=Q

令a=l有〃

由(1)可知丽=(G,0,0)为面PCE的一个法向量，所以侬值画=而赢=/3邛

答：二面角B-PC-E的余弦值为y.

3.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

如图,在四棱锥P-ABCD中，R4J■平面ABCD,PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD

是梯形，AD1.AB,BC//AD,ZD=2,PA=BO\,

(1)证明：平面以CJ•平面PCD;

(2)若点7是8的中点，点M是尸T的中点，求点尸到平面43M的距离.

20・(1)证明：由24J.平面48CD,4Bu平面,C0u平面力BCD

得21_L/1&R4_LC£>,08与底面43CO所成角为NPK4=45。.

所以三角形月仍为等腰直角三角形,AB=AP=\..............................................................1分

又由四边形ABCD是直角梯形，BC//AD,可知力BJJ3C,三角形ABC为等腰直角三角形,

/C=.在直角梯形力品。中，过C作垂足为E,可知/E=8C=CE=L

所以。E=l,在等腰直角三角形CDE中，CD=O.

AC2+Clf=2+2=4=AD2,所以0C_L4C.....................................................................3分

又因为Q4_LQC,24rMe=/，/Mu面R4C,/Cu面24c.

所以。CJ•平面E4C..............................................................................................................5分

因为℃u平面PCD,所以平面P/CJL平面PCD................................................................6分

(2)以力为坐标原点，分别以48,AD,4P所在

的直线为x,乃z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

则40,0,0),K0,0,l),B(l,0,0),£)(0,2,0),C(1,l,0).

因为7是8的中点，点M是PT的中点,,所以

..................8分

22442

设平面ABM的法向量为

一一.---131

〃=(x,y,二)，48=(1,0,0),

x=0

n-AB=0力

则.一得131人,

n-AM=O-x+-y+-r=0

44Z2

取歹=4,则==-6.得平面48M的一个法向量为〃=(Q4,Y).........................I。分

所以点尸到平面ABM的距离为\AP-中n\==^=噜

12分

数列

L(盐城市2023届高三年级第一学期期中考试)

首项为4的等比数列｛m｝的前〃项和记为工，其中Ss、S4、S6成等差数歹U.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

I100

⑵令儿=10g2M_#log2M+J求

解：(1)等比数列｛《』中，4=4.

•.•$5,54,56成等差数列，」.55+56=254，....................................................................................2分

2%+。6=。，即公比4=/二一2,...............................................................................................4分

%

得。“二4(一2)”-，.............................................................................................................................6分

2w2n+2

(2)由(1)可得41=4・(-2产―2=22”,a2rt+1=4-(-2)=2.......................................8分

,11141、

・"=-----------------------------------，=——jIf\Zk,

"log21a2”Jl°g2la2“+il(2〃)(2〃+2)4nn+1'

2.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)

己知数列｛勺｝和色｝满足。产2…4=(4)"，血｝为等比数列，且。2=4，bA-b3=8.

(1)求与勿；

(2)设，.=迫，求数列£｝的前〃项和

n

解：(1)由。任…勺=(④)"，得-1=(1)*，,

两式相除,得见=(应卢一1=2工,(〃22)............................................................................2分

因为“一4=8,所以4=16.设｛叫的公比为4,由%=4,4=16,得炉=4,

由题意知｛4｝是正项数列，所以9=2.故q=4./-2=4・2>2=2".....................................4分

由《生…可=(6广，知(4户_21.22.....2"=21+2*"",*"=22所以“=〃(〃+1)...........................6分

(2)4=地>=(〃+1)2”..........................................................................................................8分

n

、p„=2-2'+3-22+4-23+……+5+1)2”

"卜工=2-22+3-23+4-24+……+(«+1)2"“'

由错位相减得:-S,=22+22+23+~i+2"—(〃+l)2"“=2+'-：

所以S”=〃2"7......................................................................................................................12分

3.(盐城市2023届高三年级第一学期期中考试)

数列｛〃”｝中，ai=2,小+。“+|=2”+1,〃£N*.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)若数列｛瓦｝满足仇=皿-「2吗ziGN*,求｛6｝的前〃项和.

解：数列｛%｝中，4=2,〃"+〃”+]=2〃+1,neN*.

a[+a2-3,得a2一1•........................................................................................................................1分

由/+为+1=2〃+1(〃21),%_[+%=2〃一1(〃22)

得%+1-《1=2(〃？2)・..........................................................................................................................3分

「•当〃为正奇数时，4=2+(等-1"2=〃+1；

当〃为正偶数时，4=1+(]-l)x2=〃-l.

[n+l,〃为正奇数

综上‘"”"|〃一1,〃为正偶数..........................................................6分

(2)由(1)可得。2〃-I=2〃，%,=2〃一1.

b”=々“I•2叽=2n-221=〃-4”・......................................................................................8分

记仍〃｝的前〃项和为S”.

S”=1x4+2x42+…+5-l)x4""+〃x4”，

得4s“=1X42+2X4/-+(〃-1)X4"+〃X4"|.

两式相减，得35.=—(4+42+43+…+4")+〃x4向=一^-^+〃乂42

3

整理得导=空-4用+1,................................................................................................12分

圆锥曲线

——2023高考数学复习专题

出题背景

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(1)阿基米德三角形

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形这个三角形又常被称为

阿基米德三角形。因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛

物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3.

近年全国以及各地高考以此为背景的颇多。

v-2|

(20】9年川卷理科21)已知曲线C:尸w，。为直线尸一万上的动点，过。作C的两条

切线，切点分别为力，B.

(1)证明：直线4月过定点：

(2)若以£(0,1)为圆心的圆与直线力用相切，旦切点为线段.48的中点，求四边形

ADBE的而积.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（2）阿波罗尼斯圆

平面内的一个动点到两个定点的距离之比为常数（不为1）的点的轨迹为圆。

1994年全国高考题

（24）（本小题满分12分）4

已知比角坐标平面上点。（2,0）和例C：/+/=],动点乂到阿/卜、

C的切线长与必。1的比等于常数[（4X））.求动点M的轨迹方程，说（0）~

明它表示什么曲线.

对条件的讨论

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（2）阿波罗尼斯圆

（2008年江苏理科题）满足条件45=247=近跋的AABC的面积的最大值是

切线的方程，S1

<2>若HIC上存在点M・使

MA-2MO.求■!心C的横生标。的取值位国.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（2）阿波罗尼斯圆

平面内的一个动点到两个定点的距离

之比为常数（不为1）的点的轨迹为圆.

阿波罗尼斯圆可以向圆锥曲线中推广

定理设「为一非退化的二次曲线，P是一

个不在「上的定点（当「是有心二次曲线时,尸

不是中心）•过P任作直线交「于A、8,则存在另

一定点Q，使得倍富=号翁恒成立.

从圆到椭圆的推广

（2015四川理第20题）如图•桶圆E：4+^=

ao

l（a>6>0）的离心率是过点P（0,l）的动直线I

与椭圆相交于A.B两点.当直线/平行于n轴时，

直线,被椭圆E截得的线段长为2笈

（I）求椭圆E的方程；

（n）在平面直角坐标系/Oy中，是否存在与

点P不同的定点Q，使得圈=作筌恒成立？

若存在，求出若不存在.请说明

理由.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（3）“垂径定理”在圆锥曲线中推广

椭圆或双曲线任意一条弦所在直线的斜率与该弦中点与椭圆（或双曲线）中心

连线的斜率之积为常数.

设点M是有心圆锥曲线C:mx2+万2=i（肛〃同正或异号）上异于

直径48的两个端点的任意一点，则田〃%=一；.

逆命题就是所谓的第三定义（轨迹不包的端点）

设而不求

点差法

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（3）“垂径定理”在圆锥曲线中推广

《2018年全国卷HD已知斜率为2的直线，与椭圆C：:♦[-I交于A，B两点.线殷出的中点为

^（l,WXw>0）.

（1）证明：Ar<-1；

（2）设尸为。的右焦点，P为。上一点，且用+石+而=6.证明：2|百口可卜|豆

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(3)“垂径定理”在圆锥曲线中推广

(2019全国H卷)日晾，(-2fo)，研2,0),动点岚X,.、)；有足以线出加调率之积为:，

记U缄迹为曲线C

⑴求C的方程，并说明C是什么曲线J

⑶过坐标原点的直线交C于P，。两点，点P在第一象限，PEL、•轴，垂足为E,连结。E并延

长交C于点G

①证明：△射是直角三角开、

②^APgG的面积的最大值

第1问和第(2)问

的⑴

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(4)“张直角弦''问题

圆中"张直角弦”是圆的直径；过圆的中心即圆心；

椭圆、双曲线、抛物线有类似性质吗？两斜率之积为其他常数如何？

直角弦定理

设点P(x。,”)在圆锥曲线上，旦为直角的顶点。

X2y2a2-b2

(1)椭圆二十-=l(a>b>0)张角为宜角的弦所在的总线过定点(、,一%)，其中f=_-

aba+b

r2V2

(2)双曲线・一，=1(。>0,8>0,4/6)张角为直角的弦所在的直线过定点(、,一%)

ab

(4)“张直角弦”问题

2020年新高考I卷第22题

22.已知椭圆GW+E=l(〃>b>0)的离心率为也，且过点4(2,1).

a-b22

(1)求亦方程：

(2)点M临6±,且皿4MAD1MN,烟垂足.证明：存在定点0,使得I闻为定值.

若不是张直角，而是斜率之乘积为常数，也有类似结论

定理2设A/(x0,y0)是给定有心圆锥曲线

+在2=1上的定点，点力，8是曲线C上的动点，若

S与"6的斜率之积为2，贝IJ:

①当2X”时，动直线48过定点

n

(An+7w)x0+)

An—mAn-m

②当｛='时，动直线46的斜率为定值

n%

(4)“张直角弦”问题

若不是张直角，而是斜率之和为常数，也有类似结论

2017年高考数学全国卷I理科第20题为：

已知椭圆C：£+£=l(a>6>0),四点PJ1,

1)12(。，1)/3(—1,空)，匕(1,g)中恰有三点在

椭圆C上。

(I)求C的方程；

(II)设直线/不经过P2点且与C相交于A,B

两点。若直线P2A